自动控制原理 第八次课学习资料

上节课回顾1、标准二阶系统过渡过程性能指标的计算2、非标准二阶系统过渡过程性能指标的计算3、高阶系统时域响应标准二阶系统过渡过程性能指标（1）峰值时间tp、上升时间tr、调节时间ts与ζ和ωn有关（2）超调量σ、最大偏差A、衰减比n仅与ζ有关。2、非标准二阶系统过渡过程性能指标的计算3、高阶系统时域响应难点当K≠1或阶跃输入的幅值不为1时，其阶跃响应输出的质量指标如何计算？任何线性二阶系统(分子不含零点）均可表示为以下传递函数：当输入为阶跃函数R(s)=C/s，即幅值为C的阶跃信号时，输出等于：由图可知：l

时间指标不变被标准二阶系统的特征参数唯一决定。l

反映绝对误差的最大偏差A数值不同，成比例放大。●2.521.50.5100510152032530AAAK=2K=1K=0.5trtptsl

相对指标σ和n不变说明什么？A’A’K≠1时，稳态误差不为零！高阶系统时域响应1）解析法2）降阶法拉氏变换求特征方程特征根拉氏反变换拉氏变换求特征方程特征根找主导极点有闭环主导极点将高阶系统分解为低阶系统的线性组合将高阶系统降阶为二阶系统Y(s)的拉氏反变换为：高阶系统的响应曲线是由一些指数曲线和阻尼正弦曲线叠加而成。当所有的闭环极点都位于s左半平面时，因此，当t→∞时，上式中所有的指数项和阻尼指数项都趋于零，因此它们是系统的暂态分量，系统的稳态输出为

y(∞)=a。闭环主导极点要满足的两个条件是：l

控制系统过渡过程的形式以及性能指标主要取决于这对闭环主导极点。2、与其它闭环极点距虚轴的距离在5倍以上。1、在S平面上，距离虚轴比较近，且周围没有其它的零极点。l

一般高阶系统的动态响应都是振荡的，主导极点往往是一对共轭复根。闭环零极点：偶极子：一对靠得非常近的零点和极点，附近没有其它零极点。3.6控制系统的稳定性分析控制系统设计的首要目的就是要确保被控系统的稳定；

不稳定的系统没有实际应用价值线性系统的稳定性是系统自身的一种属性。

与系统输入量无关。在有限的输入变量作用下，系统输出一定是有限值3.6.1系统稳定性的概念及条件二阶系统：ζ>0时，系统的极点具有负实部，系统阶跃响应过程按指数衰减趋势变化，系统是稳定的；ζ＝0时，系统极点是纯虚数，阶跃响应过程等幅振荡，系统处于临界状态；ζ＜0时，系统特征根具有正实部，阶跃响应过程曲线发散，系统不稳定。一个稳定系统可定义为：在有界输入的情况下，其输出也是有界的。极点的实部出现在单位阶跃响应的指数项中，决定输出响应的形式，负实部使指数项衰减，最终输出恒定，正实部使指数项无限增加，最终输出发散，实部为零，指数项为0，输出等幅振荡。问题：极点虚部决定单位阶跃响应的什么部分？问题：极点实部决定单位阶跃响应的什么部分？推广结论：解析方法－求解系统的特征方程

roots(abc)→求(as2+bs+c)的根高阶系统求解困难劳斯稳定判据－不用求解系统的特征方程，就可以得知系统闭环极点的分布情况线性系统稳定的充分必要条件是系统特征根（极点）全部具有负实部。

3.6.2劳斯(Routh)稳定判据已知系统的特征方程式为：特征根全部具有负实部(3-52)(1)系统特征方程式的系数必须皆为正—必要条件；(2)劳斯行列式第一列的系数全为正—充分条件；(3)第一列的系数符号改变的次数等于实部为正的根的个数。劳斯行列式：系统稳定的必要且充分条件是：在系统特征方程的系数全为正的基础上，劳斯行列式中第一列的系数全为正号。劳斯稳定判据：例3-6利用劳斯稳定判据，判断下列系统的稳定性。解：它的特征方程式是：特征方程式中系数皆为正，满足稳定性的必要条件，劳斯行列式：劳斯行列式第一列全为正，因而系统是稳定的。实际上该系统的4个根为：

