2025年九年级数学中考二轮复习解直角三角形的应用解答题专题训练

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年九年级数学中考二轮复习解直角三角形的应用解答题专题训练1．如图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角是；后火箭到达点，此时测得仰角为，这枚火箭从到的平均速度是多少（结果取小数点后一位）？（参考数据：，，，）2．宣纸是中国独特的手工艺品，具有质地绵韧、光洁如玉、不蛀不腐、墨韵万变之特色，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．宣纸制作包括108道工序，其中“打浆”这一工序需要使用工具“碓”（图1），图2是其示意图．为转动点，，与水平线的夹角，，，当点绕点旋转下落到上时，线段，旋转到线段，位置，那么点在竖直方向上上升了多少？3．如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东方向航行一定距离到达C港．(1)求A，C两港之间的距离（结果精确到1海里）；(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．（参考数据：，，）4．如图，楼房后有一假山，的坡度为，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为．(1)求的度数；(2)求点E到水平地面的距离；(3)求楼房的高．5．汉中龙头山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．）(1)求索道的长（结果精确到1m）；(2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，）6．如图，点、、在同一水平线上，在处测得点在正北处，点在北偏东；在处测得点在北偏东，点在北偏西，，求、两点间的距离．（结果保留根号，参考数据：．）7．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内沿山体向上修建步行道和观光索道，经过测量知：米，米，步行道的坡度，观光索道与水平线的夹角为求山顶点C到地面的距离的长.(图中所有点都在同一平面内，，参考数据：，最后结果精确到1米)

8．我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前有一段坡度为的斜坡，小明同学站在斜坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这时测到建筑物屋顶C的仰角为，A、B、C、D、E、F在同一平面内．若测角仪的高度米，求建筑物的高度（精确到米，参考数据：，，）．9．南宁市在中国水城建设中，某施工队为引水需要欲拆除琶江岸边的一根电线杆（如图），已知距电线杆水平距离14米处是河岸，即米，该河岸的坡面的坡角的正切值为2（即），岸高为2米，在坡顶处测得杆顶的仰角为，、之间是宽2米的人行道．（）．(1)求坡顶离电线杆的距离；(2)请你通过计算说明在拆除电线杆时，为确保安全，是否将此人行道封上？（在地面上以点为圆心，以长为半径的圆形区域为危险区域）10．小明和小红相约周末游览公园，如图，，，，，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的北偏西方向且米，景点位于景点的东南方向，景点位于景点的北偏西方向，景点位于景点的正东方向米处．(1)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号）(2)小明和小红同时从景点出发，小红沿着的路线前往景点，小明沿着的路线前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知小明步行的速度为80米/分，小红步行的速度为60米/分，请通过计算说明谁先到达景点．（参考数据：，，）11．知识回顾：小夏同学是个数学谜，他不仅被书中的数学知识所吸引，而且爱探究为什么有这些数学知识，在这种“研究为什么”的精神支配下，他对数学思想中的“证明”饶有兴趣！最近，他证明了平行线的性质：平行线间距离处处相等，并尝试用该性质解决问题．（1）如图1，已知梯形相交于点O，求证：知识迁移：寒假期间，小夏回到乡下爷爷家，发现爷爷门前的两块田地刚好拼成如下图2所示的矩形是田地甲、乙之间两条小路．（2）爷爷准备在不改变甲田、乙田总面积的情况下将小路改成直线，请你帮助小夏设计方案，并在图上画出相应图形；（3）经测量，米，米，米，米，请直接写出改造后的道路长为多少米．（结果保留根号）12．图1是我国古代提水的器具枯槔（），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．(1)如图2，求支点到小竹竿的距离（结果精确到米）；(2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶水平移动的距离（结果精确到米）．（参考数据：）13．为了更好地监测湖中的水质，某县在湖中修建了一个取水监测台．其形状为矩形，其示意图如下．