浙江专用2025版高考数学新增分大一轮复习第六章平面向量复数6.5复数讲义含解析

PAGEPAGE14§6.5复数最新考纲考情考向分析1.了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念．2.了解复数的加、减运算的几何意义．3.理解复数代数形式的四则运算.本节主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查运算实力与数形结合思想．一般以选择题、填空题的形式出现，难度为低档.1．复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．(2)分类：满意条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面对量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).概念方法微思索1．复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？提示不肯定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部．2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．题组一思索辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(×)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)题组二教材改编2．[P106B组T2]设z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，则|z|等于()A．0B.eq\f(1,2)C．1D.eq\r(2)答案C解析∵z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＋2i＝eq\f(－2i,2)＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.3．[P112A组T2]在复平面内，向量eq\o(AB,\s\up6(→))对应的复数是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up6(→))对应的复数是－1－3i，则向量eq\o(CA,\s\up6(→))对应的复数是()A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4i答案D解析eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.4．[P116A组T2]若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1B．0C．1D．－1或1答案A解析∵z为纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x－1≠0，))∴x＝－1.题组三易错自纠5．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋eq\f(b,i)为纯虚数”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析∵复数a＋eq\f(b,i)＝a－bi为纯虚数，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“复数a＋eq\f(b,i)为纯虚数”的必要不充分条件．故选C.6．若复数z满意iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数eq\x\to(z)在复平面内对应的点所在的象限是()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析由题意，∵z＝eq\f(2－2i,i)＝eq\f(2－2i·－i,i·－i)＝－2－2i，∴eq\x\to(z)＝－2＋2i，则z的共轭复数eq\x\to(z)对应的点在其次象限．故选B.7．i2014＋i2015＋i2024＋i2024＋i2024＋i2024＋i2024＝________.答案－i解析原式＝i2＋i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＝－i.题型一复数的概念1．(2024·丽水、衢州、湖州三地市质检)若复数z满意i·z＝－3＋2i(i为虚数单位)，则复数z的虚部是()A．－3 B．－3iC．3 D．3i答案C解析因为z＝eq\f(－3＋2i,i)＝2＋3i，所以复数z的虚部是3.故选C.2．复数eq\f(2＋i,1＋i)的共轭复数是()A．－eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)i B．－eq\f(3,2)－eq\f(1,2)iC.eq\f(3,2)－eq\f(1,2)i D.eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)i答案D解析由复数eq\f(2＋i,1＋i)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋i))1－i,1＋i1－i)＝eq\f(3－i,2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)i，所以共轭复数为eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)i，故选D.3．(2024·杭州质检)设a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R(i是虚数单位)，则a等于()A．3 B．－3C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)答案B解析由题意得，(1＋3i)(1＋ai)＝1－3a＋(3＋a)i为实数，∴3＋a＝0，∴a＝－3，故选B.思维升华复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要留意辨析概念的不同，敏捷运用条件得出符合要求的解．题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例1(1)(2024·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于()A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i答案D解析(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.(2)ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋3i))等于()A．3－2i B．3＋2iC．－3－2i D．－3＋2i答案D解析i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.命题点2复数的除法运算例2(1)(2024·全国Ⅱ)eq\f(1＋2i,1－2i)等于()A．－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i B．－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)iC．－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i D．－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i答案D解析eq\f(1＋2i,1－2i)＝eq\f(1＋2i2,1－2i1＋2i)＝eq\f(1－4＋4i,1－2i2)＝eq\f(－3＋4i,5)＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i.故选D.