高级计量经济分析及Stata应用 课件全套 第1-14章 多元时间序列 -Stata编程基础

高级计量经济学第1章

多元时间序列主要内容1.1

多变量GARCH模型（MGARCH)

1.2

向量自回归模型(VAR)

1.3

结构向量自回归模型(SVAR)1.4

VAR模型的诊断和检验1.5误差修正模型(ECM)2025/4/143主要内容1.6

向量误差修正模型(VECM)

1.7

向量误差修正模型(VECM)的协整秩1.8

VECM的诊断和检验 1.9

VAR/VEC模型预测 1.10

脉冲响应和方差分解分析 1.11

动态因子模型 1.12

状态空间模型2025/4/1441.1

多变量GARCH模型Mgarch可以实现四种常用的多变量GARCH模型：对角向量（DVECH）模型恒定条件相关（CCC）模型动态条件相关（DCC）模型和时变条件相关（VCC）模型。2025/4/1451.1

多变量GARCH模型本节将围绕mgarch中实现的模型进行介绍。首先给出了一般MGARCH模型的形式化定义，以便进行模型比较。一般MGARCH模型如下所示：1.1

多变量GARCH模型在一般MGARCH模型中，

是单变量

GARCH

模型的矩阵推广。例如，在具有一个自回归条件异方差（ARCH）项和一个GARCH项的一般

MGARCH

模型中：

其中

函数将对称矩阵中主对角线上或主对角线下的元素堆叠成一个向量，s是参数向量，A和B是参数的一致矩阵。由于该模型使用

函数来提取和建模

的独特元素，因此也被称为VECH模型。2025/4/1471.1.1DVECH-MGARCH模型Bollerslev、Engle和Wooldridge（1988）开发的一般DVECH-MGARCH模型可以写成:2025/4/148Stata实现DVECH-GARCH模型的Stata实现：【1】其菜单操作为：Statistics>Multivariatetimeseries>MultivariateGARCH2025/4/149Stata实现

2025/4/1410【2】stata实现的函数mgarch的语法为：mgarchdvecheq[eq…eq][if][in][,options]其中选择项options有以下设定：Stata实现例1.1：具有公共协变量的模型下面以Stata官方数据集为例说明软件实现。该数据集中有六个月期美国国债tbill的二级市场利率和穆迪评级为AAA的公司债券收益率bond的数据。我们将tbill的一阶差分和债券的一阶差分建模为带有ARCH（1）项的GARCH（1）模型。（1）下载数据use/data/r17/irates4（2）DVECH-GARCH模型估计mgarchdvech(D.bondD.tbill=LD.bondLD.tbill),arch(1)2025/4/1411Stata实现例1.2：具有因方程不同而不同的协变量的模型我们通过从模型中删除不重要的参数来改进前面的示例：（1）DVECH-GARCH模型估计mgarchdvech(D.bond=LD.bondLD.tbill,noconstant)mgarchdvech(D.bond=LD.bondLD.tbill,noconstant)2025/4/1412Stata实现例1.3：带约束的模型在这里，我们分析了一些虚构的每周数据，关于在AcmeInc.和AnvilInc.的工厂中发现的坏部件的百分比。我们将这些时序数据建模为一阶自回归过程。这些公司的适应性管理风格导致差异遵循一个DVECH-MGARCH过程，带有一个ARCH项和一个GARCH项。此外，我们施加了两个公司的ARCH系数相同以及GARCH系数相同的约束。2025/4/1413Stata实现（1）下载数据use/data/r17/acme（2）施加约束constraint1[L.ARCH]1_1=[L.ARCH]2_2constraint2[L.GARCH]1_1=[L.GARCH]2_2（3）DVECH-GARCH模型估计mgarchdvech(acme=L.acme)(anvil=L.anvil),arch(1)garch(1)constraints(12)2025/4/1414Stata实现例1.4：带有GARCH项的模型一些金融数据模型不包含协变量或常数项。例如，在对AcmeInc.和AnvilInc.的股票收益率的虚构数据建模时，我们发现最好不要包含任何协变量或常数项。我们包括两个ARCH项和一个GARCH项来模拟条件方差。（1）下载数据use/data/r17/aacmer（2）DVECH-GARCH模型估计mgarchdvech(acmeanvil=,noconstant),arch(1/2)garch(1)课堂练习：写出模型表达式2025/4/1415Stata实现例1.5：动态预测（1）下载数据use/data/r17/acme（2）施加约束constraint1[L.ARCH]1_1=[L.ARCH]2_2constraint2[L.GARCH]1_1=[L.GARCH]2_2（3）DVECH-GARCH模型估计mgarchdvech(acme=L.acme)(anvil=L.anvil),arch(1)garch(1)constraints(12)2025/4/14161.1.2CCC-GARCH模型条件相关（CC）模型使用单变量GARCH模型的非线性组合来表示条件协方差。在每个条件相关模型中，条件协方差矩阵构造为正定矩阵，并且结构简单，便于参数估计。随着时间序列数量的增加，CC模型的参数增长率低于DVECH模型。在CC模型中，

分解为条件相关性矩阵

和条件方差对角矩阵：

其中，每个条件方差遵循一个单变量GARCH过程，

的参数化因模型而异。2025/4/14171.1.2CCC-GARCH模型Bollerslev（1990）提出了一个CC-MGARCH模型，其中相关矩阵是不时变的。正是由于这个原因，该模型被称为恒定条件相关（CCC）MGARCH模型。将

