2024年春八年级数学下册第16章二次根式16.1二次根式教案新版新人教版

PAGEPAGE616.1二次根式第1课时二次根式的概念教学目标一、基本目标【学问与技能】理解并驾驭二次根式的概念，驾驭二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围．【过程与方法】经验视察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括实力．【情感看法与价值观】经验视察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充溢了探究性和创建性，体验发觉的欢乐，并提高应用意识．二、重难点目标【教学重点】二次根式的概念，二次根式有意义的条件．【教学难点】求二次根式中字母的取值范围．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.2．一般地，我们把形如eq\r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式，“eq\r()”称为二次根号．3．下列式子中，不是二次根式的是(B)A．eq\r(45) B．eq\r(－3)C．eq\r(a2＋3) D．eq\r(\f(2,3))环节2合作探究，解决问题活动1小组探讨(师生互学)【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？eq\r(11)，eq\r(－5)，eq\r(－72)，eq\r(3,13)，eq\r(\f(1,5)－\f(1,6))，eq\r(3－x)(x≤3)，eq\r(－x)(x≥0)，eq\r(a－12)，eq\r(－x2－5)，eq\r(a－b2)(ab≥0)．【互动探究】(引发学生思索)要推断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．【解答】因为eq\r(11)，eq\r(－72)，eq\r(\f(1,5)－\f(1,6))＝eq\r(\f(1,30))，eq\r(3－x)(x≤3)，eq\r(a－12)，eq\r(a－b2)(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数均为非负数，所以都是二次根式.eq\r(3,13)的根指数不是2，eq\r(－5)，eq\r(－x)(x≥0)，eq\r(－x2－5)的被开方数都小于0，所以不是二次根式．【互动总结】(学生总结，老师点评)推断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号；(2)被开方数是非负数．【例2】当x________，eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋1)在实数范围内有意义．【互动探究】(引发学生思索)二次根式有意义要满意什么条件？本题是否还要考虑其他条件？【分析】要使eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋1)在实数范围内有意义，必需同时满意被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.【答案】≥－3且x≠－1【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种状况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数为非负数，三是零次幂的底数不为零．活动2巩固练习(学生独学)1．下列式子中，是二次根式的是(A)A．－eq\r(7) B．eq\r(3,7)C．eq\r(x) D．x2．使式子eq\r(－x－52)有意义的未知数x有(B)A．0个 B．1个C．2个 D．多数个3．当x是多少时，eq\f(\r(2x＋3),x)＋x2在实数范围内有意义？解：依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3≥0，,x≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－\f(3,2)，,x≠0.))∴当x≥－eq\f(3,2)且x≠0时，eq\f(\r(2x＋3),3)＋x2在实数范围内没有意义．活动3拓展延长(学生对学)【例3】若实数x、y满意y＞eq\r(x－2)＋eq\r(6－3x)＋3，求|y－3|－eq\r(x－y2)的值．【互动探究】要求|y－3|－eq\r(x－y2)的值，需确定出x、y的取值范围．依据式子y＞eq\r(x－2)＋eq\r(6－3x＋3)，可以确定出x、y的取值范围．【解答】由题意，得x－2≥0且6－3x≥0，解得x＝2，则y＞3.故|y－3|－eq\r(x－y2)＝y－3－y＋2＝2－3＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式有意义的条件求出x的值，从而确定y的取值范围，然后利用二次根式的性质化简代数式．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(概念,有意义的条件——被开方数是非负数))练习设计请完成本课时对应训练！第2课时二次根式的性质教学目标一、基本目标【学问与技能】理解eq\r(a)(a≥0)是一个非负数、(eq\r(a))2＝a(a≥0)和eq\r(a2)＝a(a≥0)，并利用它们进行计算和化简；了解代数式的概念．【过程与方法】在明确(eq\r(a))2＝a(a≥0)和eq\r(a2)＝a(a≥0)的算理的过程中，感受数学的好用性；通过小组合作沟通，培育学生的合作意识．