(2)(2024·浙江杭州地区四校联考)设z的共轭复数是eq\x\to(z)，若z＋eq\x\to(z)＝4，z2＝±8i，则eq\f(\x\to(z),z)等于()A．i B．－iC．±1 D．±i答案D解析由z＋eq\x\to(z)＝4可设z＝2＋bi(b∈R)，由z2＝±8i，得b＝±2，所以z·eq\x\to(z)＝8，eq\f(\x\to(z),z)＝eq\f(\x\to(z)2,8)＝eq\f(2±2i2,8)＝±i，故选D.命题点3复数的综合运算例3(1)(2024·绍兴质检)在复平面内，复数eq\f(1,1＋i)－i5的模为()A.eq\r(10) B.eq\f(\r(5),2)C.eq\r(5) D.eq\f(\r(10),2)答案D解析因为eq\f(1,1＋i)－i5＝eq\f(1－i,1＋i1－i)－i5＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i－i＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i，所以该复数的模为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2)＝eq\f(\r(10),2)，故选D.(2)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②eq\f(α,β)＝－i；③eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(α,β)))＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；②eq\f(α,β)＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(－2i,2)＝－i，故②正确；③eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(α,β)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－i))＝1，故③正确；④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故④正确．故选C.思维升华(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练1(1)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝eq\r(3)＋ai，z·eq\x\to(z)＝4，则a为()A．1或－1 B．1C．－1 D．不存在的实数答案A解析由题意得eq\x\to(z)＝eq\r(3)－ai，故z·eq\x\to(z)＝3＋a2＝4⇒a＝±1，故选A.(2)(2024·浙江杭州七校联考)已知复数z＝2＋ai(a∈R)，|(－1＋i)z|＝3eq\r(2)，则a的值是()A．±eq\r(5) B.eq\r(5)C．±eq\r(3) D.eq\r(3)答案A解析方法一|(－1＋i)z|＝|(－2－a)＋(2－a)i|＝eq\r(－2－a2＋2－a2)＝eq\r(2a2＋8)＝3eq\r(2)，则a＝±eq\r(5)，故选A.方法二|(－1＋i)z|＝|－1＋i|·|z|＝eq\r(2)·eq\r(22＋a2)＝3eq\r(2)，则a＝±eq\r(5)，故选A.题型三复数的几何意义例4(1)(2024·浙江六校协作体联考)已知eq\x\to(z)是z的共轭复数，若复数z＝eq\f(1－2i,2＋i)＋2，则eq\x\to(z)在复平面内对应的点是()A．(2,1) B．(2，－1)C．(－2,1) D．(－2，－1)答案A解析方法一由z＝eq\f(1－2i,2＋i)＋2＝eq\f(1－2i2－i,2＋i2－i)＋2＝eq\f(－5i,5)＋2＝2－i，得eq\x\to(z)＝2＋i，所以eq\x\to(z)在复平面内对应的点为(2,1)，故选A.方法二由z＝eq\f(1－2i,2＋i)＋2＝eq\f(1－2i·i,2＋i·i)＋2＝eq\f(1－2i·i,－1－2i)＋2＝2－i，得eq\x\to(z)＝2＋i，所以eq\x\to(z)在复平面内对应的点为(2,1)，故选A.(2)(2024·浙江重点中学考试)已知复数z满意(2－i)z＝3＋ai(i是虚数单位)．若复数z在复平面内对应的点在直线y＝2x－4上，则实数a的值为________．答案－eq\f(11,4)解析方法一因为(2－i)z＝3＋ai，所以z＝eq\f(3＋ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(6－a＋2a＋3i,5)，其在复平面内对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－a,5)，\f(2a＋3,5)))，所以eq\f(2a＋3,5)＝eq\f(12－2a,5)－4，解得a＝－eq\f(11,4).方法二因为复数z在复平面内对应的点在直线y＝2x－4上，不妨设z＝t＋(2t－4)i(t∈R)，则(2－i)[t＋(2t－4)i]＝2t＋2t－4＋(3t－8)i＝3＋ai，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t－4＝3，,3t－8＝a，))解得a＝－eq\f(11,4).思维升华复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等干脆给出结论即可．跟踪训练2(1)已知复数z＝eq\f(5i,3＋4i)(i是虚数单位)，则z的共轭复数eq\x\to(z)对应的点在()A．第四象限 B．第三象限C．其次象限 D．第一象限答案A解析∵z＝eq\f(5i,3＋4i)＝eq\f(5i·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－4i)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋4i))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－4i)))＝eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i，∴eq\x\to(z)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i，则z的共轭复数eq\x\to(z)对应的点在第四象限．故选A.(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，则x＋y的值是________．答案5解析由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝3，,2x－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))故x＋y＝5.1．(2024·湖州模拟)已知i为虚数单位，则复数z＝eq\f(1＋i1＋2i,i)的虚部为()A．－1B．－iC．1D．i答案C解析由题意知，z＝eq\f(－1＋3i,i)＝3＋i，故复数z的虚部为1.2．(2024·浙江高考探讨联盟联考)复数eq\f(3＋4i,i)的模是()A．4B．5C．7D．25答案B解析eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3＋4i,i)))＝|4－3i|＝eq\r(16＋9)＝5.3．(2024·浙江金华名校统练)设复数z满意eq\f(1－z,1＋z)＝2i，则z等于()A．－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i B．－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)iC.eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i D.eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i答案A解析由eq\f(1－z,1＋z)＝2i，得1－z＝2i＋(2i)z，所以z＝eq\f(1－2i,1＋2i)＝eq\f(1－2i2,1＋2i1－2i)＝－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i，故选A.4．