限制为常数矩阵，可以减少参数数量，并简化估计，但在许多经验应用中可能过于严格。

2025/4/1418Stata实现CCC-GARCH模型的Stata实现为：【1】其菜单操作为：Statistics>Multivariatetimeseries>MultivariateGARCH【2】语句为：mgarchccceq[eq…eq][if][in][,options]每一个eq有自己的形式：(depvars=[indepvars][,eqoptions])2025/4/1419Stata实现

2025/4/1420Stata实现例1.7

CCC-GARCH模型的Stata实现：（1）下载数据use/data/r17/stocks（2）CCC-GARCH模型估计mgarchccc(toyotanissanhonda=L.toyotaL.nissanL.honda,noconstant),arch(1)garch(1)2025/4/1421Stata实现例1.8：具有因方程不同而不同的协变量的模型通过从模型中删除不重要的参数来改进前面的示例。为了去除这些参数，我们将本田方程式与丰田和日产方程式分开指定：（1）CCC-GARCH模型估计mgarchccc(toyotanissan=,noconstant)(honda=L.nissan,noconstant),arch(1)garch(1)课堂练习：写出模型表达式2025/4/1422Stata实现例1.9：带约束的模型这里我们为丰田和日产的股票建立了一个双变量CCC-MGARCH模型。这些汽车制造商的份额遵循相同的过程，因此我们对这两家公司施加了ARCH和GARCH系数相同的约束。（1）施加约束constraint1_b[ARCH_toyota:L.arch]=_b[ARCH_nissan:L.arch]constraint2_b[ARCH_toyota:L.garch]=_b[ARCH_nissan:L.garch]（2）CCC-GARCH模型估计mgarchccc(toyotanissan=,noconstant),arch(1)garch(1)constraints(12)2025/4/1423Stata实现例1.10：带有GARCH项的模型在这个例子中，对于Acme和Anvil公司的股票收益数据，我们认为这两种股票的走势受不同的过程控制。因此为Acme的条件方差方程指定了一个ARCH和一个GARCH项，为Anvil的条件方差方程指定了两个ARCH项。此外，我们还将Anvilcorporation的主要子公司Apex的股票回报率滞后值纳入Anvil方差方程。对于Acme，我们有与Acme在afrelated生产的产品相关的产品的期货价格指数变化的数据。对于Anvil，我们有关于Anvil在afinputs中使用的投入品期货价格指数变化的数据。（1）下载数据use/data/r17/acmeh24（2）CCC-GARCH模型估计mgarchccc(acme=afrelated,noconstantarch(1)garch(1))>(anvil=afinputs,arch(1/2)het(L.apex))2025/4/1425Stata实现例1.11：动态预测在本例中，我们获得了mgarchccc例2中建模的丰田、日产和本田股票收益的动态预测。在下面的输出中，我们重新估计了模型的参数，使用tsappend扩展数据，并使用predict获得样本中的提前一步预测和收益条件方差的动态预测。我们将下面的预测图表化。（1）下载数据use/data/r17/stocks（2）CCC-GARCH模型估计quietlymgarchccc(toyotanissan=,noconstant)2025/4/1426Stata实现CCC-GARCH模型的Stata命令为：其菜单操作为：Statistics>Multivariatetimeseries>MultivariateGARCH语句为：mgarchccceq[eq…eq][if][in][,options]每一个eq有自己的形式：(depvars=[indepvars][,eqoptions])2025/4/14271.1.3

DCC-GARCH模型Engle（2002）提出的动态条件相关多元GARCH（DCC-GARCH）模型可以写成

2025/4/1428Stata实现

2025/4/1429Stata实现其菜单操作为：Statistics>Multivariatetimeseries>MultivariateGARCHDCC-GARCH模型的Stata命令为：mgarchdcceq[eq…eq][if][in][,options]每一个eq有自己的形式：(depvars=[indepvars][,eqoptions])2025/4/1430Stata实现2025/4/1431Stata实现例1.12：具有公共协变量的模型从2003年1月2日到2010年12月31日，我们有丰田、日产和本田三家汽车制造商的股票收益率的每日数据。我们将收益的条件均值建模为一阶向量自回归过程，将条件协方差建模为DCC-MGARCH过程，其中每个干扰项的方差遵循GARCH（1,1）过程。（1）下载数据use/data/r17/acmeh（2）DCC-GARCH模型估计mgarchdcc(toyotanissanhonda=L.toyotaL.nissanL.honda,noconstant),arch(1)garch(1)课堂练习：写出模型表达式2025/4/1432Stata实现例1.13：具有因方程不同而不同的协变量的模型

我们通过从模型中删除不重要的参数来改进前面的示例。为了去除这些参数，我们将本田方程式与丰田和日产方程式分开指定：（1）DCC-GARCH模型估计mgarchdcc(toyotanissan=,noconstant)(honda=L.nissan,noconstant),arch(1)garch(1)2025/4/1433Stata实现例1.14：带约束的模型（1）施加约束constraint1_b[ARCH_toyota:L.arch]=_b[ARCH_nissan:L.arch]constraint2_b[ARCH_toyota:L.garch]=_b[ARCH_nissan:L.garch]（2）DCC-GARCH模型估计mgarchdcc(toyotanissan=,noconstant),arch(1)garch(1)constraints(12)2025/4/1434Stata实现例1.15：带有GARCH项的模型在这个例子中，我们有Acme和Anvil公司的股票收益数据，我们认为这两种股票的走势受不同的过程控制。我们为Acme的条件方差方程指定了一个ARCH和一个GARCH 项，为Anvil的条件方差方程指定了两个ARCH项。此外，我们还将Anvilcorporation的主要子公司Apex的股票回报率滞后值纳入Anvil方差方程。对于Acme，我们有与Acme在afrelated生产的产品相关的产品的期货价格指数变化的数据。对于Anvil，我们有关于Anvil在afinputs中使用的投入品期货价格指数变化的数据。（1）下载数据use/data/r17/acmeh

