2025届高考数学二轮复习小题必刷卷六解三角形文

PAGEPAGE1小题必刷卷(六)解三角形考查范围:第22讲~第23讲题组一刷真题角度1正弦定理1.[2024·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,则C= ()A.π12 B.C.π4 D.2.[2024·全国卷Ⅲ]在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则sinA= (A.310 B.C.55 D.3.[2024·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b=角度2余弦定理4.[2024·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cosA=23,则b= (A.2 B.3C.2 D.35.[2024·全国卷Ⅱ]在△ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB= (A.42 B.30C.29 D.256.[2024·山东卷]△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A= ()A.3π4 B.C.π4 D.7.[2013·全国卷Ⅰ]已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b= ()A.10 B.9C.8 D.58.[2024·北京卷]在△ABC中,∠A=2π3,a=3c,则bc=角度3三角形的面积9.[2024·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为a2+b2-cA.π2 B.C.π4 D.10.[2013·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC的面积为 (A.23+2 B.3+1C.23-2 D.3-111.[2024·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.

12.[2024·北京卷]若△ABC的面积为34(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=;ca的取值范围是角度4正、余弦定理综合应用13.[2024·浙江卷]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60°,则sinB=,c=.

14.[2024·上海卷]已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.图X6-115.[2014·全国卷Ⅰ]如图X6-1,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°,以及∠MAC=75°,从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.

题组二刷模拟16.[2024·浙江绍兴3月模拟]在△ABC中,内角C为钝角,sinC=35,AC=5,AB=35,则BC= (A.2 B.3 C.5 D.1017.[2024·新疆维吾尔自治区二模]在△ABC中,“A>60°”是“sinA>32”的 (A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件18.[2024·北京朝阳区二模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,A=π6,B=π4,则c= (A.6+22 B.6-22 C19.[2024·成都七中月考]在△ABC中,角B为3π4,BC边上的高恰为BC边长的一半,则cosA= (A.255 B.55 C.2320.[2024·广东茂名二模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosC+c=2a,且b=13,c=3,则a= ()A.1 B.6 C.22 D.421.[2024·合肥三模]△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若sin(C-A)=12sinB,且b=4,则c2-a2= (A.10 B.8 C.7 D.422.[2024·山东潍坊二模]在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2sinC-sinBsinB=acosA.π6 B.π4 C.π3 23.[2024·云南保山二模]在△ABC中,若3(CA·AB+CB·AB)=2|AB|2,则tanA+1tanB的最小值为 (A.5 B.25 C.6 D.624.[2024·广东江门一模]已知平面四边形ABCD中,AB=AD=2,BC=CD,∠BCD=90°,则四边形ABCD面积的最大值为 ()A.6 B.2+23 C.2+22 D.425.[2024·广西钦州三模]△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=52b,A=2B,则cosB=图X6-226.[2024·东北三省四市二模]如图X6-2,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BCD=15°,∠CBD=30°,CD=102m,并在C处测得塔顶A的仰角为45°,则塔高AB=m.

27.[2024·昆明二模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若cosC=14,c=3,且acosA=bcosB,28.[2024·马鞍山二模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos2A+3cosA=1,b=5,△ABC的面积S=53,则△ABC的周长为.

29.[2024·江西上饶二模]在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=a(a+c),则ca的取值范围是