【情感看法与价值观】通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培育学生解决问题的实力．二、重难点目标【教学重点】二次根式的性质．【教学难点】运用二次根式的性质进行有关计算．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P3～P4的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．(1)当a>0时，eq\r(a)表示a的算术平方根，因此eq\r(a)>0；(2)当a＝0时，eq\r(a)表示0的算术平方根，因此eq\r(a)＝0.概括：一般地，eq\r(a)(a≥0)是一个非负数．2．教材P3“探究”，依据算术平方根的意义填空：(1)(eq\r(4))2＝4；(eq\r(2))2＝2；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,3))))2＝eq\f(1,3)；(eq\r(0))2＝0.(2)一般地，(eq\r(a))2＝a(a≥0)．3．教材P4“探究”，填空：(1)eq\r(22)＝2；eq\r(0.012)＝0.01；eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2)＝eq\f(2,3)；eq\r(02)＝0.(2)一般地，eq\r(a2)＝a(a≥0)．老师点拨：二次根式的三特性质：(1)eq\r(a)(a≥0)是一个非负数；(2)(eq\r(a))2＝a(a≥0)；(3)eq\r(a2)＝a(a≥0)．4．用基本运算符号把数或表示数的字母连结起来的式子，我们称这样的式子为代数式．5．计算：eq\r(0.0196×22500)＝21；eq\r(5\f(4,9))＝eq\f(7,3).环节2合作探究，解决问题活动1小组探讨(师生互学)【例1】计算：(1)(eq\r(1.5))2；(2)(2eq\r(5))2；(3)eq\r(16)；(4)eq\r(－52).【互动探究】(引发学生思索)一个非负数的算术平方根的平方等于什么？当二次根式的被开方数是一个完全平方数，开方时有什么规则？【解答】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(1.5)))2＝1.5.(2)(2eq\r(5))2＝22×(eq\r(5))2＝4×5＝20.(3)eq\r(16)＝(eq\r(42))＝4.(4)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5))2)＝eq\r(52)＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数．当二次根式的被开方数是一个完全平方数时，eq\r(a2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≥0))；,－a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a<0)).))【例2】化简下列二次根式．(1)eq\r(8a3b)(a≥0，b≥0)；(2)eq\r(－36×169×－9).【互动探究】(引发学生思索)依据开方的定义化简．留意：二次根式的结果是最简二次根式．【解答】(1)eq\r(8a3b)＝eq\r(22·a2·2ab)＝eq\r(2a2)·eq\r(2ab)＝2aeq\r(2ab).(2)eq\r(－36×169×－9)＝eq\r(36×169×9)＝6×13×3＝234.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数；(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(式)，即化为最简二次根式．活动2巩固练习(学生独学)1．下列各式正确的是(D)A．eq\r(－4×－9)＝eq\r(－4)×eq\r(－9)B．eq\r(16＋\f(9,4))＝eq\r(16)×eq\r(\f(9,4))C．eq\r(4\f(4,9))＝eq\r(4)×eq\r(\f(4,9))D．eq\r(4×9)＝eq\r(4)×eq\r(9)2．计算：(1)(eq\r(9))2；(2)－(eq\r(3))2；(3)eq\r(64)；(4)eq\r(a2＋2a＋1).解：(1)9.(2)－3.(3)8.(4)eq\r(a2＋2a＋1)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1))2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋1)).当a≥－1时，原式＝a＋1；当a<－1时，原式＝－a－1.3．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：eq\r(a＋12)＋2eq\r(b－12)－|a－b|.解：从数轴上a、b的位置关系，可知－2＜a＜－1,1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0，原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.活动3拓展延长(学生对学)【例3】已知a、b、c是△ABC的三边长，化简eq\r(a＋b＋c2)－eq\r(b＋c－a2)＋eq\r(c－b－a2).【互动探究】依据三角形的三边关系，得出b＋c＞a，b＋a＞c.依据二次根式的性质得出含有肯定值的式子，然后去肯定值符号合并即可．【解答】∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)