2025/4/1435Stata实现（2）DCC-GARCH模型估计mgarchdcc(acme=afrelated,noconstantarch(1)garch(1))2025/4/14361.1.4VCC-GARCH模型时变条件相关多元GARCH（VCC-GARCH）模型可以写成：

2025/4/14372025/4/1438Stata实现VCC-GARCH模型的Stata命令为：其菜单操作为：Statistics>Multivariatetimeseries>MultivariateGARCH命令语法为：mgarchvcceq[eq…eq][if][in][,options]每一个eq有自己的形式：(depvars=[indepvars][,eqoptions])2025/4/1439Stata实现2025/4/1440Stata实现例1.16VCC-MGARCH过程从2003年1月2日到2010年12月31日，我们有丰田、日产和本田三家汽车制造商的股票收益率的每日数据。我们将收益的条件均值建模为一阶向量自回归过程，将条件协方差建模为VCC-MGARCH过程，其中每个干扰项的方差遵循GARCH（1,1）过程。（1）下载数据use/data/r17/stocks（2）VCC-MGARCH模型估计mgarchvcc(toyotanissanhonda=L.toyotaL.nissanL.honda,noconstant),arch(1)garch(1)课堂练习：写出模型表达式2025/4/1441Stata实现例1.17：具有因方程不同而不同的协变量的模型通过从模型中删除不重要的参数来改进前面的示例。为了实现这一点，我们将本田方程式与丰田和日产方程式分开指定：（1）VCC-MGARCH模型估计mgarchvcc(toyotanissan=,noconstant)(honda=L.nissan,noconstant),arch(1)garch(1)2025/4/1442Stata实现例1.18：带约束的模型我们建立了丰田和日产的股票的一个双变量VCCMGARCH模型。这些汽车制造商的份额遵循相同的过程，因此我们施加的约束条件是，两家公司的ARCH系数相同，GARCH系数也相同。（1）施加约束constraint1_b[ARCH_toyota:L.arch]=_b[ARCH_nissan:L.arch]constraint2_b[ARCH_toyota:L.garch]=_b[ARCH_nissan:L.garch]（2）VCC-MGARCH模型估计mgarchvcc(toyotanissan=,noconstant),arch(1)garch(1)constraints(12)2025/4/1443Stata实现例1.19：带有GARCH项的模型在这个例子中，我们有Acme和Anvil公司的股票收益数据，我们认为这两种股票的走势受不同的过程控制。我们为Acme的条件方差方程指定了一个ARCH和一个GARCH项，为Anvil的条件方差方程指定了两个ARCH项。此外，我们还将Anvilcorporation 的主要子公司Apex的股票回报率滞后值纳入Anvil方差方程。对于Acme，我们有与Acme在afrelated生产的产品相关的产品的期货价格指数变化的数据。对于Anvil，我们有关Anvil在afinputs中使用的投入品期货价格指数变化的数据。（1）下载数据use/data/r17/acmeh2025/4/1444（2）VCC-MGARCH模型估计mgarchvcc(acme=afrelated,noconstantarch(1)garch(1))>(anvil=afinputs,arch(1/2)het(L.apex))2025/4/14451.2

向量自回归模型向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型，VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型，因此，近年来VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。46向量自回归模型一般VAR(p)模型的数学表达式是

其中：yt是k维内生变量列向量，xt

是d维外生变量列向量，p是滞后阶数，T是样本个数。k

k

维矩阵

1，…，

p和k

d

维矩阵H是待估计的系数矩阵。47向量自回归模型

t

是k维扰动列向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边的变量相关，假设

是

t

的协方差矩阵，是一个(k

k)的正定矩阵。是维扰动列向量，一般假设它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边的变量相关，假设

是

t

的协方差矩阵，是一个(k×k)的正定矩阵。即矩阵表达式，481.2向量自回归模型即含有

个时间序列变量的模型

由

个方程组成。还可以将式做简单变换,表示为向量自回归表达式：

其中，

是关于外生变量回归的残差。上式可以简写为滞后算子表达式：

式中

是滞后算子的参数矩阵。一般称上式为非限制向量自回归模型（unrestrictedVAR），即一般的简化VAR模型。冲击向量

是白噪声向量，因为

没有结构性的含义，被称为简化形式的冲击向量。2025/4/1449Stata实现菜单操作：Statistics>Multivariatetimeseries>Vectorautoregression(VAR)模型估计var命令语法格式为：vardepvarlist[if][in][,options]其中options选项如下：2025/4/1450Stata实现

2025/4/1451Stata实现例1.20:VAR模型（1）下载数据use/data/r17/lutkepohl2（2）设置时间序列tsset （3）VAR模型估计vardln_invdln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),lutstatsdfk课堂练习：写出VAR模型的滞后算子表达式

2025/4/1452Stata实现例1.21:带约束的VAR模型在第一个例子中，我们将一个完整的VAR（2）转换为一个三方程模型。Dln_inv方程中的系数与dln_inc方程中的系数都不显著；许多个体系数与零没有显著差异。在本例中，我们将系数限制在L2上。Dln_inc在dln_inv和L2上的系数的方程式中。Dln_inc方程中的dln_consump为零。（1）施加约束constraint1[dln_inv]L2.dln_inc=0constraint2[dln_inc]L2.dln_consump=0（2）VAR模型估计vardln_invdln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),lutstatsdfk>constraints(12)2025/4/14531.3

