2024年高考数学考点分析与突破性讲练专题29直线方程理

PAGEPAGE1专题29直线方程一、考纲要求：1.在平面直角坐标系中，结合详细图形驾驭确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，驾驭过两点的直线斜率的计算公式.3.驾驭确定直线的几何要素，驾驭直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．4.能依据两条直线的斜率推断这两条直线平行或垂直.5.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.6.驾驭两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．二、概念驾驭和解题上留意点：1.求直线方程应留意以下三点1）在求直线方程时，应选择适当的形式，并留意各种形式的适用条件.2）对于点斜式、截距式方程运用时要留意分类探讨思想的运用若采纳点斜式，应先考虑斜率不存在的状况；若采纳截距式，应推断截距是否为零.3）截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，肯定要留意“截距为0”的状况，以防漏解.2.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略1）求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.2）含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.3）求参数值或范围.留意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.3.已知两直线的斜率存在，推断两直线平行、垂直的方法1）两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；2）两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.4.由一般式判定两条直线平行、垂直的依据若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.5.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.6.处理距离问题的两大策略1）点到直线的距离问题可干脆代入点到直线的距离公式去求.2）动点到两定点距离相等，一般不干脆利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算.三、高考考题题例分析例1.（2024北京卷）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m改变时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4例2.(2024高考新课标II)圆的圆心到直线的距离为1，则a=（）（A）（B）（C）（D）2【答案】A【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：，解得，故选A．例3.(2015高考广东卷)平行于直线且与圆相切的直线的方程是（）A．或B.或C.或D.或【答案】．【解析】：依题可设所求切线方程为，则有，解得，所以所求切线的直线方程为或，故选．三、解答题17．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．【答案】(1)x＋2y－4＝0；(2)2x－3y＋6＝0；(3)2x－y＋2＝0(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－eq\f(1,2)，则BC边的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知，点D的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)即2x－y＋2＝0.18．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过其次象限，求实数a的取值范围.【答案】(1)3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.；(2)a≤－1.【解析】：(1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不过原点时，截距存在且均不为0，∴eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.因此直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1＞0，a－2≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1＝0，a－2≤0，))∴a≤－1.综上可知，a的取值范围是a≤－1.19．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)当l1∥l2时，求a的值；(2)当l1⊥l2时，求a的值．【答案】(1)a＝－1；(2)a＝eq\f(2,3)法二：由l1∥l2知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－1－1×2＝0，,aa2－1－1×6≠0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0，,aa2－1≠6))⇒a＝－1.(2)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；当a≠1时，l1：y＝－eq\f(a,2)x－3，l2：y＝eq\f(1,1－a)x－(a＋1)，由l1⊥l2，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))·eq\f(1,1－a)＝－1⇒a＝eq\f(2,3).法二：∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0，即a＋2(a－1)＝0，得a＝eq\f(2,3).20．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程.【答案】(1)见解析；(2)5x＋y＋7＝0.21．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值，并求此时直线l的方程．【答案】(1)见解析；(2)k≥0.；(3)x－2y＋4＝0.【解析】：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，1－y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，y＝1，))∴无论k取何值，直线l必经过定点(－2,1)．(2)直线方程可化为y＝kx＋1＋2k，当k≠0时，要使直线不经过第四象限，则必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＞0，1＋2k≥0，))解得k＞0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意．综上，k的取值范围是k≥0.此时l的方程为x－2y＋4＝0.22．已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点．(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．【答案】(1)l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.(2eq\r(10))【解析】：(1)易知l不行能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0.∵点A(5,0)到l的距离为3，∴eq\f(|10＋5λ－5|,\r(2＋λ2＋1－2λ2))＝3，则2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