医学统计学 二项分布poisson分布及其应用2(八年制)学习资料

二项分布、Poisson分布及其应用山东大学公共卫生学院

概念及性质

二项分布

应用（率的估计与比较）

概念及性质Poisson分布

应用（率的估计与比较）主要内容Poisson分布是一种重要的离散型分布，由法国数学家S.D.Poisson（1837）提出。在医学研究中，常用于研究单位时间、人群、空间内，某罕见事件发生次数的分布。

一、Poisson分布的概念41.模拟试验有一桶黄豆，其中有5/1000的黄豆被染成红色，即红豆的发生率为0.005，然后用茶杯作为抽样的容器（每杯大约为500个豆子）进行抽样，观察每杯内出现红豆分别为0，1，2，3，

的分布概率。其分布概率服从Poisson分布的概率函数。

Poisson分布最初是作为二项分布的一个特例提出来的，在n较大，较小时，Poisson分布是二项分布的极限形式。举例：据以往经验，新生儿染色体异常率为1%，试分别用二项分布和Poisson分布原理，求100名新生儿中发生x例染色体异常的概率。举例：对于（n=10，20，40，100）的四种情况7在实际工作中，Poisson分布较多地用于研究单位时间、单位空间、单位人群，某罕见事件的发生数。例如某细菌在单位空气和单位水中出现的情况，一定人群中某患病率很低的非传染性疾病患病数或死亡数的分布等。Poisson分布的应用82.Poisson分布的概率函数与累计概率概率函数式中，，为Poisson分布的总体平均数；X为某单位人群、容积、面积、时间、空间内某事件的发生次数，称为样本阳性数。递推公式：9Poisson分布的累计概率：从阳性率为的总体中随机抽样时，单位时间、人群、空间内最多有k例阳性的概率最少有k例阳性的概率

Poisson分布的累计概率10例题已知某批疫苗接种后的严重反应率为1‰。问用该批疫苗接种150人，有2人以上发生严重反应的概率是多少？

=0.15113.Poisson分布的应用条件条件：除π<0.05外，其余同二项分布。从π<0.05的两分类资料中以固定的、足够大的n（通常为单位人群、单位容积、单位面积、单位时间）抽样时，样本中出现阳性数X=0,1,2…的样本的分布为Poisson分布。124.Poisson分布的图形

=3

=513Poisson分布的图形

=50

=20

=1014Poisson分布的图形Poisson分布的形状取决于的大小：很小时(如)，Poisson分布的图形呈正偏态；随的增大而逐渐趋于对称；当时，图形近似正态分布；时，图形为正态分布。

15Poisson分布的正态近似示意图N(

,

)165.Poisson分布的性质Poisson分布是单参数的离散型分布，参数为。方差等于均数，。Poisson分布可以看成二项分布的特例。Poisson分布的极限形式是正态分布。Poisson分布具有可加性。多个服从Poisson分布的独立随机样本，其和仍服从Poisson分布。利用Poisson分布的可加性，可通过扩大样本含量n

，使，即可利用正态分布原理进行统计推断。17Poisson分布的可加性若x1，x2，…，xk相互独立，且它们分别服从参数

1，

2，…，

k的Poisson分布，则x1+

x2+…+

xk

也服从Poisson分布，其参数为

1+

2…+

k

。例：设某车间平均每升空气中的粉尘颗粒数为25，现考虑3升空气中的粉尘颗粒数，则它服从参数为75的Poisson分布。18二、总体平均数的估计点值估计：以X作为为μ的点值估计。由于抽样误差的存在，X往往不等于μ

，通常用区间估计。区间估计：根据样本阳性数X是否大于50，可用查表法和正态近似法。19区间估计----查表法当样本阳性数时，用查附表8Poisson分布的可信区间，可得总体平均数的95%或99%可信区间。例3.8将一个面积为100cm2的培养皿置于病房中，1h后取出，培养24h，查得8个菌落，试估计该病房平均每100cm2细菌数的95％CI。本例，查附表8，得的95%下限为3.4，上限为15.8，即该病房平均每100cm2细菌数的95％可信区间为3.4

15.8。20区间估计----正态近似法当样本阳性数时，可按正态近似法估计

的可信区间：

21例题---正态近似法用计数器测得某放射性物质1小时内发出的脉冲数为200个,据此估计该放射性物质平均每小时发出的脉冲数的95%可信区间。22样本阳性数与总体平均数的比较两样本阳性数的比较三、率的比较23（一）样本阳性数与总体平均数的比较目的：推断样本所代表的未知总体平均数μ与已知总体平均数μ0是否相等。根据资料的具体情况，可选用：

1.