结构向量自回归模型54下面考虑k个变量的情形，p阶结构向量自回归模型SVAR(p)为

其中：

,,

2025/4/14(1.18)

与简化的VAR模型不同，SVAR模型包含了变量之间的当期关系，而这些当期关系在VAR模型中是隐含在模型随机误差项中的。SVAR模型每个方程的左边是内生变量，右边是其自身的滞后变量和其他内生变量的当期和滞后。1.3结构向量自回归模型可以将（1.18）写成滞后算子形式：其中：,是滞后算子L的k*k参数矩阵，C0

Ik。需要注意的是，本书讨论的SVAR模型，C0

矩阵均是主对角线元素为1的矩阵。如果C0是一个下三角矩阵，则SVAR模型称为递归的SVAR模型。2025/4/14551.3结构向量自回归模型不失一般性，在式(1.18)假定结构式误差项(结构冲击)

ut

的方差-协方差矩阵标准化为单位矩阵Ik。同样，如果矩阵多项式C(L)可逆，可以表示出SVAR的无穷阶的VMA(∞)形式：其中:2025/4/14561.3结构向量自回归模型

因为其中所有内生变量都可以表示为ut的分布滞后形式。而且结构冲击ut

是不可直接观测得到，需要通过

yt

各元素的响应，才可观测到。所以，可以通过转变简化式的误差项得到结构冲击ut

。可以得到典型的SVAR模型：上式对于任意的t都是成立的。2025/4/14571.3结构向量自回归模型由于A0

=Ik

，可得或

在

两端平方取期望，可得所以我们可以通过对B0施加约束来识别SVAR模型。由前面的推导，有

2025/4/1458(1.22)1.3结构向量自回归模型更一般的，假定A、B是(k

k)阶的可逆矩阵，A矩阵左乘VAR模型，则得如果A、B满足下列条件：A

t

=But

,E(ut

)=0k

,E(utut

)=Ik

，则称上述模型为AB型-SVAR模型。特别的，在

中，A=D0-1

,B=Ik

。2025/4/1459Stata实现菜单操作：Statistics>Multivariatetimeseries>Structuralvectorautoregression(SVAR)语法格式：（1）短期约束：svardepvarlist[if][in],{aconstraints(constraints_a)aeq(matrix_aeq)acns(matrix_acns)bconstraints(constraints_b)beq(matrix_beq)bcns(matrix_bcns)}[short_run_options]（2）长期约束：svardepvarlist[if][in],{lrconstraints(constraints_lr)lreq(matrix_lreq)lrcns(matrix_lrcns)}[long_run_options]2025/4/1460Stata实现例1.22:短期SVAR模型（1）下载数据use/data/r17/lutkepohl2（2）施加约束matrixA=(1,0,0\.,1,0\.,.,1)matrixB=(.,0,0\0,.,0\0,0,.)（3）短期SVAR模型估计svardln_invdln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),aeq(A)beq(B)2025/4/1461Stata实现例1.23：长期SVAR模型假设我们有一个理论，货币供应量的意外变化不会对产出的变化产生长期影响，同样，产出的意外变化也不会对货币供应量的变化产生长期影响。这个理论隐含的C矩阵是：（1）下载数据use/data/r17/m1gdp（2）施加约束matrixlr=(.,0\0,.)（3）长期SVAR模型估计svard.ln_m1d.ln_gdp,lreq(lr)2025/4/14621.4

VAR模型的诊断和检验1.4.1滞后阶数确定VAR模型中一个重要的问题就是滞后阶数的确定。在选择滞后阶数p时，一方面想使滞后阶数足够大，以便能完整反映所构造模型的动态特征。但是另一方面，滞后阶数越大，需要估计的参数也就越多，模型的自由度就减少。所以需要综合考虑，既要有足够数目的滞后项，又要有足够数目的自由度。事实上，这是VAR模型的一个缺陷，在实际中常常会发现，将不得不限制滞后项的数目，使它少于反映模型动态特征性所应有的理想数目。最优滞后阶数的确定通常包括三类方法：LR(似然比)检验、FPE、AIC信息准则和SBIC准则。631.4.1滞后阶数确定LR(LikelihoodRatio)检验,是从最大的滞后阶数开始，检验在滞后阶数为j时系数矩阵

的元素均为0的原假设。(Wald)统计量如下：其中，m是可选择的其中一个方程中的参数个数：m=d+kj，d是外生变量的个数，k是内生变量个数，

和

分别表示之后阶数为(j-1)和j的VAR模型的残差协方差矩阵的估计。

从最大滞后阶数开始，比较LR统计量和5%水平下的临界值。如果

，则拒绝原假设，表示统计量显著，此时表示增加滞后值能够显著增大极大似然的估计值；否则，接受原假设。每次减少一个滞后阶数，直到拒绝原假设。

641.4.1滞后阶数确定2.模型阶数统计量Lütkepohl（2005）给出了最终预测误差（FinalPredictionError）。FPE统计量定义为：然而，这个公式假设模型中有一个常数，并且没有因为共线而忽略任何变量。为了解决这些问题，FPE的实现如下：其中

是K方程上的平均参数数。651.4.1滞后阶数确定确定VAR模型滞后阶数常用的信息准则一般有AIC、SBIC和HQIC。默认情况下，AIC、SBIC和HQIC根据其标准定义计算，其中包括对数似然中的常数项：

