2025年九年级中考数学压轴题训练-二次函数与线段周长综合

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年九年级中考数学压轴题训练二次函数与线段周长综合1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求线段的最大值；(3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．2．点、、的坐标为分别，抛物线经过这三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点，是抛物线上的两个动点，且点在直线下方．①如图1，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，连接，，，猜想与的数量关系，并说明理由；②如图2，点在直线上，且横坐标为，过点作轴于点，求线段长度的最大值．3．如图，已知抛物线L：经过点，．(1)求的值；(2)连接，交抛物线：的对称轴于点．①求点的坐标；②将抛物线向左平移个单位得到抛物线．抛物线的对称轴交抛物线于点，抛物线的对称轴交抛物线于点．当时，求的值．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点．(1)求抛物线的表达式；(2)点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点E的坐标；(3)在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．5．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的最大距离；(3)如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线与该图形有交点，求m的取值范围．6．已知抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，与轴交于点．(1)直接写出点坐标，点坐标；(2)求抛物线顶点的坐标；(3)如图1，点是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点在第一象限内，过点作轴的平行线交抛物线于点，作轴的平行线交轴于点，过点作轴，垂足为点，当四边形的周长最大时，求点的坐标；(4)如图2，将沿翻折得到，与轴交于点，在对称轴上找一点，使得是直角三角形，直接写出所有符合条件的点的坐标．7．如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴正半轴于点C，，点P在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)连接，将线段绕点A逆时针旋转，点P恰好落在y轴上，求P点坐标．(3)当时，函数的最大值是α，最小值是β，，求t的值．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点，抛物线的顶点坐标为，连接．(1)求抛物线的表达式；(2)判断的形状，并说明理由；(3)点是线段的中点，点是线段上一点（不与重合），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最短，请直接写出最短时间和点的坐标．9．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一动点．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如图1，当点P在直线上方时，过点P作y轴的平行线交直线于点E．①求面积的最大值；②点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作交抛物线于点Q，过点D作于点H，请直接写出点H到抛物线对称轴距离的最大值．10．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式；(2)点P是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点P的坐标．11．如图1，已知抛物线交x轴于点A，B（A在B点左侧），交y轴负半轴于点C，．

(1)求该抛物线的解析式；(2)已知直线交x轴于点D，交y轴于点E，过抛物线上一动点P作于Q，求的最小值；(3)如图2，将抛物线L向上平移个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线于另一点D．F为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段上一点，若与相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)在拋物线的对称轴上是否存在一点，使得与相似；若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．13．有一组邻边相等的凸四边形叫做“乐学四边形”，如菱形，正方形等都是“乐学四边形”，这一组相等的邻边叫做“善思线段”．抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．(1)当，请判断四边形是否为“乐学四边形”，如果是，请说明理由并指出“善思线段”，如果不是，请说明理由．(2)在第（1）问的条件下，试探究在第一象限内，抛物线上是否存在一点E使得，若存在，请求出点E的横坐标，若不存在，请说明理由．(3)四边形为“乐学四边形”，且．抛物线还满足：①；②为等腰直角三角形；点是抛物线上任意一点，且．若恒成立，求m的最小值．14．