100

001000例3-7若一系统的特征方程为：利用劳斯稳定判据，判定系统是否稳定。解：特征方程的系数均为正，列写劳斯行列式：该系统的特征方程式有两个实部为正的特征根，系统不稳定。系统的4个根为：符号改变一次→符号改变一次→几种特殊情况（1）第一列有零值出现用一很小的正数ε来代替这个零，并继续劳斯行列式的计算；当得到完整的劳斯行列式后，令ε→0，检验第一列的符号变化次数；若符号没有发生变化，则说明系统具有一对纯虚根,可利用辅助方程求出；若符号发生变化，符号变化的次数，就是系统具有不稳定根的个数。例3-8系统特征方程判断该系统的稳定性。解：劳斯行列式：ε上下符号相同，说明系统有一对共轭虚根。通过解辅助方程可知，02ε0例3-9试判定该系统的稳定性，系统特征方程为：解：特征方程的系数均为正，计算劳斯行列式如下：ε→0首列整理为:系统有二个实部为正的特征根，系统是不稳定的。方程解为：05/2符号改变一次→符号改变一次→（2）某行的系数都为零l

表明系统具有成对的实根或共轭虚根，这些根大小相等，符号相反；l

利用全零行上面的一行系数构成辅助多项式P（s），然后由的系数代替零行，继续劳斯行列式的计算；l

辅助多项式为系统特征多项式的因子式，可以通过求解辅助方程求出那些对根。

若全零行上下符号没有变化，则说明系统具有一对纯虚根；若第一列符号发生变化，符号变化的次数，就是系统具有不稳定根的个数；例3-10试判定该系统的稳定性，系统的特征方程为：解：计算劳斯行列式辅助多项式：00求p(s)对s的导数:导数方程的系数代入s3行。896例3-11可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根：辅助方程是系统特征方程的一个因子式。行列式第一列系数符号变化一次，说明系统有一个正实部的根，系统不稳定3.6.3劳斯稳定判据的应用1、判断系统的稳定性2、分析系统参数对系统稳定性的影响3、确定使系统闭环稳定的参数范围解题思路：1、列出闭环传递函数2、写出闭环特征方程式3、利用劳斯行列式判断例3-12控制系统方块图如图所示，确定能保证该系统稳定的K值范围。解：系统的闭环传递函数为：R(s)Y(s)﹣其闭环特征方程为：劳斯行列式为：为使系统稳定，K必须大于零，同时还必须满足:因此，保证系统稳定的K值范围是(2)若要求闭环极点全部位于s=-1垂线的左侧，求K的取值范围。例3-13已知单位反馈控制系统的开环传递函数为确定使闭环系统产生持续振荡的K的取值，并求振荡频率。分析：(1)若使系统产生持续振荡，则必有一对共轭虚根存在。系统的振荡频率就是此根的虚部值。

-10[s]

0确定使闭环系统产生持续振荡的K的取值，确定振荡频率。解：（1）系统闭环传递函数劳斯行列式：由为零的上一行组成辅助方程：则K=119。可求出：（振荡频率）119？解：（2）

代入闭环特征方程：劳斯行列式：则有11<K<35。当11<K<35时，所有闭环极点落在s=-1垂线左侧。

(2)若要求闭环极点全部位于s=-1垂线的左侧，求K的取值范围。？例3-14粗略画出特征方程为所对应的阶跃响应曲线y(t)。分析：考察根据劳斯行列式判断特征根的情况以及掌握特征根的分布与过渡过程的关系。劳斯行列式：根据劳斯判据：劳斯行列式中某一行都为零，且上下符号相同，说明有一对虚根存在，其输出分量曲线呈等幅振荡。解:第一列系数符号改变一次，说明有一个正实根存在，输出分量曲线呈发散振荡状态。根据以上二条，1ty(t)判定系统的阶跃响应曲线为单调发散振荡曲线。3.5控制系统稳态误差分析误差一般定义为系统的希望值与实际值之差。一般有以下两种：R(s)Y(s)﹣+++F(s)E(s)Z(s)第一种特指为偏差从输入端定义：e(t)=r(t)-z(t)从输出端定义：e(t)=r(t)-y(t)当为单位反馈系统时，两者相同。3.5控制系统稳态误差分析l