式中，

是模型中的参数总数，LL是对数似然值。66Stata实现菜单操作：（1）VARs模型估计前检验菜单Statistics>Multivariatetimeseries>VARdiagnosticsandtests>Lag-orderselectionstatistics(preestimation)（2）VARs模型估计后检验菜单Statistics>Multivariatetimeseries>VARdiagnosticsandtests>Lag-orderselectionstatistics(postestimation)（3）VECMs模型估计后检验菜单Statistics>Multivariatetimeseries>VECdiagnosticsandtests>Lag-orderselectionstatistics(preestimation)（4）VECMs模型估计后检验菜单Statistics>Multivariatetimeseries>VECdiagnosticsandtests>Lag-orderselectionstatistics(postestimation)67Stata实现语法格式：（1）估计前语法：varsocdepvarlist[if][in][,preestimationoptions]（2）估计后语法：varsoc[,estimates(estname)]68Stata实现例1.24估计前varsoc检验下面使用varsoc作为估计前检验的命令：（1）下载数据：use/data/r17/lutkepohl2（2）进行估计前滞后阶数检验varsocdln_invdln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),lutstats69Stata实现例1.25估计后varsoc检验当未指定因变量时，varsoc用作后估计命令。（1）建立VAR模型vardln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),lutstatsexog(l.dln_inv)（2）进行估计后检验varsoc701.4.2Granger因果关系检验Granger因果关系检验实质上是检验一个变量的滞后变量是否可以引入到其他变量方程中。一个变量如果受到其他变量的滞后影响，则称它们具有Granger因果关系。在一个二元p阶的VAR模型中：

711.4.2Granger因果关系检验当且仅当系数矩阵

中的系数全部为0时，变量x不能Granger引起y，等价于变量x外生于变量y。这时，判断Granger原因的直接方法是利用F-检验来检验下述联合检验：

其检验统计量为：

如果S1大于F的临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设：x不能Granger引起y。721.4.2Granger因果关系检验其中，

是式中y方程的残差平方和：

是不含x的滞后变量，如下方程的残差平方和：

731.4.2Granger因果关系检验在满足高斯分布的假定下，检验统计量具有精确的F分布。如果回归模型形式是如1.34式的VAR模型，一个渐近等价检验可由下式给出：

注意，

服从自由度为p的

分布。如果

大于

的临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设：x不能Granger引起y。74Stata实现Granger因果关系检验的Stata命令：菜单选项：Statistics>Multivariatetimeseries>VARdiagnosticsandtests>Grangercausalitytests语法：vargranger[,estimates(estname)separator(#)]75Stata实现例1.26估计后Granger因果关系检验VAR之后。在这里，我们使用德国的数据建立VAR模型，然后用vargranger进行Granger因果关系检验。（1）下载数据：use/data/r17/lutkepohl2（2）建立VAR模型：vardln_invdln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),dfksmall（3）Granger检验vargranger761.4.3残差检验1.残差自相关的LM检验J阶滞后的LM检验统计量的公式为：

其中

为VAR模型的样本观测期，

是VAR扰动项的方差-协方差矩阵

的极大似然估计，并且

是增广VAR的

极大似然估计。77Stata实现残差自相关LM检验的Stata命令：菜单操作：Statistics>Multivariatetimeseries>VARdiagnosticsandtests>LMtestforresidualautocorrelation语法：varlmar[,options]其中option选项：78Stata实现例1.27估计后varlmar检验VAR之后。现在我们使用德国的数据重新拟合VAR模型，并使用varlmar进行检验（1）下载数据use/data/r17/lutkepohl2（2）拟合VAR模型vardln_invdln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),dfk（3）进行LM检验varlmar,mlag(5)791.4.3残差检验2.残差的正态性检验Stata命令：菜单操作：Statistics>Multivariatetimeseries>VARdiagnosticsandtests>Testfornormallydistributeddisturbances语法格式为：varnorm[,options]80Stata实现例1.28残差正态性检验（1）下载数据：use/data/r17/lutkepohl2（2）拟合VAR模型vardln_invdln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),dfk（3）进行残差正态性检验varnorm811.4.4VAR模型平稳性检验菜单操作：Statistics>Multivariatetimeseries>VARdiagnosticsandtests>CheckstabilityconditionofVARestimates语法：Varstable[,options]821.4.4VAR模型平稳性检验83Stata实现例1.30模型平稳性检验（1）下载数据：use/data/r17/lutkepohl2（2）拟合数据vardln_invdln_incdln_consumpifqtr>=tq(1961q2)&qtr<=tq(1978q4)（3）模型平稳，画图varstable,graph841.5

脉冲响应和方差分解分析在实际应用中，由于VAR模型是一种非理论性的模型，且由于模型的OLS估计量只具有一致性，导致很难对单个参数估计值进行经济解释，因此在VAR模型的应用中，我们往往不是分析一个变量对另一个变量的影响，而是分析当一个误差项发生变化，或者说当模型受到某种冲击时对系统产生的动态影响，这种分析方法称为脉冲响应函数方法(impulseresponsefunction，IRF)。它描述的是在某个内生变量的随机误差项上施加一个标准差大小的冲击后对所有内生变量的当期值和未来值所产生的影响。851.5.1脉冲响应分析考虑如下的VAR（p）模型：

其中，

是k维扰动列向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与方程右边的变量相关。设滞后算子为L，

，则根据式可得VMA(∞)模型：861.5.1脉冲响应分析根据式可得VMA(∞)模型的系数矩阵：

的第i行、第j列元素可表示为：

上式即为脉冲响应函数，它表示当其他扰动项在任何时期都不变的情况下，第j个变量在时期t的扰动项增加一个单位，对第i个内生变量在t+q期产生的影响。871.5.1脉冲响应分析根据上式，

