2025版高考数学一轮复习课后限时集训32不等式的性质与一元二次不等式理含解析新人教A版

PAGE3-课后限时集训(三十二)不等式的性质与一元二次不等式(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．设集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－3)＜0))))，则A∪B＝()A．(－2,1) B．(－2,3)C．(－1,3) D．(－1,1)B[A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|－1＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－2＜x＜3}，故选B.]2．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：①若ab＞0，bc－ad＞0，则eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0；②若ab＞0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，则bc－ad＞0；③若bc－ad＞0，eq\f(c,a)－eq\f(b,d)＞0，则ab＜0.其中正确的命题有()A．①② B．①③C．②③ D．①②③A[对于①∵ab＞0，bc－ad＞0，∴eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，故①正确．对于②，∵ab＞0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，∴eq\f(bc－ad,ab)＞0，即bc－ad＞0，故②正确．对于③eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＝eq\f(bc－ad,ab)＞0，又bc－ad＞0，∴ab＞0，所以③错误．故选A.]3．若0＜b＜a＜1，则下列结论不成立的是()A.eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) B.eq\r(a)＞eq\r(b)C．ab＞ba D．logba＞logabD[对于A，函数y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减，所以当0＜b＜a＜1时，eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)恒成立；对于B，函数y＝eq\r(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当0＜b＜a＜1时，eq\r(a)＞eq\r(b)恒成立；对于C，函数y＝ax(0＜a＜1)单调递减，函数y＝xa(0＜a＜1)单调递增，所以当0＜b＜a＜1时，ab＞aa＞ba恒成立；当a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)时，logab＝2，logba＝eq\f(1,2)，logab＞logba，D选项不成立，故选D.]4．(2024·芜湖模拟)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x－b)＞0的解集是(2,3)，则a＋b的值为()A．1B．2C．4 D．8C[∵x⊗y＝x(1－y)，∴(x－a)⊗(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]＞0，即(x－a)(x－b－1)＜0.∵不等式(x－a)⊗(x－b)＞0的解集是(2,3)，∴x＝2和x＝3是方程(x－a)(x－b－1)＝0的根，即x1＝a或x2＝1＋b，∴x1＋x2＝a＋b＋1＝2＋3，∴a＋b＝4.故选C.]5．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对随意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是()A．(－1,0) B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．不能确定C[由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即eq\f(a,2)＝1，解得a＝2.又因为f(x)开口向下，所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，解得b＜－1或b＞2.]二、填空题6．若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则a的值为________．eq\f(1±\r(5),2)[由题意可知，方程x2－2ax＋a＝－1有唯一解．∴Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，即a＝eq\f(1±\r(5),2).]7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．9[由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋b－eq\f(a2,4).因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－eq\f(a2,4)＝0，即b＝eq\f(a2,4).所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2.又f(x)＜c，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＜c，即－eq\f(a,2)－eq\r(c)＜x＜－eq\f(a,2)＋eq\r(c).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)－\r(c)＝m，①,－\f(a,2)＋\r(c)＝m＋6.②))②－①，得2eq\r(c)＝6，所以c＝9.]8．已知函数f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)，若对随意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围是________．(－3，＋∞)[当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)＞0恒成立，即x2＋2x＋a＞0恒成立．即当x≥1时，a＞－(x2＋2x)恒成立．令g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1，则g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝－3，故a＞－3.所以实数a的取值范围是{a|a＞－3}．]三、解答题9．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)＞0；(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．[解](1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－2eq\r(3)＜a＜3＋2eq\r(3).所以不等式的解集为{a|3－2eq\r(3)＜a＜3＋2eq\r(3)}．(2)因为f(x)＞b的解集为(－1,3)，所以方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝\f(a6－a,3)，,－1×3＝－\f(6－b,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3±\r(3)，,b＝－3.))10．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是(0,5)．(1)求f(x)的解析式；(2)若对于随意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．[解](1)由题意可知，0,5是f(x)＝0的两个实数根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＋5＝－\f(b,2)，,5×0＝\f(c,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－10,c＝0，))即f(x)＝2x2－10x.(2)由(1)可知不等式2x2－10x＋t≤2对∀x∈[－1,1]恒成立．即2x2－10x＋t－2≤0在[－1,1]上恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋10＋t－2≤0,2－10＋t－2≤0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t≤－10,t≤10，))∴t≤－10.即t的取值范围为(－∞，－10]．B组实力提升1．(2024·福州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(ac≠0)，若f(x)＜0的解集为(－1，m)，则下列说法正确的是()A．f(m－1)＜0 B．f(m－1)＞0C．f(m－1)必与m同号 D．f(m－1)必与m异号D[∵f(x)＜0的解集为(－1，m)，∴－1，m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(ac≠0)的两个实数根，且a＞0.∴f(x)＝a(x＋1)(x－m)．∴f(m－1)＝－am与m必异号．故选D.]2．(2024·咸阳模拟)已知0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列不等式中正确的是()A．log2a＞0 B．2a－b＜eq\f(1,2)C．log2a＋log2b＜－2 D．2eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)＜eq\f(1,2)C[由题意知0＜a＜1，此时log2a＜0，A错误；由已知得0＜a＜1,0＜b＜1，所以－1＜－b＜0，又a＜b，所以－1＜a－b＜0，所以eq\f(1,2)＜2a－b＜1，B错误；因为0＜a＜b，所以eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)＞2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝2，所以2eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)＞22＝4，D错误；由a＋b＝1＞2eq\r(ab)，得ab＜eq\f(1,4)，因此log2a＋log2b＝log2(ab)＜log2eq\f(1,4)＝－2，C正确．]3．(2024·湛江调研)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若不等式f(x)＜0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,2)或x＞3))))，则f(ex)＞0(e是自然对数的底数)的解集是________．(－ln2，ln3)[由题意可知f(x)＞0的解集为{x|eq\f(1,2)＜x＜3}，令eq\f(1,2)＜ex＜3得，－ln2＜x＜ln3.]4．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.(1)若a＝2，试求函数y＝eq\f(fx,x)(x>0)的最小值；(2)对于随意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．[解](1)依题意得y＝eq\f(fx,x)＝eq\f(x2－4x＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)－4.因为x>0，所以x＋eq\f(1,x)≥2，当且仅当x＝eq\f(1,x)时，即x＝1时，等号成立，所以y≥－2.所以当x＝1时，y＝eq\f(fx,x)的最小值为－2.(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只