求取稳态误差的前提是（闭环）控制系统稳定（注意：例3-5(3)题有错）l

一般常用阶跃、斜坡或抛物线输入信号测试稳态误差l

稳态误差与输入函数的形式有关l

控制系统的设计任务之一，就是尽量减小稳态误差l

稳态误差（余差）是反映控制系统精度的重要技术指标闭环系统对误差的影响开环控制系统Gc(s)G0(s)RYF+闭环控制系统﹢﹣Gc(s)G0(s)RYF+开环控制系统闭环控制系统若两类输入均为单位阶跃函数：结论：在阶跃干扰作用下，闭环比开环误差减小倍。3.5.1稳态误差与系统类型

R(s)Y(s)﹣+++F(s)E(s)Z(s)误差e(t)的拉氏变换为：esr:给定稳态误差

esf:扰动稳态误差稳态误差与系统的开环传递函数G(s)H(s)有关。以给定稳态误差esr为例分析。(3-40)一般开环传递函数可以零极点形式表示为：K0:系统的开环增益N:在根平面坐标原点处具有的开环极点的个数×也可以表示为标准形式：K叫作标准开环增益在工程上，常根据G(s)H(s)的形式来规定控制系统的“型”。(3-41)在分母中包含sN

项，它表示开环传递函数中包含N个积分环节（在原点处有N重极点）。N=0，N=1，N=2，系统分别称为0型，1型，2型系统。注意：系统的“型”与系统的阶次不同。该系统的阶次？开环传递函数中包含积分环节的个数称为系统的“型”。3.5.2给定稳态误差分析

3.5.2.1单位阶跃信号此时，由式(3-40)有：定义稳态位置误差系数Kp于是(3-40)对于不同类型的系统，计算对应的Kp值和稳态误差：0型系统：2型系统:1型系统：Kp＝∞，esr=0Kp=∞，esr=03.5.2.2单位斜坡信号有定义稳态速度误差系数Kv:(3-40)0型系统：3122.521.50.51003r(t)y(t)1型单位反馈系统对斜波输入信号的响应Kv＝0，esr＝∞；Kv=K，esr＝1/K；Kv＝∞，esr＝0。1型系统：2型系统：3.5.2.3单位抛物线（加速度）信号有定义稳态加速度误差系数Ka:20型系统：Ka＝0，esr＝∞；Ka＝0，esr＝∞；Ka＝K，esr＝1/K1型系统：2型系统：小结：表2给定信号输入下的给定稳态误差esr阶跃输入r(t)=1斜坡输入r(t)=t抛物线输入r(t)=1/2t2

Kp=K∞∞Kv=0Ka=0Kp=∞0Kv=K∞Ka=00型系统1型系统2型系统Kp=∞00Kv=∞Ka=KKp—稳态位置误差系数Kv—

稳态速度误差系数Ka—稳态加速度误差系数对角线上出现的稳态误差具有有限值，对角线以上出现的稳态误差为∞，对角线以下出现的稳态误差为零。结论：①

输入信号形式影响系统的稳态误差。②

esr与N有关，在系统中增加积分器（提高N），可以改善稳态性能。③

开环增益直接影响系统的稳态特性。K越大，稳态误差越小，增大开环增益可以改善闭环系统的稳态特性。④

应注意到，增大N值和K值同时也会使控制系统的稳定性和动态性能变差，必须在控制精度与稳定性之间折衷。例3-4某控制系统的闭环方块图如图所示，a>0,Ti>0,其中Gc(s)表示为比例加积分控制器的传递函数，G0(s)是被控对象的传递函数。对这一系统施加的给定信号为：，试计算稳态误差。Gc(s)G0(s)讨论1.解题步骤2.信号叠加？A倍？解：该系统的开环传递函数为：设系统的标准开环增益:可以看出，此系统为2型，即N＝2。分析：由于给定信号是三种典型信号的线性叠加，并被分别乘以了

A1,

A2,A3倍，根据线性定常系统的两个重要性质，可叠加性和均匀性，该系统的稳态误差应为它们各自单独