可以依次计算出的脉冲引起

的响应函数如下：

可得由

的脉冲引起的

的累积响应函数为

。881.5.2方差分解分析脉冲响应函数描述的是在某个内生变量的随机误差项上施加一个标准差大小的冲击后对所有内生变量的当期值和未来值所产生的影响。而方差分解（variancedecomposition）是通过分析每一个结构冲击对内生变量变化（通常用方差来度量）的贡献度，并进一步评价不同结构冲击的重要性。VAR模型的方差分解给出的是每个随机扰动的相对重要性信息，一般可以用相对方差贡献率（relativevariancecontribution，RVC）来衡量。891.5.2

方差分解分析

记

，那么在上式两边求方差，假设扰动项无序列相关，则有：再假定扰动项向量的协方差矩阵是对角矩阵，则yi的方差是上述方差的k项简单和：

901.5.2

方差分解分析yi的方差可以分解成k种不相关的影响，因此为了测定各个扰动项相对yi的方差有多大程度的贡献，因此可以定义相对方差贡献率为：

相对方差贡献率度量了第j个变量基于正交化冲击的方差的相对贡献度，反映了第j个变量对第i个变量的影响。当

大时，表明第j个变量对第i个变量的影响大，与之相反，当

小时，表明第j个变量对第i个变量的影响小。911.5.3

脉冲响应和方差分解分析创建和分析IRF、动态乘数函数和FEVDs（forecast-errorvariancedecomposition）的Stata语句：语句格式：irfsubcommand...[,...]92Stata实现例1.30VAR模型的脉冲响应分析和方差分解分析要在Stata中分析IRF和FEVDs，首先要拟合一个模型，然后使用irfcreate来估计IRF和FEVDs并将其保存在一个文件中，最后使用irfgraph或其他任何irf分析命令来检查结果。（1）使用数据.use/data/r17/lutkepohl2（2）估计VAR模型.vardln_invdln_incdln_consumpifqtr<=tq(1978q4),lags(1/2)dfk93Stata实现例1.31SVAR模型的脉冲响应分析和方差分解分析（1）使用数据use/data/r17/lutkepohl2（2）构建矩阵mata=(.,0,0\0,.,0\.,.,.)matb=I(3)（3）估计SVAR模型svardln_invdln_incdln_consump,aeq(a)beq(b)941.6误差修正模型与向量误差修正模型

ARMA模型中要求经济时间序列是平稳的，但是由于实际应用中大多数时间序列是非平稳的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平稳趋势，使得序列平稳化后建立模型，这就是ARIMA模型。

但是变换后的序列限制了所讨论经济问题的范围，并且有时变换后的序列由于不具有直接的经济意义，使得化为平稳序列后所建立时间序列模型不便于解释。2025/4/14951987年Engle和Granger提出的协整理论及其方法，为非平稳序列的建模提供了另一种途径。虽然一些经济变量的本身是非平稳序列，但是，它们的线性组合却有可能是平稳序列。这种平稳的线性组合被称为协整方程，且可解释为变量之间的长期稳定的均衡关系。961.6.1协整关系假定一些经济指标被某经济系统联系在一起，那么，从长远看来这些变量应该具有均衡关系，这是建立和检验模型的基本出发点。在短期内，因为季节影响或随机干扰，这些变量有可能偏离均值。如果这种偏离是暂时的，那么随着时间推移将会回到均衡状态；如果这种偏离是持久的，就不能说这些变量之间存在均衡关系。协整(co-integration)可被看作这种均衡关系性质的统计表示。971.6.1协整关系协整概念是一个强有力的概念。因为协整允许我们刻画两个或多个序列之间的平衡或平稳关系。对于每一个序列单独来说，可能是非平稳的，这些序列的矩，如均值、方差或协方差随时间而变化，而这些时间序列的线性组合序列却可能有不随时间变化的性质。98协整关系99k维向量Y

=(y1，y2，…，yk)

的分量间被称为d,b阶协整，记为Y

～CI(d，b)，如果满足：

(1)y1，y2，…，yk都是d阶单整的，即yi～I(d)，i=1,2,…,k；

(2)存在非零向量

=(

1,

2,

…,

k

)，使得

Y～I(d-b)，0<b≤d。简称Y

是协整的，向量

称为协整向量。协整与协整向量需要注意的是：(1)作为对非平稳变量之间关系的描述，协整向量是不惟一的；(2)协整变量必须具有相同的单整阶数；(3)最多可能存在k-1个线性无关的协整向量(Y的维数是k)；(4)协整变量之间具有共同的趋势成分，在数量上成比例。1001.6.2协整的恩格尔-格兰杰检验协整检验从检验的对象上可以分为两种：一种是基于回归系数的协整检验，如Johansen协整检验；另一种是基于回归残差的协整检（Residual-basedTests），如CRDW(cointegrationregressionDurbin-Watson)检验、EG（Engle-Grangertest）检验、AEG（augmentedEngle-Grangertest）检验和PO（Phillips-Ouliaris）检验。101协整的恩格尔-格兰杰检验Engle和Granger（1987）提出了基于残差的协整检验方法。这种协整检验方法是对回归方程的残差进行单位根检验。从协整理论的思想来看，因变量和自变量之间存在协整关系。也就是说，因变量能被自变量的线性组合所解释，两者之间存在稳定的均衡关系，因变量不能被自变量所解释的部分构成一个残差序列，这个残差序列应该是平稳的。因此，检验一组变量（因变量和解释变量）之间是否存在协整关系等价于检验回归方程的残差序列是否是一个平稳序列。102103EG检验和AEG检验的主要步骤如下：1、若个序列和都是1阶单整序列，建立回归方程：式中是因变量，是解释变量向量，是