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行对监测台边长的测量活动，采取如下方案：在湖外取一点，使得点在同一条直线上；过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为4米．该小组在点处用测角仪进行了如下测量：①②③(1)为了计算边的长，在以上①②③中，应选择的条件是_____________；（填序号）(2)在（1）的条件下，计算的长．（结果精确到．参考数据：）．14．图是某学校门禁的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图是其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离为．（结果保留整数，参考数据：，，）(1)李华站在摄像头前水平距离的点处，恰好能被识别（头的顶部在仰角线上）．请估算李华的身高；(2)王强同学是该校年龄最小且个头最矮的，已知王强同学的头部高度为，若王强同学进校时恰好也能使用人脸识别系统，则王强同学的最低身高为_____．15．某数学爱好小组在学习完“利用三角函数测高”课程后，计划利用所学知识来测量一塔高．如图，大楼侧面为矩形，米，米，该兴趣小组可以从A，B，D三点观察塔顶E（图中所有点均在同一平面内），利用精密测角仪器测得数据如下：测量项目测量数据从点A处观测塔顶E的仰角从点B处观测塔顶E的仰角从点D处观测塔顶E的仰角请你根据现有的条件，充分利用楼房，设计一个测量塔高的方案：要求如下：①数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图．（精确到米）（参考数据：，，，）答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年九年级数学中考二轮复习解直角三角形的应用解答题专题训练》参考答案1．这枚火箭从到的平均速度是【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形先求得，再求出，即可求得，即可得到速度，熟练利用三角函数表示直角三角形中边长的关系是解题的关键．【详解】解：中，，，，，，在中，，，，平均速度，答：这枚火箭从到的平均速度是．2．【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形判定和性质，含30度直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，位似三角形性质等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键．连接，过点作于点，过作于点，于点，则四边形是矩形，则，，得，求出，证明，得，得，得，根据，即得．【详解】解：设上升的高度为，连接，过点作于点，过作于点，于点，则四边形是矩形，，，，，于点，，，，，，，．，即，，，．，，．答：点在竖直方向上上升了．3．(1)海里(2)甲货轮先到达港，理由见解析【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）根据题意可得：，，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算比较即可解答．【详解】（1）解：过点作，垂足为，如图所示：由题可知，，为等腰直角三角形，在中，（海里），（海里），在中，（海里），（海里），，两港之间的距离约为海里；（2）解：甲货轮先到达港，理由如下：如图所示：由题意得，，，，在中，，（海里），（海里），由条件可知（海里），甲货轮航行的路程（海里），乙货轮航行的路程（海里），，即，，甲货轮先到达港．4．(1)(2)点到水平地面的距离为米(3)楼房的高为米【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，矩形的判定与性质：（1）如图，由题意可得，根据即可得解；（2）过点作的延长线于，根据的坡度为得，再由勾股定理即可求解；（3）过作于点，易证四边形是矩形，求出，根据等腰直角三角形的性质求出的长，进而可得的长．【详解】（1）解：如图：由题意可得，∴；（2）解：过点作的延长线于，在中，∵的坡度为，米，∴．∴，∵，∴，∴（米）（负值舍去），则（米），答：点到水平地面的距离为米；（3）解：过作于点，∵，∴四边形是矩形，∴，由（2）知米，米，∵米，∴米，（米），在中，，∴（米），∴（米）．答：楼房的高为米．5．(1)500m(2)483m【分析】本题考查直角三角形的实际应用问题．（1）中，利用即可求解；（2）在中，，先求出的高长度，再加的高度即可求解．【详解】（1）解：在中，由题意得，（m）；即索道的长约为m.（2）解：如图，延长交直线于点，易得，在中，由题意得，（m）（m）即山顶点到水平地面的距离的长约为m.6．【分析】本题主要考查方位角，直角三角形的勾股定理，矩形的综合，掌握方位角构成直角三角形，矩形等，并熟练运用矩形的性质，勾股定理是解题的关键．如图所示（见详解），过点作于，过点作于，可证四边形是矩形，，是直角三角形，根据矩形的性质，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于，过点作于，∵在处测得点在正北处，点在北偏东，点、、在同一条直线上，∴，，∵，，∴，∴四边形是矩形，即，，在处测得点在北偏东，点在北偏西，，∴在中，，，∴，，∴，∴，∴，在中，∵，∴，∴（米），∴、两个小区的物业服务中心距离是．