测量学课件 第5章 测量误差基础知识学习资料

1《测量学》2水准仪系列型号DS05DS1DS3DS10每千米往返测高差中数偶然中误差≤0.5mm≤1mm≤3mm≤10mm主要用途国家一等水准测量及地震监测国家二等水准测量及其他精密水准测量国家三、四等水准测量及一般工程水准测量一般工程水准测量各等级水准测量技术及用途3技术项目一测回水平方向中误差望远镜有效孔径不小于望远镜放大倍数不小于水准管分划值水平度盘垂直度盘主要用途经纬仪等级DJ1DJ2DJ6126二等平面控制测量及精密工程测量60mm40mm40mm30倍28倍26倍6/2mm20/2mm30/2mm10/2mm20/2mm30/2mm三、四等平面控制测量及一般工程测量图根控制测量及一般工程测量技术参数表3-1经纬仪系列技术参数和用途4成果整理表5§5-1测量误差的概念一、测量误差的来源1、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性3、外界环境的影响6一.产生测量误差的原因产生测量误差的三大因素：仪器原因

仪器精度的局限,轴系残余误差,等。人的原因

判断力和分辨率的限制,经验,等。外界影响

气象因素(温度变化,风,大气折光)

结论：观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：观测条件:

上述三大因素总称为观测条件等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各次观测，称为等精度观测。7二、测量误差的分类与对策（一）分类系统误差——在相同的观测条件下，误差出现在符号和数值相同，或按一定的规律变化。例：误差

钢尺尺长误差

Dk

钢尺温度误差

Dt

水准仪视准轴误差i

经纬仪视准轴误差C

……处理方法计算改正计算改正操作时抵消(前后视等距)操作时抵消(盘左盘右取平均)

……系统误差(systemerror)1．定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。2．特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。89二、测量误差的分类与对策（一）分类偶然误差——在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”粗差——特别大的误差（错误）例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差

。（二）处理原则10粗差——必须进行重测系统误差——找出规律，加以改正偶然误差——多余观测，制定限差例如：对同一量观测了n次观测值为l1,l2,l3,….ln如何取值？11如何评价数据的精度？12三.偶然误差的特性1.偶然误差的定义：

设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值，则产生了n个真误差：(6-1-1)真误差真值观测值例如：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差

i为

i=180–(i+i+i)其结果如表6-1，图6-1,分析三角形内角和的误差

I的规律。13

误差区间负误差正误差误差绝对值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.254

3~6 40 0.112 410.115810.226

6~933 0.092 330.092660.184

9~1223 0.064210.059 44 0.123

12~15 17 0.047 160.045 33 0.092

15~18 13 0.036 13 0.036 26 0.073

18~21 6 0.01750.014 11 0.031

21~244 0.0112 0.006 6 0.017

24以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.00014表5-1偶然误差的统计15-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=

k/d有限性：渐降性：对称性：抵偿性：有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。16偶然误差的特性一、方差和标准差（中误差）17§5-2评定精度的标准18二、相对中误差平均误差一、中误差§6-2评定精度的标准19如果函数是连续型随机变量X的分布密度函数202122m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。

两组观测值中误差图形的比较：m1=2.7m2=3.6用观测值的中误差与观测值之比来描述距离或面积测量的精度23二、相对中误差正态分布密度以为对称轴,并在处达到最大。当时，f(x)0，所以f(x)以x轴为渐近线。用求导方法可知，在处f(x)有两个拐点。对分布密度在某个区间内的积分就等于随机变量在这个区间内取值的概率242526但大多数被观测对象的真值不知，如何评定观测值的精度，即：

=？m=？27§5-3观测值的算术平均值及改正值寻找最接近真值的值x中位数：设把n个观测值按大小排列，这时位于最中间的数就是“中位数”。众数：在n个数中，重复出现次数最多的数就是“众数”。切尾平均数：去掉lmax,lmin以后的平均数。28算术平均数：满足最小二乘原则的最优解29一、算术平均值：

