自动控制原理 第十次课学习资料

第五章

频率特性分析方法

1、频率特性的定义；系统或环节对正弦输入信号的稳态响应与输入函数之比。2、频率特性的物理意义；可以反应系统的动态特性。3、极坐标图（Nyquist图）5.1.2.1极坐标图（幅相曲线）是ω的复变函数。(1)定义当ω从0→∞变化时，矢量的端点在复平面上画出的轨迹叫作G(jω)的极坐标图。即：ImReωU(ω)V(ω)矢量的端点在实轴与虚轴上的投影分别为的实部和虚部坐标，它们分别叫作实频特性和虚频特性，5.1.2.2一些典型环节的极坐标图（1）一阶惯性环节ImReK●●●（2）放大环节（3）纯滞后环节01ωImReKImRe（4）积分环节与微分环节ww

积分环节使系统产生相位滞后微分环节使系统产生相位超前高频时幅频特性趋近于0低频时幅频特性趋近于0（5）一阶加纯滞后环节ImRe1（6）二阶惯性（滞后）环节分析：当时，（低频特性）当时，（高频特性）1ImRe当时，与虚轴相交

幅频特性不仅是ω的函数，也是ζ的函数

与虚轴交点频率ω＝ωn

随着ω的增加，相位滞后越大，0→－180°

当ζ小于0.707后，幅频特性超过1在最大峰值处ω＝

ωr（谐振频率），系统产生谐振。当输入信号频率达到一定值时，振荡环节将产生谐振，这是振荡环节特有的现象。谐振时振幅将最大，可求出谐振频率。

振荡环节的幅频特性为幅值最大—发生谐振（7）三阶惯性环节分析：当时，↗在负的方向上逐渐增加↙当时，ImRe1（8）比例积分（PI）环节实部不变=Kc，虚部随改变，按实虚部作图。ImReKcKc（9）比例积分微分（PID）环节分析：实部不变=Kc，虚部随改变。ImRe0Kc﹣∞﹢∞低频时,积分起主要作用，相位滞后90°,高频时，微分起主要作用，相位超前90°。物理意义：UV∠0KcKcKc-∞+∞0∞-90°90°0°5.1.2.3系统开环频率特性极坐标图实际控制系统的开环传递函数为：开环频率特性极坐标图的绘制：（1）极坐标图的起始段当w→0时，极坐标的起始段取决于开环传递函数中积分环节的个数（系统的型数）v和开环增益K。当时，可以确定特性的低频部分，其特点由系统的类型近似确定，如下图所示：（2）极坐标图的终止段当w→∞时，因为n>m,幅相特性的高频段的极坐标图以顺时针方向趋于原点处。注意终止点：w=¥ReIm01=-mn2=-mn3=-mn例：ⅠⅡⅢⅣ角度的选择：不能只根据tg-1，还要根据复数实部、虚部的符号，判断在哪个象限。注意：（3）幅相特性与负实轴和虚轴的交点幅相频率特性与虚轴的交点的频率由下式求出

幅相频率特性与负实轴的交点的频率由下式求出（4）若v＝0，m＝n，则开环频率特性极坐标图将始于实轴上某一有限点而止于实轴上的另一有限点。极坐标图的形状与系统的型号有关，一般情况如下（注意起始点）：（1）0型系统的幅相频率特性①开环传递函数

②频率特性③幅相频率特性(极坐标图)绘制当w＝0时：当w→∞时：（2）I型系统的开环幅相频率特性①开环传递函数

②频率特性当时③幅相频率特性(极坐标图)绘制当时即幅值趋于，而相角位移为

当n–m=4时I型系统的极坐标图如图：（3）II型系统的开环幅相频率特性①开环传递函数

②频率特性当时③幅相频率特性(极坐标图)绘制:当时即幅值趋于，而相角位移为

绘制概略极坐标图的步骤总结如下：计算和绘制极坐标图的起点(ω=0

)和终点(ω=∞)；(2)计算和绘制极坐标图与实轴的交点；(4)估算极坐标图的变化范围，包括曲线的象限和单调性等。(5)描绘完整的极坐标图。(3)计算和绘制极坐标图与虚轴的交点；例

系统开环传递函数为绘制其幅相频率特性。解v=1当w→0+时，当w→∞时，方法2：相角：渐近线：*5.1.3典型环节的对数坐标（Bode）图幅频特性图相频特性图5.1.3.1坐标的选择（1）横坐标取角频率ω数值，但标在以10为底的对数刻度上。0.1110100–1012每一大格，频率变化了10倍，叫一个十倍频程，记做/dec

。选择频率范围时，一般在感兴趣的频率范围附近取2~3个dec即可。（2）相频特性采用半对数坐标纸。﹣135°045°90°﹣45°﹣90°0.10.20.30.50.7123456710相频特性的纵坐标为相角，以度为单位，取

等分刻度。(3)