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴交于点．(1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴及点关于对称轴的对称点的坐标；(2)点是线段上的一个点，过点作x轴的垂线，与抛物线交于点．①若点在对称轴上，判断此时点是否为线段的中点，说明理由；②当最大时，求点的坐标；(3)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位得到线段，若抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围．15．在平面直角坐标系中，点和点都在抛物线上，点在抛物线对称轴的右侧，且点关于点的对称点恰好落在轴上，设点的横坐标为．(1)当时，求点的纵坐标；(2)若点的纵坐标为，求点的坐标；(3)当点不在轴上时，过点作轴于点．①当点在轴上方，且抛物线在内部（包括边界）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求点的坐标；②当点在抛物线对称轴右侧时，直线交直线于点，点是点关于轴的对称点．若的周长是周长的倍，直接写出的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年九年级中考数学压轴题训练——二次函数与线段周长综合》参考答案1．(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，求出，利用二次函数的性质即可求解；（3）先求出，根据以点、、为顶点的三角形与相似，分或，两种情况讨论，设，则，求出，建立方程求解即可．【详解】（1）解：将、两点代入抛物线，则，解得：，即抛物线解析式为：；（2）解：将代入中，则，∴，又∵，设直线的解析为，则，解得：，∴直线的解析为，设，则，∴，∵，且，∴当时，线段有最大值为；（3）解：存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下：∵，∴∴，∵轴，∴，∴，∵以点、、为顶点的三角形与相似，∴或，∵，.∴，设，则，∴，∴或，解得(P与C重合，舍去)或或，当时，，当，时，，,∴.P的坐标为或．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用，2．(1)(2)①，理由见解析；②【分析】本题考查了二次函数的综合问题，面积问题以及线段最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）①先求得直线的解析式为，进而表示出，根据点的坐标求得到的距离，进而根据三角形的面积公式，即可求解；②先求得直线的解析式，进而求得的长，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为代入得，解得：∴抛物线的解析式为（2）①，理由如下：设直线的解析式为，代入，∴解得：∴直线的解析式为∵，轴，∴，，∴，，∵，∴点到的距离为，∵，，，∴到的距离为，∴，，∴；②∵，，则，设直线的解析式为∴解得：∴∵的横坐标为∴∵∴当时的最大值为3．(1)，(2)①；②【分析】（）利用待定系数法解答即可；（）由（）可得二次函数解析式，即得抛物线的对称轴为直线，，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入计算即可求解；（）根据平移可得的解析式为，进而可求出点的坐标，最后根据列出方程解答即可求解；本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的平移，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】（1）解：∵抛物线L：经过点，，∴，解得，即，；（2）解：①∵，，∴抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为直线，，设直线的解析式为，把，代入得，，解得，∴直线的解析式为，把代入，得，∴；②∵，∴将抛物线向左平移个单位得到抛物线，的解析式为，∴抛物线的对称轴为直线，把代入得，，∴，把代入得，，∴，∵，∴，整理得，，解得，（不合题意，舍去），∴的值为．4．(1)(2)的最大值为，此时点(3)或或或【分析】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，熟练利用分类讨论思想是解题的关键．（1）由待定系数法即可求解；（2）设，利用表示出的长，即可求解；（3）当是对角线时，由勾股定理和中点坐标公式，列出方程组即可求解；当是边时，同理可解．【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，设抛物线解析式为，把代入抛物线可得，，解得，抛物线解析式为；（2）解：设直线的解析式为，把，代入可得，解得，直线的解析式为，在中，，，如图，轴，，设点，则点，则，则，，，故当时，有最大值，为，此时点；（3）解：将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，则相当于向右平移了4个单位，向下平移了3个单位，则新抛物线的对称轴为直线，设点，如图，当为对角线时，存在两种情况，可得，，解得，则，的中点为，即，设，则可得，解得，当时，，解得，此时；当时，，解得，此时；如图，当为边时，存在两种情况，当在下方时，当时，，，，，，根据勾股定理可得，，，根据中点公式可得；如图，当为边时，当在上方时，可得，根据勾股定理可得，，，根据中点公式可得；综上，或或或．5．(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．