(2024·温州测试)若复数z1，z2在复平面内关于虚轴对称，且z1＝1＋i(i为虚数单位)，则eq\f(z1,z2)等于()A．－iB．iC．－2iD．2i答案A解析依题意得，z2＝－1＋i，所以eq\f(z1,z2)＝eq\f(1＋i,－1＋i)＝eq\f(1＋i2,－1＋i1＋i)＝eq\f(2i,－2)＝－i.故选A.5．已知i为虚数单位，a∈R，若eq\f(i－2,a－i)为纯虚数，则a等于()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．2D．－2答案B解析由题意知eq\f(i－2,a－i)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i－2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋i)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋i)))＝eq\f(－2a－1＋a－2i,a2＋1)＝eq\f(－2a－1,a2＋1)＋eq\f(a－2,a2＋1)i，又由eq\f(i－2,a－i)为纯虚数，所以－2a－1＝0且a－2≠0，解得a＝－eq\f(1,2)，故选B.6．(2024·浙江七彩阳光联盟联考)已知i是虚数单位，若复数z满意eq\f(4,1＋z)＝1－i，则z·eq\x\to(z)等于()A．4B．5C．6D．8答案B解析由eq\f(4,1＋z)＝1－i，得z＝eq\f(4,1－i)－1＝1＋2i，所以eq\x\to(z)＝1－2i，则z·eq\x\to(z)＝(1＋2i)(1－2i)＝5，故选B.7．已知复数z满意z2＝12＋16i，则z的模为()A．20B．12C．2eq\r(5)D．2eq\r(3)答案C解析设z＝a＋bi，a，b∈R，则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝12，,2ab＝16，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝－2，))即|z|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(16＋4)＝2eq\r(5).故选C.8．已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m的值为________．答案3或6解析∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，解得m＝6或m＝3，经检验符合题意．9．(2024·嘉兴测试)若复数z＝4＋3i，其中i是虚数单位，则|z|＝________，z2＝________.答案57＋24i解析|z|＝|4＋3i|＝eq\r(42＋32)＝5，z2＝(4＋3i)2＝7＋24i.10．若复数z满意(3＋i)z＝2－i(i为虚数单位)，则z＝________；|z|＝________.答案eq\f(1,2)－eq\f(1,2)ieq\f(\r(2),2)解析由题意可知z＝eq\f(2－i,3＋i)＝eq\f(2－i,3＋i)·eq\f(3－i,3－i)＝eq\f(6－5i＋i2,9－i2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，所以|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2).11．(2024·浙江十校联盟考试)复数z＝eq\f(2i,1＋i)(i为虚数单位)的虚部为________，其共轭复数在复平面内对应的点位于第________象限．答案1四解析因为z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝1＋i，所以z的虚部为1，eq\x\to(z)＝1－i，故复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限．12．(2024·浙江重点中学考前热身联考)若a为实数，eq\f(17＋ai,4－5i)＝3＋i，且z＝1＋eq\f(a,11)i，则a＝______，|z|＝______.答案－11eq\r(2)解析由题意得17＋ai＝(4－5i)(3＋i)＝17－11i，所以a＝－11.故z＝1－i，|z|＝eq\r(12＋－12)＝eq\r(2).13．(2024·台州模拟)已知复数z的共轭复数eq\x\to(z)满意(eq\x\to(z)－i)·(1－i)＝1＋3i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于第________象限，|z|＝________.答案三eq\r(10)解析由(eq\x\to(z)－i)(1－i)＝1＋3i，得eq\x\to(z)＝i＋eq\f(1＋3i,1－i)＝i＋eq\f(1＋3i1＋i,1－i1＋i)＝－1＋3i，所以z＝－1－3i，所以z在复平面内对应的点为(－1，－3)，位于第三象限，|z|＝eq\r(－12＋－32)＝eq\r(10).14．(2024·浙江)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.答案52解析(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.由(a＋bi)2＝3＋4i.得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3，,ab＝2.))解得a2＝4，b2＝1.所以a2＋b2＝5，ab＝2.15．已知复数z＝bi(b∈R)，eq\f(z－2,1＋i)是实数，i是虚数单位．(1)求复数z；(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．解(1)因为z＝bi(b∈R)，所以eq\f(z－2,1＋i)＝eq\f(bi－2,1＋i)＝eq\f(bi－21－i,1＋i1－i)＝eq\f(b－2＋b＋2i,2)＝eq\f(b－2,2)＋eq\f(b＋2,2)i.又因为eq\f(z－2,1＋i)是实数，所以eq\f(b＋2,2)＝0，所以b＝－2，即z＝－2i.(2)因为z＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－4>0，,－4m>0，))解得m<－2，即m∈(－∞，－2)．16．若虚数z同时满意下列两个条件：①z＋eq\f(5,z)是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．解存在．设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，则z＋eq\f(5,z)＝a＋bi＋eq\f(5,a＋bi)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(5,a2＋b2)))＋beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,a2＋b2)))i.又z＋3＝a＋3＋bi的实部与虚部互为相反数，z＋eq\f(5,z)是实数，依据题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,a2＋b2)))＝0，,a＋3＝－b，))因为b≠0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝5，,a＝－b－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1.))所以z＝－1－2i或z＝－2－i.17．若复数eq\f(a＋i,1＋i)(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－