将上列等式相加，并除以n,得到

30证明（x是最或然值）最小平方法（又称最小二乘法）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小平方法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。测量学中最小二乘法的数据处理原则：使各个改正值的平方和最小。最小平方法通常用于曲线拟合。31曲线拟合的最小二乘法给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。

在实际中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也包括在内。因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段：①不要求过所有的点（可以消除误差影响）；②尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。32应用：有时候，问题本身不要求构造的函数过所有的点。如：5个风景点，要修一条公路S使得S为直线，且到所有风景点的距离和最小。若被观测对象的真值不知，则取平均数为最优解x33改正值的特性定义改正值似真差满足最小二乘原则的最优解最小二乘标准差可按下式计算34中误差§5-4观测值的精度评定将上列左右两式相减，得353637对代入前式38计算标准差例子39一、已知真值X，则真误差一、真值不知，则二、中误差二、中误差已知：mx1,mx2,……mxn求：my=?40

y=?

§5-5误差传播定律41观测值函数的中误差

——误差传播定律42二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数已知：mx,my,

求：mz=?43二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数已知：mx,my,

求：mz=?和44二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,my,

求：mz=?和45二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,my,

求：mz=?46二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,my,

求：mz=?和47二、几种常用函数的中误差（二）倍乘函数已知：mx,求：mz=?和平方48二、几种常用函数的中误差（二）倍乘函数已知：mx,求：mz=?49解：例量得地形图上两点间长度=168.5mm

0.2mm,

计算该两点实地距离S及其中误差ms：列函数式中误差式50二、几种常用函数的中误差（三）线性函数已知：mxi,求：mz=?51（三）线性函数特殊xi为独立观测值52

凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。53(四)一般函数的中误差公式——误差传播定律设有函数xi为独立观测值对上式线性化小结第一步：写出函数式第二步：写出全微分式(线性化)第三步：写出中误差关系式注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式。5455

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

56例已知某矩形长a=500米，宽b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面积中误差mp。三、几种常用函数的中误差求观测值函数中误差的步骤：(1)列出函数式；(2)对函数式线性化(全微分)；(3)套用误差传播定律，写出中误差式。已知

有求：57错误！例题已知

有；求：58例题观测值：斜距S和竖直角v待定值：水平距离D59SvhD§5-6误差传布定律

应用举例观测值：斜距S和竖直角v待定值：高差h60SvhD算术平均值已知：m1=m2=….=mn=m求：mx616263

DMPxyXYO由误差传播定律：解：例9：已知直线MP的坐标方位角

=722000，水平距离D=240m。如已知方位角中误差，距离中误差，求由此引起的P点的坐标中误差、，以及P点的点位中误差。误差传播定律的应用64误差传播定律的应用解：由题意：每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：

用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差。现有三组观测值，计算其最或然值A组：123.34,123.39,123.35B组：123.31,123.30,123.39,123.32C组：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32各组的平均值

A组：123.360

B组：123.333

C组：123.356

65=?

各组的平均及其权

A组：123.360权PA=3B组：123.333PB=4C组：123.356PC=566

67一、权与单位权1.权定义：设观测值Li的中误差为mi,则该观测值Li的权定义为

或

682.单位权P=1称单位权；

P=1相应的观测值，称单位权观测值；P=1相应的观测值中误差，称单位权观测值中误差。69平均数的权pA=3平均数的中误差m——单位权中误差权与误差的平方成反比70

若取

则

同理

【例】水准路线高差的权1.等精度观测值代数和的权

【例】水准路线高差的权

2.等精度观测值算术平均值的权

71三、加权平均值及其中误差

1.加权平均值

72如果m可以用真误差

j计算，则73如果m要用改正数v计算，则74

已知：S1=2.5kmS2=4kmS3=2km

HA=10.325h1=5.436HB=12.786h2=2.970HC=14.568h3=1.204求P点高程的加权平均值及其中误差

五、【例】7576例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回计算该水平角的加权平均值。加权平均值的计算

组号测回数各组平均值L权

P

LPL表5-5加权平均值：1