直接计算概率法

2.正态近似法24应用条件：μ0<20，且样本阳性数X较小作单侧检验时。例7已知接种某疫苗时，一般严重反应率为1‰。现用某批号的该种疫苗接种150人，有2人发生严重反应，问该批号疫苗的严重反应率是否高于一般？1.直接计算概率法样本阳性数与总体平均数的比较H0(

＝0.001)成立时150人中发生严重反应人数的概率分布25

H0：

=

0，即该批疫苗的严重反应率不高于一般

H1：

>

0，即该批疫苗的严重反应率高于一般

=0.05

本例

0=0.001，n=150，

0=n0=0.15，x=2，根据题意需计算最少有2例发生严重反应的概率，P<0.05，按

=0.05水准拒绝H0，接受H1，可认为该批疫苗的严重反应率高于一般。样本阳性数与总体平均数的比较----直接计算概率法26

例8

卫生标准规定,生活饮用水大肠杆菌数不得超过3个/ml。现对某饮用水进行抽检，抽取1ml水样培养得到5个大肠杆菌。问该水样中的大肠杆菌是否超标？H0(

=3)成立时,每毫升水中大肠杆菌数的概率分布样本阳性数与总体平均数的比较----直接计算概率法27

H0：

=

0，即该水样中大肠杆菌数不超标

H1：

>0

，即该水样中大肠杆菌数超标

=0.05

本例

0=3，x=5，根据题意需计算每毫升水有5个以上大肠杆菌的概率，

P>0.05，按

=0.05水准不拒绝H0，尚不能认为该水样中大肠杆菌超标。样本阳性数与总体平均数的比较----直接计算概率法28当μ0≥20时，，可利用Poisson分布的正态近似原理做检验。2.正态近似法样本阳性数与总体平均数的比较29

例9

质量控制标准规定某装置平均每小时发出质点数不超过50个。今抽查一次，在1小时内测得该装置发出的质点数为58个，问该装置是否符合要求？样本阳性数与总体平均数的比较----直接计算概率法H0(=0=50)成立时,1小时内该装置发出的质点数的概率分布30

H0：

=

0，即该装置符合质量标准

H1：≠0

，即该装置不符合质量标准

=0.05

u=1.1314<1.96，p>0.05，按

=0.05水准不拒绝H0，尚不能认为该装置不符合质量标准。样本阳性数与总体平均数的比较----直接计算概率法31

例10

某省肺癌死亡率为35.2/10万，在该省某地抽查10万人，进行三年死亡回顾调查，得肺癌死亡数为82人。已知该地人口年龄别构成与全省基本相同。问该地肺癌死亡率与全省有无差别？样本阳性数与总体平均数的比较----直接计算概率法32H0:该地肺癌死亡率与全省相同，即

=

0=35.23=105.6

H1:该地肺癌死亡率与全省不同，即

0

=0.05

本例X=82，

0=105.6>20，可用正态近似法进行检验。

P<0.05，按

=0.05的检验水准拒绝H0,接受H1,

可认为该地居民肺癌死亡率低于全省。样本阳性数与总体平均数的比较----直接计算概率法33（二）两样本阳性数的比较目的：推断两个样本各自代表的两总体平均数是否相等。当两个样本阳性数X1,X2均大于20时，可用u检验。

34两样本阳性数的比较----u检验1.两样本观察单位(时间、面积、容积等)相同

或35

例11

某省肿瘤研究所分别在甲、乙两县随机抽查10万育龄妇女，进行追踪观察。三年中甲县死于宫颈癌的有28人，乙县死于宫颈癌者47人。问甲乙两县宫颈癌死亡率有无差别？

两样本阳性数的比较36

H0：

1=

2，即甲乙两县宫颈癌死亡人数/10万相等

H1：

1

2，即甲乙两县宫颈癌死亡人数/10万不等

=0.05

本例1.96<u=2.1939<2.58，故0.01<P<0.05，按

=0.05的水准拒绝H0，接受H1，可认为两县育龄妇女宫颈癌死亡率不同。两样本阳性数的比较37

例12

某车间在改革生产工艺前，随机测量三次车间空气中的粉尘浓度，每次取1升空气，分别测得有38、29、36颗粉尘；改革生产工艺后又测量3次，每次取1升空气，分别测得有25、18、21颗粉尘。问工艺改革前后粉尘浓度是否有变化？

两样本阳性数的比较38H0:

1=

2,工艺改革前后平均每3升空气中的粉尘颗粒数相同H1:

1

2,工艺改革前后平均每3升空气中的粉尘颗粒数不同

=0.05

本例u>2.58，故P<0.01，按

=0.05的水准拒绝H0，接受H1，认为改革生产工艺前后平均每3升空气中的粉尘颗粒数不同，改革生产工艺后粉尘浓度降低了。两样本阳性数的比较39两样本阳性数的比较----u检验2.

两样本观察单位(时间、面积、容积等)不同需先将观察单位化为相等，即分别计算出两样本阳性数的平均数。

40

例13

某县防疫站从甲水井取样7次，每次取1ml水培养，测得菌落数分别为30、70、120、50、80、60、40；乙水井取水样5次，每次取1ml水培养，测得菌落数分别为70、90、130、40、80。问两水井的细菌污染状况有无差别？

H0:

1=

2，即两水井平均每毫升水中细菌个数相同

H1:

1

2，即两水井平均每毫升水中细菌个数不同

=0.05两样本阳性数的比较41

本例，甲、乙水井中平均每毫升水中的菌落数分别为两样本阳性数的比较42

本例u>2.58，故P<0.01，按

=0.05的水准拒绝H0，接受H1，认为两水井的细菌污染状况不同，乙水井的污