高数下之-5-二重积分的计算方法

二重积分计算能够按照定义来进行，同定积分按照定义进行计算一样，能够按照定义进行计算二重积分极少，对少数尤其简单被积函数和积分区域来说是可行，但对于普通函数和积分区域却不可行。本节介绍一个计算二重积分方法——把二重积分化为二次单积分（定积分）来计算。第二节二重积分计算方法(Calculationofdoubleintegral)1第1页一、利用直角坐标计算二重积分在直角坐标系下用平行于坐标轴直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为当函数在区域D上连续时，我们能够用特定分割来处理定积分计算。依据二重积分几何意义：二重积分是以为顶曲顶柱体体积。故能够考虑用定积分应用中求平行截面面积为已知立体体积方法。2第2页oyxzab二重积分计算——化二重积分为二次积分预备知识：平行截面面积已知立体体积计算A(x)x如右图所表示立体：介于平面x=a与x=b之间在区间[a,b]内任取一点x，过该点作x轴垂直平面，若该平面面积为A(x)，则由定积分元素法可知立体体积为3第3页已知平行截面面积立体体积4第4页用平面x=x0截立体，截得A(x0).应用计算“平行截面面积为已知立体求体积”方法,得注意D特殊之处。5第5页假如积分区域为：其中函数、在区间上连续.［X－型］

X型区域特点：穿过区域且平行于y轴直线与区域边界相交不多于两个交点.6第6页注:若ƒ(x,y)≤0依然适用。注意:1）上式说明:二重积分可化为二次定积分计算;2）积分次序:X-型域先Y后X;3）积分限确定法:

后积先定限，域中穿根线,先交是下限，后交上限见为方便，上式也常记为：投影穿线投影穿线7第7页假如积分区域为：［Y－型］

Y型区域特点：穿过区域且平行于x轴直线与区域边界相交不多于两个交点.8第8页若区域如图，在分割后三个区域上分别使用积分公式则必须分割.对非X、Y型区域假如积分区域既是X－型，又是[Y－型],则有9第9页

注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。利用直角坐标系计算二重积分步骤（1）画出积分区域图形,求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；（2）依据积分域类型,确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果.10第10页解2、画积分区域如图1、写出积分区域3、写出换序后积分积分限确定法:

后积先定限，域中穿根线,先交是下限，后交上限见投影穿线11第11页解积分区域如图写出积分区域投影穿线12第12页解原式积分限确定法:

后积先定限，域中穿根线,先交是下限，后交上限见13第13页解投影穿线14第14页例5解X-型15第15页解16第16页解17第17页由以上各例能够看出，化为两次单积分来计算二重积分：1、确定积分限是关键。2、既要考虑积分区域形状，又要考虑被积函数特征。18第18页Z=0利用二重积分计算空间立体体积19第19页例8解先去掉绝对值符号，如图20第20页二、利用极坐标系计算二重积分有些二重积分，积分区域边界曲线或被积函数用极坐标变量来表示比较简单，则能够考虑用极坐标来计算二重积分。21第21页请分析上面这句话，告诉了人家什么？从这向南走米！出发点方向距离在生活中我们经惯用距离和方向来表示一点位置。用距离和方向表示平面上一点位置，就是极坐标。22第22页一、极坐标系建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度正方向（通常取逆时针方向）。这么就建立了一个极坐标系。XO23第23页二、极坐标系内一点极坐标要求XOM

对于平面上任意一点M，用

表示线段OM长度，用

表示从OX到OM角度，

叫做M极径，

叫做点M极角，有序数对（，）就叫做M极坐标。尤其强调：表示线段OM长度，既点M到极点O距离；表示从OX到OM角度，既以OX（极轴）为始边，OM为终边角。24第24页尤其要求：当M在极点时，它极坐标=0，能够取任意值。25第25页三、点极坐标表示式研究XOM

如图：OM长度为4，请说出点M极坐标其它表示式（四个人回答）思：极径都是一样；不一样是极角。不过，极角和极角之间有什么关系？启：极角始边变没有？极角终边动没有？那就是说，这些极角终边相同（当然，始边也相同）。终边相同角怎么表示？点M极坐标统一表示式：26第26页负极径定义说明：普通情况下，极径都是正值；在一些必要情况下，极径也能够取负值。（？）对于点M（，）负极径时要求：[1]作射线OP，使XOP=[2]在OP反向延长线上取一点M，使OM=OXP

M27第27页OXP=/4M负极径实例在极坐标系中画出点M（-3，/4）位置[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP反向延长线上取一点M，使OM=328第28页1直系与极系下二重积分关系（如图）（1）面积元素变换为极系下：（2）二重积分转换公式：29第29页注意：将直角坐标系二重积分化为极坐标系下二重积分需要进行“三换”：30第30页极坐标下二重积分化为二次积分公式（１）区域特征如图31第31页区域特征如图极坐标下二重积分化为二次积分公式（2）32第32页极坐标下二重积分化为二次积分公式（3）区域特征如图33第33页极坐标系下区域面积极坐标下二重积分化为二次积分公式（4）区域特征如图34第34页解35第35页解36第36页解37第37页38第38页39第39页解40第40页例5求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ay所围立体体积。解：计算第一挂限部分体积xyoxyz41第41页2、被积函数呈惯用极坐标计算重积分：1、积分区域为圆形、扇形、圆环形42第42页解∵D=2D143第43页例7解44第44页习题课二重积分计算45第45页二重积分计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分步骤是：①作出积分区域草图②选择适当坐标系③选定积分次序，定出积分限1。关于坐标系选择这要从积分区域形状和被积函数特点两个方面来考虑一、主要内容46第46页被积函数呈惯用极坐标其它以直角坐标为宜2。关于积分次序选择选序标准①能积分，②少分片，③计算简3。关于积分限确实定二重积分面积元为正确定积分限时一定要确保下限小于上限积分区域为圆形、扇形、圆环形47第47页看图定限—穿越法定限和不等式定限先选序，后定限①直角坐标系ⅰ。先y后x，过任一x∈[a

,b

],作平行于y轴直线穿过D内部从D下边界曲线穿入—内层积分下限从上边界曲线穿出—内层积分上限ⅱ。先x

后y过任一y∈[c,d]作平行于x

轴直线定限48第48页左边界——内层积分下限右边界——内层积分上限则将D分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分上下限分片计算，结果相加②极坐标系积分次序普通是过极点O作任一极角为射线从D边界曲线穿入从穿出ⅲ。如D须分片49第49页——内下限—内上限详细可分为三种情况⑵极点在D边界上

是边界在极点处切线极角绝大多数情况下为0⑶极点在D内部化累次积分后外限是常数内限是外层积分变量函数或常数极坐标系下勿忘r⑴极点在D外部50第50页4。关于对称性利用对称性来简化重积分计算是十分有效，它与利用奇偶性来简化定积分计算是一样，不过重积分情况比较复杂，在利用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用对①若D关于x

轴对称51第51页52第52页②若D关于

y轴对称③若D关于原点对称53第53页——称为关于积分变量轮换对称性是多元积分所独有性质奇函数关于对称域积分等于0，偶函数关于对称域积分等于对称部分区域上积分两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数定积分性质①、②、③简单地说就是④若D关于直线

y=x对称54第54页二重积分计算例2.求两个底圆半径为R直角圆柱面所围体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体顶为则所求体积为55第55页例3计算所围成在第一象限内闭区域解1256第56页例4求由曲面所围立体体积解得所求体积