7．米．【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的概念是解题的关键．过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，求出米，得到米，求出，即可得到答案．【详解】解：过点作于点，过点作于点，∴，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∵步行道的坡度，观光索道与水平线的夹角为∴，∴，∵，∴，解得米，∴米，∵∴（米）∴（米）．答：山顶点C到地面的距离的长为米．8．建筑物的高度约为米【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．如图：作，垂足分别为G、K，延长交于H，则．运用勾股定理以及坡度为可得、．设，则．在和中解直角三角形分别得到、，最后根据列方程求解即可．【详解】解：如图：作，垂足分别为G、K，延长交于H，则．∵斜坡的坡度为，，∴设，∵，∴，解得：（舍弃负值），，．设，则．在中，，．在中，，．又，，解得，答：建筑物的高度约为米．9．(1)15米(2)为确保安全，不用将此人行道封上【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键．（1）先解求出的长，进而求出的长，再证明四边形是矩形，即可根据矩形的性质求出答案；（2）先解，求出的长，再由矩形的性质求出的长，进而求出的长，再比较的长即可得到结论．【详解】（1）解：在中，米，∴米，∴米，∵，∴四边形是矩形，∴米，答：坡顶离电线杆的距离为15米；（2）解：在中，米，∵四边形是矩形，∴米，∴米，∵米，且，∴为确保安全，不用将此人行道封上．10．(1)米(2)小红先到达景点B【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）过点B作于F，先解求出，再解求出的长即可得到答案；（2）过点E作于G，则四边形是矩形，可得米，解直角三角形求出的长，再分别计算出两人需要的时间即可得到结论．【详解】（1）解；如图所示，过点B作于F，由题意得，，，在中，米，，在中，米，∴米，答：景点与景点之间的距离为米；（2）解：如图所示，过点E作于G，则四边形是矩形，∴米，在中，米，在中，，∴米，米，∴米，∵，，且，∴小红先到达景点B．11．（1）见解析；（2）见解析；（3）改造后的道路长为米或米【分析】（1）根据平行线间距离处处相等，得到点和点到的距离相等，得到，再根据，即可得到结论；（2）连接，过点B作，连接，即为所求，或连接，过点B作，连接，即为所求，利用平行线间距离处处相等，利用面积转化即可说明理由；（3）分别过点作，垂足分别为，过点B作于点T，过点C作于点L，利用解直角三角形及矩形的性质解答即可．【详解】（1）证明：∵平行线间距离处处相等，∴点和点到的距离相等，∴，∵，∴；（2）解：方法一：连接，过点B作，连接，即为所求，理由如下：∵，∴点和点到的距离相等，∴，∵，∴，∵；∴；方法二：连接，过点B作，连接，即为所求，理由如下：同理得：，∵，∴，∵；∴；（3）分别过点作，垂足分别为，过点B作于点T，过点C作于点L，则，∴四边形是矩形，∴，，，∵四边形是矩形，∴，∵，∴四边形是矩形，∴米，米，，∴，∴，∴，∴米，∴米，∴米，∵米，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵米，米，∴米，∴米，∴米；∵，∴四边形是平行四边形，∴米，∵，∴四边形是矩形，∴米，米，∴米，∴米；综上，改造后的道路长为米或米．【点睛】本题考查平行线间距离的实际应用，解直角三角形的实际应用，矩形的判定与性质，勾股定理，构造直角三角形利用平行线间距离处处相等时解题的关键．12．(1)点到小竹竿的距离为米(2)水桶水平移动的距离米【分析】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定了，解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数值的计算是关键．（1）如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离，可证四边形是矩形，，，在中，米，米，由勾股定理即可求解；（2）如图所示，过点作于点，交于点，根据解直角三角形的计算得到米，由即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，∵米，点是的中点，∴米，在中，米，∴米，∴米，即点到小竹竿的距离为米；（2）解：如图所示，过点作于点，交于点，由（1）可得，米，米，，∴，∴，在中，，∴米，∴米，∴水桶水平移动的距离米．13．(1)②③(2)6米【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形：（1）根据图形，进行判断即可；（2）过点作于点，分别解和，即可得出结果．【详解】（1）解：由图形可知，要计算边的长，应选择的条件为②③；故答案为：②③（2）过点作于点，如图所示，由题意，可知：．在中，，∴米，在中，，∴，∴（米）．答：的长为6米．14．(1)李华的身高约为；(2)．【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，理解题意，