（1）由待定系数法即可求解；（2）证明，得到，即可求解；（3）根据“心形图”关于直线对称可知：当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点，由图可知，当时，直线与“心形图”有交点，即可求解．【详解】（1）解：一次函数与轴分别交于点、两点，当时，，则当时，可得，解得，则，将，代入抛物线，可得：，解得，抛物线的解析式为：；（2）解：设，，过点作于点，过点作轴交于点，，，，，，，，，，，，，，当时，最大为，点到直线的最大值为；（3）解：当直线与抛物线只有一个交点时，令，则，，，当时，直线与“心形图”右上方只有一个交点，此时，直线解析式的值与直线解析式的值相同，为，直线与直线平行，根据“心形图”关于直线对称可知，上方直线与下方直线关于直线对称且平行于直线，上方直线到直线的距离与下方直线到直线的距离相等，根据平行线分线段成比例可得，故当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点，由图可知，当时，直线与“心形图”有交点．6．(1)，；(2)；(3)；(4)，，，．【分析】（1）求出即可得到答案；（2）将抛物线化为顶点式即可得到答案；（3）证明四边形是矩形，得到四边形的周长表达式即可得到答案；（4）证明，分三种情况进行讨论即可．【详解】（1）解：与轴交于点，，故抛物线的解析式为：，将代入，即，解得，，；（2）解：，故的坐标为；（3）解：由（2）知，抛物线对称轴为，设，轴，，过点作轴的平行线交抛物线于点，作轴的平行线交轴于点，过点作轴，四边形是矩形，矩形的周长，当时，四边形的周长最大，此时的坐标为；（4）解：过点作对称轴于，过点作轴于，，由翻折得，，，．，，对称轴于，轴，，，，，，，，，，，，，直线的解析式为，，设，，，，分三种情况：①当时，，，解得，；②当时，，，解得，；③当时，，，解得，，，所以，，．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，两点间的距离公式以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．7．(1)(2)点P的坐标为(3)或【分析】（1）令，求出点的坐标，再根据，求出点的坐标，代入，即可求解；（2）设点，由旋转的性质可得，过点作垂直于轴，交轴于点H，证明，得出，则，解答即可；（3）分三种情况讨论，由二次函数的性质可求解．【详解】（1）解：令，则，解得，∴，∵，∴，将代入中，得，∴抛物线的解析式为．（2）解：设点，由旋转的性质可得，过点作垂直于轴，交轴于点H，∵，则；∵，则，∴，∴，∴，则，解得：或，故点P的坐标为；（3）解：根据（1）可知抛物线的解析式为，故抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，函数图象开口向上，在顶点处取得最小值为；∵当时，函数的最大值是α，最小值是β，，①当对称轴在左侧，即时，最小值为，最大值为，此时，解得：（舍去）；②当对称轴在右侧，即，时，最小值为，最大值为，此时，解得：（舍去）；③当对称轴在之间，即，即时，此时最小值为，最大值为或，则或，解得：或（舍去）或（舍去）或；综上，或．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．(1)(2)直角三角形；理由见解析(3)秒，【分析】（1）设抛物线的表达式为，再将点代入即可得解；（2）说明，即可求解；（3）过点作交轴于点，过点作交于点，则此时运动过程中用时最短，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，∴设该抛物线的表达式为，∵抛物线与轴交于点，∴把点代入，得，解得，∴该抛物线的表达式为；（2）是直角三角形．理由如下：∵抛物线与轴分别交于两点，∴当时，可得，解得，，∴，，∴，，，∴，∴，∴是直角三角形；（3）由（2）可知，，，，且，∴，，过点作交轴于点，过点作交于点，则此时运动过程中用时最短，如下图，∵，∴，∴，∴，∴运动时间为：，此时运动时间最短，过点作于点，设直线的表达式为，将点，代入，可得，解得，∴直线的表达式为，∵，，，∴，设直线的表达式为，将点代入，可得，∴直线的表达式为，当时，可有，解得，∴，∵，∴，，∴，过点作轴于点，∵，∴，∴，∴，即此时运动过程中用时最短为秒，∵在中，点是线段的中点，，，∴点的坐标为，∴，∴，设直线的表达式为，将点，代入，可得，解得，∴直线的表达式为，设点，∴，解得（舍去）或，∴，即点的坐标是时，点在整个运动过程中用时最短，最短时间为秒．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标问题、两点间的距离、勾股定理及其逆定理、锐角三角函数、垂线段最短、平行线之间的距离处处相等等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合是解题的关键．9．(1)(2)①；②点M的坐标为或或(3)【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）①先求出直线的解析式，然后设设，则，即可表示并配方得到最值即可；②分为，，三种情况，利用菱形的性质解题即可；（3）过点作轴，过点作轴,交过点作轴的平行线于点，，则，即可得到，然后利用根与系数得的关系解题即可．【详解】（1）∵抛物经过点，，∴解得∴该抛物线的函数解析式为；（2）①∵点，，设直线的解析式为，把代入得，∴直线的解析式为.设，则，∴∴，∴当时，；②∵抛物线与x轴交于A、两点，令，则，解得或，∴，∵，，∴，∵，∴.以下分三种情况讨论：（i）如答图9-1，当四边形为菱形时，此时，又∵，∴垂直平分，∴点P与点E关于x轴对称∴，即解得，(舍去)，∴，，∴.（ii）如答图9-2，当四边形为菱形时，此时，∴.∴点P与点A重合∴，，∴.（iii）如答图9-3，当四边形为菱形时，此时，∵，，∴，∴，解得，(舍去)，∴，，∴.综上，点M的坐标为或或.