小题必刷卷(六)1.B[解析]因为sinB+sinA(sinC-cosC)=sin(A+C)+sinAsinC-sinAcosC=(sinA+cosA)sinC=0,所以sinA=-cosA,得A=34π.又由正弦定理asinA=csinC,得2sin3π4=2sinC2.D[解析]作AD⊥BC交BC于点D,设BC=3,则有AD=BD=1,AB=2,由余弦定理得AC=5.由正弦定理得5sinπ4=3sinA,解得sin3.2113[解析]因为cosA=45,cosC=513,且A,C为三角形内角,所以sinA=35,sinC=1213,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=6365,又因为asinA=4.D[解析]由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×23,解得b=3或b=-13(舍去),故选5.A[解析]由已知得cosC=2cos2C2-1=2×552-1=-35,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC=25+1-2×5×1×-35=32,所以AB=6.C[解析]∵b=c,a2=2b2(1-sinA),∴2b2sinA=b2+c2-a2=2bccosA=2b2cosA,∴tanA=1,即A=π47.D[解析]由23cos2A+cos2A=0,得25cos2A=1.因为△ABC为锐角三角形,所以cosA=15.在△ABC中,依据余弦定理,得49=b2+36-12b×15,即b2-125b-13=0,解得b=5或-1358.1[解析]由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得,3c2=b2+c2-2bccos2π3,整理得bc2+bc-2=0,解得bc=1或bc=-2(9.C[解析]由三角形的面积公式可得,a2+b2-c24=12absinC,由余弦定理得a2+b2-c22ab10.B[解析]bsinB=csinC⇒c=22.又A+B+C=π,∴A=712π,∴△ABC的面积为12×2×22×sin7π12=2211.233[解析]由b2+c2-a2=8得2bccosA=8,可知A为锐角,且bccosA=4.由已知及正弦定理得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,因为sinB≠0,sinC≠0,所以可得sinA=12,所以A=30°,所以bccos30°=4,即bc=833,所以△ABC的面积S=12bcsinA=1212.π3(2,+∞)[解析]由正弦定理得S△ABC=12acsinB=34(a2+c2-b2),即sinB=3cosB,∵∠B为三角形的内角,∴∠B=π3.由正弦定理得ca=sinCsinA=sin(2π3-A)sinA=32·1tanA+12,又∵∠C为钝角,∴π13.2173[解析]由正弦定理asinA=bsinB,得sinB=37=217.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得c2-2c-14.733[解析]利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为32+52-722×3×5=-12,所以此角的正弦值为32.15.150[解析]在Rt△ABC中,BC=100(m),∠CAB=45°,所以AC=1002(m).在△MAC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,所以∠AMC=45°,由正弦定理有AMsin∠MCA=ACsin∠AMC,即AM=sin60°sin45°×1002=1003(m),于是在Rt△AMN中,有MN=sin60°×16.A[解析]因为C为钝角,sinC=35,所以cosC=-45,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC,即45=25+BC2-2×5×BC×-45,解得BC=2(舍去BC=-10)17.B[解析]由“A>60°”不肯定推出“sinA>32”,如A=135°>60°,但sin135°<sin120°=32,反之,若sinA>32,则有A>60°.18.A[解析]在△ABC中,a=1,A=π6,B=π4,由正弦定理可得b=asinBsinA=2.由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=32,可得c2-6c+1=0,所以c=6+19.A[解析]作AH⊥BC,垂足H在CB的延长线上,易知△AHB为等腰直角三角形,设BC=2a,则AB=2a,AH=a,CH=3a,由勾股定理得AC=10a,由余弦定理得cosA=2a2+10a2-420.D[解析]因为2bcosC+c=2a,由正弦定理可得2sinBcosC+sinC=2sinA=2sin(B+C)=2sinBcosC+2cosBsinC,所以sinC=2cosBsinC,因为sinC≠0,所以cosB=12,又0<B<π,所以B=π3.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,又因为b=13,c=3,所以a2-3a-4=0,可得a=4(负值舍去).故选21.B[解析]sin(C-A)=12sinB=12sin(A+C),即2sinCcosA-2cosCsinA=sinAcosC+cosAsinC,即sinCcosA=3sinAcosC,由正弦定理和余弦定理得c·b2+c2-a22bc=3a·a2+b2-c22ab,即b2+c2-a2=3a2+3b2-3c2,即4c2-4a222.C[解析]利用正、余弦定理将已知等式化为2c-bb=a·a2+c2-b22acb·b2+c2-a22bc,23.B[解的]设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有3(CA·AB+CB·AB)=3(-bccosA+accosB)=2c2,由正弦定理得sinAcosB=5cosAsinB,所以tanA=5tanB,则tanA+1tanB=5tanB+1tanB≥25,当且仅当tanB=55时,24.C[解析]如图,设∠DAB=θ,BC=CD=x,则BD=2x.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosθ,即(2x)2=4+4-8cosθ=8-8cosθ,所以x2=4-4cosθ.所以四边形ABCD的面积S=12×22×sinθ+12x2=2sinθ+(2-2cosθ)=22sinθ-π4+2,因为0<θ<π,所以-π4<θ-π4<3π4,所以当θ-π4=π2,即θ=3π4时,S有最大值,且Smax=225.54[解析]因为△ABC中,a=52b,A=2B,依据正弦定理,得sinA=52sinB,又sinA=sin2B=2sinBcosB,所以cos26.20[解析]D=180°-15°-30°=135°,在△BCD中,BCsinD=CDsin∠CBD,即BCsin135°=102sin30°,得BC=102sin135°sin30°=20(m),因为△27.3154[解析]由题意得sinAcosA=sinBcosB,即tanA=tanB,所以A=B,即a=b,由余弦定理得c2=2a2-2a2cosC=32a2=9,得a=6(负值舍去),易得sinC=154,所以S△28.9+21[解析]由cos2A+3cosA=1,得2cos2A+3cosA-2=0,解得cosA=12或cosA=-2(舍去),所以sinA=32,又因为S=53,b=5,所以12bcsinA=12×