2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中切线证明专题训练

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中切线证明专题训练1．如图，已知是的直径，为的内接三角形，为延长线上一点，连接于点，交于点．(1)求证：是的切线．(2)若，求的长．2．如图，在中，直径与弦交于点P，，过点C作，与的延长线交于点E．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．3．如图，已知是的直径，A在上，点D是的内心，的延长线与相交于点E，过E作直线(1)求证：是的切线；(2)若，，①求的长；②直接写出的长度：______．4．如图，内接于，是的直径，过的延长线上一点作于点，交于点，点是的中点，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．5．如图，已知为的直径，，弦，直线，相交于点．(1)求证：直线是的切线；(2)当，时，求的半径．6．如图，在中，，延长到点C，使，在以O为圆心，为直径的半圆上取一点D，使，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，则的半径长为_______．7．如图，在中，，为的直径．与相交于点．过点作于点，延长线交于点．(1)求证：为的切线；(2)若，，求的长．8．如图，已知是的直径，点P在的延长线上，弦平分，且于点D．(1)求证：是的切线；(2)若，弧的长为_________．9．在中，，以为直径的与交于点，过点作，交的延长线于，垂足为．(1)如图①，求证：直线是的切线；(2)如图②，作于，交于，若，，求的长．10．如图，在中，，以为直径作，分别交于点，交的延长线于点，过点作于点，连接交线段于点．(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径．11．如图，为的直径，是的一条弦，作的平分线与相交于点，过点作直线，交的延长线于点，连接．(1)求证：是的切线．(2)若，，求圆心到的距离．12．如图，是的弦，过圆心作于点，延长交于点，与过点的的切线交于点，连接．(1)求证：是的切线．(2)若，，求线段的长及阴影部分的面积．13．如图，在中，，于点O，于点E，以点O为圆心，为半径作半圆，交于点F．(1)求证：是的切线；(2)若点F是的中点，，求图中阴影部分的面积；(3)在（2）的条件下，点P是边上的动点，当取最小值时，直接写出的长．14．如图，是的一条弦，为外一点，过点作的垂线，分别交，，于点，点，点D，延长交于点，．(1)求证：是的切线；(2)若是半圆，①求证：；②若，，求的长（用含、的代数式表示）．15．如图，为的直径，为延长线上一点，为上一点，连接，，作于点，交于点．(1)求证：是的切线．(2)若，，求的长．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中切线证明专题训练》参考答案1．(1)详见解析(2)2【分析】本题考查了切线的证明和解直角三角形，解题关键是熟练运用切线的判定定理进行证明，利用圆的性质得出等边三角形，运用三角函数求解；（1）连接，根据和证明即可；（2）根据得出，得出是等边三角形，再根据三角函数求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接，，，，，∴是的半径，是的切线；．（2）解：在中，，，是等边三角形，，是直径，，在中，．2．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，先判断出垂直平分，再根据圆周角定理可得，根据平行线的判定可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）连接，延长，交于点，先利用勾股定理可得的长，再设的半径为，则，，利用勾股定理可得的值，从而可得的长，利用勾股定理可得的长，然后证出，利用相似三角形的性质求解即可得．【详解】（1）证明：如图，连接，∵，∴，又∵，∴垂直平分，∵是的直径，∴，即，∵，∴，∴，又∵是的半径，∴是的切线．（2）解：如图，连接，延长，交于点，由（1）已得：垂直平分，∴，，∵，，∴，∴，设的半径为，则，∴，在中，，即，解得，∴，∵是的直径，∴，即，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、弧与弦的关系、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定和圆周角定理是解题关键．3．(1)见解析(2)①的长为4；②【分析】连接，交于点H，则，由是的直径，点D是的内心，得，，则，所以，则，而，所以，即可证明是的切线；①连接，则，由，得，则，因为，所以，由，得，求得，则，由，，得；②作于点I，由，推导出，求得，则，所以，，求得，由，求得，由，求得，则，于是得到问题的答案．【详解】（1）证明：连接，交于点H，则，，是的直径，点D是的内心，，．．．．，．是的半径，且，是的切线．（2）解：①连接，则，，．．，．，，．，，于点H，，，，的长为②作于点I，则，，．．，．．．．，．，．．故答案为：【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．4．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查切线的判定，正切值的计算，掌握直径所对圆周角为直角，等边对等角，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，正切值的计算方法是关键．（1）连接，由直径所对圆周角为直角得到，由直角三角形斜边中线得到，由等边对等角得，根据垂直的定义得，根据等边对等角得，则，，结合切线的判定即可求解；（2）根据题意得，在中，，可得，根据角的计算得到，则，在中，，则，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解．【详解】（1）证明：连接，∵是的直径，∴，∴，∵在中，点为的中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵为的半径，∴是的切线．（2）解：∵，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴在中，，∴，∴．5．(1)详见解析(2)的半径长为【分析】（1）连接，则，所以，由，得，，则，可证明，得，即可证明直线是的切线；（2）由全等三角形的性质得，而，所以，则，由，求得，则的半径长为．【详解】（1）证明：连接，则，，，，，，在和中，，，，，是的半径，且，直线是的切线．（2）解：由（1）得，，，，，，，，，的半径长为．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键6．(1)见解析(2)5【分析】（1）连接，则，证明，可得，从而可得答案；（2）连接，证明，可得，进一步可得答案．【详解】（1）证明：连接，则，，，，，在和中，，，，∵是的半径，且，∴是的切线．（2）解：连接，是的直径，，，又，，，即：，解得：．即圆的半径为.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．7．(1)见解析(2)【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握切线的判定．（1）根据已知条件证得即可得到结论；（2）如图，过点O作于点H，则，构建矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接，，，，，，，，，是的半径，是的切线（2）解：如图，过点作于点，则，四边形是矩形，，，，，，，，，，是的直径，．8．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，等边对等角得到，角平分线得到，推出，进而得到，即可得证；（2）证明，求出的长，进而求出的度数，利用弧长公式进行计算即可．【详解】（1）证明：连接，如图，∵，∴．∵弦平分，∴，∴．∴，∵，∴．∵为的半径，∴是的切线；（2）解：连接，如图，