幅频特性的纵坐标

一般取的对数采用等分刻度，采用半对数坐标纸。换算关系：﹣40﹣2002040﹣2﹣10120.010.111010001020﹣10﹣200.10.20.30.50.7123456710：20的值。单位是分贝（db）。5.1.3.2对数坐标图的特点（1）画法很简单，利用渐近线迅速画出各典型环节的对数坐标图。如：幅频特性相加相频特性相加（3）对横坐标ω取对数刻度，可以扩大横坐标的频率范围，既可以看到高、中频段的特性，又不降低低频段（工作频率）的准确度。（2）运算方便，串联环节总的对数频率特性，很容易通过各典型环节的对数频率特性叠加得到。5.1.3.3典型环节的对数坐标图（1）比例环节分析：0.1110020﹣200.1110∠G0°90°﹣90°ImReK

改变增益，对相频特性没有影响，幅频特性只需上下平移。当K增加10倍，分贝增加20。当以分贝表示时，数值与其倒数之间相差一个符号对于数值K：相加。若放大环节串联（2）一阶惯性（滞后）环节如RC滤波器：将ωT作为变量，以使不同T的环节能用相同的图形表示。RCU1U2画法：a）逐点计算法：0.10.51210020﹣20∠G90°0°﹣90°0.10.51210l

相角对于ω=1/T频率点()是斜对称的b）渐近线法(仅对幅频特性）画法：低频段：一条0db的直线。高频段：当●直线斜率为–20db/dec●与低频段渐近线交于Tω=1,叫作转折频率。

0.1110020﹣200.10.51210200db0－20l

在转折频率处，幅频特性的误差最大。其误差值：l

若需精确，可用校正曲线加以校正，一般校正以上三点。

讨论：2）一阶惯性环节，相位角始终为负，输出相位落后于输入，所以称为滞后环节，倒数称为超前环节。如，互为倒数。3）一阶滞后环节具有低通滤波特性即：在低频段，高频段，输出复现输入。输入信号被衰减。1)相角对于转折频率点是斜对称的。4）时间常数T的影响：0.1110200﹣200.1110T=1T=20.050.55T=0.50.22200.10.51210200﹣20T=0.5T=1T=20.10.51210∠G0°-45°-90°T↓→曲线右移，引起幅值衰减、相角滞后的频段减少。T↑→曲线左移，引起幅值衰减、相角滞后的频段加宽。T→0时，接近于一个比例环节特性。（3）纯积分环节横坐标取。幅频特性是一条斜率为-20db/dec直线，且该直线通过的点。为一平行线。0.1110200﹣200.1110∠G0°﹣90°若传递函数中有2个积分器串联，幅频特性：斜率为-40db/dec的直线。相频特性：若有几个积分环节可以以此类推。0.1110400﹣400.1110∠G0°﹣180°（4）纯滞后环节横坐标：τω纯滞后环节不影响幅频特性，只影响相频特性与比例环节恰相反﹣180°﹣90°0.1110∠G0°0.1110200﹣20相角滞后随ω增加而迅速线性增加。纯滞后引起的高频滞后是极为严重的。（5）理想比例积分环节（Kc=1）低频段：时相当于积分环节。，高频段：时，，相当于比例环节。相频特性：；；讨论：0.1110200﹣200°0.1110∠G-45°﹣90°a)在低频段，积分起作用，输出幅值增加，相位滞后。b)高频段，相当于比例作用。c)Kc变化，曲线上下移动。d)

Ti变化，起作用的频段不同。,∵,∴转折频率↓，左移，起积分作用的频段减小。

Ti↓,积分作用增强，起作用的频段增加。（6）理想比例微分环节（Kc=1）低频段：高频段：是斜率为20db/dec的直线。相频特性：90°0.1110∠G0°45°讨论:0.1110200﹣20a)

在低频段，微分不起作用。b)

在高频段，微分起作用，使幅值增加，相角超前。c)Td变化，则起作用的频段变化。转折频率左移，曲线左移，起作用的频段增加，微分作用增强。Td↓，曲线右移，起作用的频段减小，微分作用减弱。（7）理想PID环节（Td<Ti，Kc=1）相当于比例积分环节，转折频率在渐近线：相当于比例微分环节，转折频率在

渐近线：横坐标:ω﹣90°90°0.1110∠G0°低频段，近似于比例积分特性，相角滞后，高频段，近似于比例微分特性，相角超前。Bode图如下：0.1110200﹣20低频段积分起作用，高频段微分起作用。相角：低频段滞后，高频段超前。（8）二阶惯性（滞后）环节：以为横坐标，ζ为参变量。取不同ζ值，算出:1）逐点计算作图当ζ≤0.707，ω接近ωn时，出现谐振。02040﹣20﹣40﹣600.11100﹣45﹣90﹣135﹣180/2）渐近线法作图低频段：高频段：当时，即时，时，即时，两条渐近线交于点，ωn称为转折频率。每变化10倍频程，幅频特性下降-40db，是一条斜率为-40db/dec的直线。0.1110400﹣40在高频段：渐进线与实际曲线的误差与ξ值有关，ξ越小，误差越大；0<ξ<0.707,ωr<ωn,ξ↓,Mr↑,ωr→ωn.谐振频率:ξ→0，ωr

→ωn；Mr→∞

ξ≥0.707，没有谐振现象,需要时可用校正曲线校正。02040﹣20﹣40﹣600.1110K和ωn的影响:(对数坐标图以ω为横坐标来讨论。转折频率＝？)ωn

=1时，转折频率在ω=1处；

K值使图形上下移动,