维系数变量，ut

是扰动项。模型估计的残差为104（2）EG或AEG检验，检验残差序列ût是否平稳。

（3）EG和AEG检验方程中还可包含和DF或ADF检验类似的截距项和趋势项。协整检验统计量EG和AEG也等价于t统计量：

1.6.3误差修正模型（ECM)

如果一个内生变量yt

只被表示成同一时点的外生变量xt

的函数，xt

对yt

的长期影响很容易求出。然而如果每个变量的滞后项也出现在模型之中，其长期影响将通过分布滞后的函数反映，这就是ARDL模型。

设因变量为yt，解释变量为x1,t,x2,t,…,xk,t，并且都是一阶单整序列I(1)或平稳序列I(0)。ARDL模型是一个同时包含滞后因变量和滞后解释变量的最小二乘回归方程，通常用ARDL(p,q1,q2,…,qk)来表示，其中p代表因变量的滞后阶数，q1,q2,…,qk代表第1~k个解释变量的滞后阶数。ARDL(p,q1,q2,…,qk)模型的具体设定形式为:

（1.17）2025/4/141051.6.3误差修正模型ARDL模型估计了因变量和解释变量之间的动态关系，因此，可以把ARDL模型转化成长期形式表达式，反映解释变量对因变量的长期影响。

第j个解释变量对因变量的长期影响为：2025/4/141061.6.3误差修正模型先考虑一阶自回归分布滞后模型，记为ADL(1,1)：

（1.19）其中：ut

～i.i.d.(0,

2)，记

y*=E(yt)，x*=E(xt)

，由于E(ut)

=0，在式(1.19)两边取期望得：

（1.20）进而有：

（1.21）记k0=

0/(1-

1)，k1=(

2+

3)

/(1-

1)，则式可写为：

（1.22）2025/4/141071.6.3误差修正模型其中，k1度量了yt与xt的长期均衡关系，也是yt关于xt的长期乘数。在式1.19两端减去

yt-1，在右边加减

2xt-1得到

：

（1.23）利用

2+

3=k1(1-

1)，

0=k0(1-

1)，式1.23又可改写成：

（1.24）令

=

1-1，则式1.24可写成：

（1.25）上式称为误差修正模型

(ErrorCorrectionModel，简记ECM)。2025/4/141081.6.3误差修正模型

当长期平衡关系是

y*=k0+k1x*时，误差修正项是如

(yt-k0-k1xt)的形式，它反映了

yt关于

xt在第

t时点的短期偏离。一般地，由于式(1.24)中

|

1|<1，所以误差项的系数

=(

1-1)<0，通常称为调整系数，表示在

t-1期

yt-1关于

k0+k1xt-1之间的偏差调整的速度。误差修正模型还可以削弱原模型的多重共线性，以及扰动项的序列相关性。2025/4/141091.6.4两步ECM估计最常用的ECM模型的估计方法是Engle和Granger(1981)两步法，其基本思想如下：第一步是求模型：的OLS估计，又称协整回归，得到及残差序列,并用AEG方法检验是否平稳：第二步是若ût是平稳的，用ût-1替换，即对再用OLS方法估计其参数。由此可知，误差修正模型不再单纯地使用变量的水平值（指变量的原始值）或变量的差分建模，而是把两者有机地结合在一起，充分利用这两者所提供的信息。2025/4/141101.6.5

误差修正模型的不同形式由于序列y1

，y2

的不同特征，模型可以指定成不同的形式：①如果两个内生变量y1和y2不含趋势项，并且协整方程不含截距，则VEC模型有如下形式

②如果两个内生变量y1和y2不含趋势项，并且协整方程有截距

，则VEC模型有如下形式

2025/4/141111.6.5

误差修正模型的不同形式③假设在序列中有线性趋势

，则VEC模型有如下形式：

④类似地，协整方程中可能有趋势项

t，其形式为

⑤如果序列中存在着隐含的二次趋势项

t，等价于VEC模型的括号外也存在线性趋势项，其形式为

2025/4/14112Stata实现恩格尔-格兰杰（EG）和增广恩格尔-格兰杰（AEG）协整检验和两步ECM估计的主要函数为egranger，其语法格式为：egrangervarlist[,ecmLags(#)TRendQTRendREGress]其选项及说明为：ecm：要求估计恩格尔-格兰杰两步ecm。默认情况是报告EG/AEG协整测试。lags（#）：指定要包含在AEG测试回归中的残差的第一个差值的lags数或要包含在ECM第二步回归中的潜在协整变量的第一个差值的lags数。trend：指定线性趋势包含在第一步回归中。2025/4/14113Stata实现qtrend：指定在第一步回归中包含二次趋势。regress：要求报告第一步和（如适用）EG/AEG测试回归。egranger命令对Engle和Granger（1987）提出的协整进行测试，报告测试统计数据加上MacKinnon（1990，2010）计算的临界值。egranger还将使用Engle和Granger（1987）提出的两步程序估计ECM（误差校正机制）模型。2025/4/14114Stata实现例1.32

误差修正模型示例如下。（1）加载数据webuserdinc（2）协整检验egrangerln_neln_se补充更新：Do文件：ecm+vecm课堂练习：写出ECM模型表达式2025/4/141151.6.6