由（1）知：，∴，∴，∴，∴．∴．在中，∵，∴．∴．【点睛】本题考查切线的判定以及弧长的计算．同时考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，以及弧长公式，是解题的关键．9．(1)见解析(2)【分析】（1）连接,由,得到，则,得到，而,则,根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接是的直径，根据圆周角定理的推论得到，而,则，在中，利用勾股定理可计算出,再利用等积法得到,可计算出,然后根据垂径定理即可得解．【详解】（1）证明：连接,如图，,，,，，∴，，，直线是的切线；（2）解：连接，是的直径，，,，,，在中，，于，由三角形面积公式，得，,,.【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理的推论，垂径定理以及勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．10．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，利用等腰三角形性质得到，，进而得到，证明，利用平行线性质和切线的判定定理证明，即可解题；（2）设，利用等腰三角形性质，圆周角定理得到，进而得到，再证明，利用相似三角形性质建立等式求解，即可解题．【详解】（1）证明：连接，，，，，，，，，，为半径，是的切线；（2）解：设，，，，，，，，，，，，，连接，为直径，，即，，，，，，，，，解得或（不合题意，舍去），的半径为．【点睛】本题考查了等腰三角形性质和判定，平行线性质和判定，切线的判定定理，圆周角定理，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练运用相关知识解决问题．11．(1)见解析(2)【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理．（1）根据切线的判定方法，连接，证出即可；（2）过点作，垂足为，则的长即为圆心到弦的距离，先由勾股定理得，进而得，再证明得，即可得的长，即圆心到的距离．【详解】（1）证明：如图，连接，的平分线与交于点，，，，，，，，又是的半径，是的切线；（2）解：如图，过点作，垂足为，则的长即为圆心到弦的距离，且，在中，，，是的平分线，又，，，，，．即圆心到的距离为．12．(1)证明见解析(2)，阴影部分的面积为【分析】本题考查圆的综合运用，涉及垂径定理，切线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆中阴影面积的计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．（1）连接，，利用得出垂直平分，得出，证明，结合切线的性质得出即可证明；（2）设的半径为，则，，在中，利用列式求出，利用，求出，则，即可求出和，则可求出，求出，利用即可求解．【详解】（1）解：如图，连接，，为的切线，，．，，即垂直平分，．在和中，，，，．又是的半径，是的切线；（2）解：设的半径为，则，，由（1）可知．，，解得：，，，，，，，．，，．13．(1)详见解析(2)(3)【分析】（1）作于H，如图，利用等腰三角形的性质得平分，再根据角平分线性质得，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先确定，，再计算出，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算∶（3）作点关于的对称点，连接交于，如图，利用两点之间线段最短得到此时最小，通过证明得到最小值为，然后计算出和得到此时的长．【详解】（1）证明：作于H，如图，，于点O，平分，，，，是的切线；（2）解：∵点F是的中点，，而，，，，∴图中阴影部分的面积；（3）解：作F点关于的对称点，连接交于P，如图，，，此时最小，，，而，，，，即最小值为3，在中，，在中，，，即当取最小值时，的长为．【点睛】本题考查了切线的判定与性质∶经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，也考查了等腰三角形的性质、解直角三角形和最短路径问题．14．(1)见解析(2)①见解析；②【分析】本题考查圆周角，切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键；（1）连接，进而证明，根据圆的切线判定，从而求解；（2）①连接，，判定，进而证明，即可求解；②连接,证明，根据勾股定理即可求解；【详解】（1）解：连接，，，

，，，，，，是的切线；（2）解：①连接，，是半圆，，在上，，，，，，，，，②连接，，，，，，，，；15．(1)见解析；(2)