（3）如图，过点作轴，过点作轴,交过点作轴的平行线于点，，则，∴∴，∴，，，已知，则有，整理得：①，设直线的解析式为，联立抛物线，消去y可得：，由韦达定理得，，代入①得，整理得，∴直线为，∴直线过定点，∴，∵，∴点H的轨迹是以为直径的圆，点H到抛物线对称轴距离的最大值为．【点睛】本题考查二次函数的综合问题，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法是解题的关键．10．(1)(2)【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，一次函数的图象与性质，轴对称的性质等知识点，依据轴对称路径最短问题确定出点P的位置是解题的关键．（1）根据待定系数法即可求得；（2）连接交抛物线的对称轴于点P，连接，依据轴对称图形的性质可得到，则的周长，故当点在一条直线上时，的周长最小值，然后求得直线的解析式，从而可得到点P的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）∵当时，，∴，∵点P是抛物线对称轴上一点，∴，∴．∴当点在一条直线上时，有最小值，即的长度．如图，连接交抛物线的对称轴于点P，又∵为定值，∴此时，的周长最小．设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，将代入得：，∴点P的坐标为，即当的周长最小时，点P的坐标为．11．(1)(2)(3)当，点P的坐标为或；当，此时点P的坐标为或【分析】（1）将代入中，利用待定系数法即可求解；（2）设点的坐标为，由题意可得，，则，过点作轴，交于，则点的坐标为，可得，由平行可知，则，根据得函数关系式，即可求解；（3）设抛物线的解析式为，可得点C，D的坐标，设，则，，当时，可得；当时，，再分两种情况：当方程①有两个相等实数根时；当方程①有两个不相等的实数根时，是方程①的一个根，即可求解．【详解】（1）解：将代入中，可得：，解得：，∴该抛物线的解析式为；（2）设点的坐标为，对于直线，令，则，即：，令，则，即：，∴，，则，过点作轴，交于，则点的坐标为，∴，∵轴，，∴，则，∴，即：当时，取得最小值，最小值为；（3）由平移可知，抛物线的解析式为；∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，∴，∵为线段上一点，，设点的坐标为，则，，∵∴当时，，∴，∴；当时，，∴，∴；当方程①有两个相等实数根时，，解得：或，∵，∴，∴此时方程①的根为，方程②有一个实数根，∴，点P的坐标为或；当方程①有两个不相等的实数根时，是方程①的一个根，把②代入①，得：，解得：或，∵，∴，此时，方程①有两个不相等的实数根，方程②有一个实数根，∴，此时点P的坐标为或；综上，当，点P的坐标为或；当，此时点P的坐标为或．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及到待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，得到是解题的关键；（3）小题中运用分类讨论思想进行求解是关键．12．(1)抛物线的解析式为(2)当时，有最大值，最大值为8，此时(3)存在，Q的坐标为或．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先求出直线的解析式为，设，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）根据题意分两种情况∶当时，当时，然后分别根据相似三角形的性求解即可．【详解】（1）将，，代入得，，解得∴抛物线的解析式为；（2）设直线的解析式为为∵，∴解得∴直线的解析式为，设，∵过点作轴的平行线交于点，∴点F的纵坐标为，将代入得，得，∴，∴，∴∵，∴当时，有最大值，最大值为8，此时；（3）如图所示，当时，

∵∴抛物线对称轴为∵直线的解析式为，∴将代入∴∴设∴，∵∴∴解得∴；如图所示，当时，

∵，，∴，∵∴∴解得∴综上所述，点的坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，线段最值问题，相似三角形存在性问题，勾股定理等，掌握相关解题方法是解题的关键．13．(1)四边形是“乐学四边形”，理由见解析，是“善思线段”(2)存在，点E的横坐标为(3)m的最小值为【分析】（1）先求得，，，，，，由勾股定理得，运用新定义“乐学四边形”，“善思线段”即可得出答案．（2）过点作轴于点，连接，，利用，求出，令，得，解方程即可．（3）在抛物线中，顶点的坐标为，，，根据．可得①，根据为等腰直角三角形，可得②，联立①②，且，解得，，得出抛物线解析式为，进而可得，运用二次函数性质可得：当时，有最大值，再结合题意求解即可得出答案．【详解】（1）解：四边形是“乐学四边形”，，是“善思线段”．理由如下：当，，时，，令，得，解得：，，令，得，，，，，，，顶点，，，，四边形是“乐学四边形”，，是“善思线段”．（2）解：存在．点的横坐标为．过点作轴于点，连接，，则，，，点在第一象限内，点的纵坐标为2，令，得，解得：，（舍去），点的横坐标为．（3）解：在抛物线中，顶点的坐标为，，，．．①，为等腰直角三角形，过点作于点，，在中，令，得，解得：，，，，，，，，②，联立①②，且，得，，抛物线解析式为，，当时，有最大值，恒成立，∴t最大值∴m的最小值为【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，函数的思想求最值，新定义，等腰直角三角形性质，勾股定理等，解题关键是熟练掌握二次函数图象和性质，理解并运用新定义．14．(1)，直线，(2)①点是线段的中点，理由见解析；②(3)或或【分析】（1）将点代入可求，则，抛物线的对称轴为直线，可求，进而可得点关于对称轴的对称点的坐标；（2）①待定系数法求直线的解析式，进而可求的坐标为，