向量误差修正模型

变量之间存在协整关系，就能由自回归分布滞后模型导出误差修正模型。

在VAR模型中的每个方程都是一个自回归分布滞后模型，因此，可以认为VEC模型是含有协整约束的VAR模型，多应用于具有协整关系的非平稳时间序列建模。

任意一个VAR（p）都可以改写为VEC模型（vecintro—Introductiontovectorerror-correctionmodels）。

p阶滞后的VAR模型：

改写得到的VEC模型为：1161.6.6向量误差修正模型为了简便说明，不妨忽略外生变量，则VAR（p）模型可写为其中每个方程的误差项

i(i

=1，2，…，k)都具有平稳性。一个协整体系由多种表示形式，用向量误差修正模型表示，即：1171.6.6

向量误差修正模型其中

ecmt-1=

yt-1

是误差修正项，反映变量之间的长期均衡关系，系数矩阵

反映变量之间的均衡关系偏离长期均衡状态时，将其调整到均衡状态的调整速度。所有作为解释变量的差分项的系数反映各变量的短期波动对作为被解释变量的短期变化的影响，我们可以剔除其中统计不显著的滞后差分项。1181.6.6

向量误差修正模型的不同形式（vecintro）

含趋势项的JohansenVEC模型：

2025/4/14119设：代入上式，则得其中，v是k×1维的常数向量；t是线性时间趋势项。1.6.6

向量误差修正模型的设定

常数项与趋势项的五种设定：vec函数估计的VEC模型设定为：2025/4/14120s1,...,sm是sinindicators（）选项中指定的正交化季节指标，以及w1,...,w𝑚是正交化季节指标的k×1为系数向量。1.6.6

向量误差修正模型

向量误差修正模型用最大对数似然函数法估计，可以得到有效的参数估计值。

上述仅讨论了简单的VEC模型，与VAR类似，我们可以构造结构VEC模型，同样也可以考虑VEC模型的Granger因果检验、脉冲响应函数和方差分解分析。2025/4/141211.6.6

向量误差修正模型构建与应用的主要步骤滞后阶数选择；协整检验；拟合估计VEC模型；估计后模型设定检验；动态分析：脉冲响应分析；方差分解分析。预测。2025/4/141221.6.6

向量误差修正模型构建的相关命令

2025/4/14123命令参考帮助效用拟合VEC模型vec[TS]vec拟合向量误差修正模型（VECM)模型诊断和推理vecrank[TS]vecrank估计VEC模型的协整秩veclmar[TS]veclmar在vec之后对残差自相关进行LM检验vecnorm[TS]vecnormvec后的随机扰动项的正态分布检验vecstable[TS]vecstable检查VEC模型估计的稳定性条件varsoc[TS]varsoc获取VAR和VEC模型的滞后顺序选择统计数据VEC模型预测fcastcompute[TS]fcastcompute计算动态预测fcastgraph[TS]fcastgraphfcast计算后的图形预测动态分析irf[TS]irf创建脉冲响应函数（IRF），做脉冲响应分析和预测误差方差分解分析（FEVD）拟合估计VEC模型的Stata命令菜单操作：Statistics>Multivariatetimeseries>Vectorerror-correctionmodel(VECM)语法格式为：vecdepvarlist[if][in][,options]124Stata示例例1.31VECM模型构建的stata示例本例使用美国经济分析局（BEA）八个地区的人均可支配个人收入年度数据。我们使用1948年至2002年的对数数据。对这些序列进行的单位根检验未能拒绝每个地区人均可支配收入包含单位根的原假设。由于资本和劳动力可以轻易地在美国不同地区之间流动，因此我们预计没有一个序列会与所有剩余序列产生分歧，并且存在协整关系。下面是新英格兰和东南部地区平均处置收入的自然对数。（1）下载数据use/data/r17/rdinc（2）画图lineln_neln_seyear1251.7向量误差修正模型的协整秩确定

在估计VECM模型的参数之前，必须选择基础VAR中的滞后数、趋势识别以及协整方程的数量（即协整秩）。目前识别协整方程数量

的方法主要有三种，第一种是迹统计方法，第二种是最大特征值统计方法，第三种使用最小化信息准则选择法。

这三种方法都是基于VECM的Johansen最大似然（ML）估计量。基本的VECM可以定义为：

1261.7向量误差修正模型的协整秩以Anderson（1951）的工作为基础，Johansen（1995）推导了用于推断参数的最大似然估计量和两个似然比（LR）检验。这些似然比检验被称为迹统计量和最大特征值统计量，因为对数似然可以写成一个矩阵行列式的对数加上另一个矩阵特征值的简单函数。

1271.7.1特征根迹检验(trace检验)由于r个最大特征根可得到r个协整向量，而对于其余k

r

个非协整组合来说，

r+1，…，

k应该为0，于是可得到原假设、备选假设为相应的检验统计量为

r称为特征根迹统计量。

该统计量考虑了所有大于r的特征根的累积效应，反映了从r个协整关系到所有可能的协整关系的总体变化。128

即模型最多有r个协整关系即模型超过r个协整关系k为变量个数，T是样本数量，λ是协整矩阵的特征根迹检验的判断准则比较迹统计量与临界值。如果统计量大于临界值，拒绝原假设，说明存在超过r个协整关系。如果统计量小于临界值，接受原假设，说明存在至多r个协整关系。

应用场景与优缺点：优点：考虑了所有特征根的累积效应，对协整关系的整体变化更为敏感。缺点：可能过于保守，尤其是在特征根差异较小的情况下。2025/4/14129迹统计量检验依次检验迹统计量的显著性，直到r=k-1，其中k为变量的个数：（1）当

0不显著时(即

0值小于某一显著性水平下的Johansen分布临界值)，接受H00(r=0)，表明有k个单位根，0个协整向量(即不存在协整关系)；当

0显著时(即

0值大于某一显著性水平下的Johansen分布临界值)，拒绝H00

(r=0)，则表明至少有一个协整向量，必须接着检验

1的显著性。130

迹统计量检验（2）当

1不显著时，接受H10，表明只有1个协整向量，依次进