2025版高考数学一轮复习第十篇概率必修3第3节几何概型习题理含解析

PAGE1-第3节几何概型【选题明细表】学问点、方法题号与长度、角度有关的几何概型1,2,5,8,9,11与面积有关的几何概型3,4,6,7,13与体积有关的几何概型10,12基础巩固(时间:30分钟)1.在集合{x|0≤x≤a,a>0}中随机取一个实数m,若|m|<2的概率为,则实数a的值为(B)(A)5 (B)6 (C)9 (D)12解析:由几何概型可得a=2÷=6.选B.2.(2024·顺德区一模)在区间[1,4]上随机取一个数x,则事务“log4x≥”发生的概率为(B)(A) (B) (C) (D)解析:由log4x≥,得x≥2,所以在区间[1,4]上随机取一个数x,事务“log4x≥”发生的概率为P==.故选B.3.(2024·江西二模)如图是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的,在我国最早的数学著作《周髀算经》中有具体的记载.若图中大正方形的边长为5,小正方形的边长为2,现作出小正方形的内切圆,向大正方形所在区域模拟随机投掷n个点,有m个点落在中间的圆内,由此可估计π的近似值为(D)(A) (B) (C) (D)解析:大正方形的边长为5,总面积为25,小正方形的边长为2,其内切圆的半径为1,面积为π;则=,解得π=.故选D.4.已知区域Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},区域E={(x,y)|x-2y≥0,x≤4,y≥0},若向区域Ω内随机投一点P,则点P落在区域E内的概率为(D)(A) (B) (C) (D)解析:如图,区域Ω表示的平面区域为△AOB的边界及其内部,区域E表示的平面区域为△COD的边界及其内部,所以点P落在区域E内的概率为==.选D.5.在以点O为圆心,1为半径的半圆弧上,任取一点B,如图所示,则△AOB的面积大于的概率为(C)(A) (B) (C) (D) 解析:如图(1)所示,过点B作直线OA的垂线,垂足为D,则△AOB的面积大于等价于×1×|BD|>,即|BD|>.如图(2)所示,作CO⊥OA,取P为CO的中点,过P作MN⊥OC,连接OM,ON,则当点B在上运动(不包括点M,N)时,|BD|>,故所求概率P==.故选C.6.(2024·乐山二模)在边长为2的正方形ABCD内部任取一点P,则满意∠APB<90°的概率为(B)(A) (B)1- (C) (D)1-解析:在正方形ABCD内作以AB为直径的半圆,则当P落在阴影部分区域(不含边界)时,∠APB<90°,所以P==1-.故选B.7.(2024·石家庄模拟)在区间[0,1]上任取两个数,则这两个数之和小于的概率是(C)(A) (B) (C) (D)解析:设这两个数分别是x,y,则总的基本领件构成的区域是确定的平面区域,所求事务包含的基本领件构成的区域是确定的平面区域,如图所示,阴影部分的面积是1-×（）2=,所以这两个数之和小于的概率是.故选C.8.(2024·合肥质检)如图,四边形ABCD为矩形,AB=,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧DE,在∠DAB内任作射线AM,则射线AM与线段BC有公共点的概率为.

解析:(用几何概型,化概率为角度之比)当点M在BC上时,AM与BC有公共点,此时AM扫过△ABC,所以P===.答案:实力提升(时间:15分钟)9.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(B)(A) (B) (C) (D)解析:7:50到8:30为40分钟,从7:50到8:00,8:20到8:30之间共20分钟,P==.故选B.10.(2024·贵阳二模)在一球内有一边长为1的内接正方体,一动点在球内运动,则此点落在正方体内部的概率为(D)(A) (B) (C) (D)解析:由题意可知边长为1的内接正方体的体积为V1=1,又球的直径是正方体的对角线,故球的半径R=,球的体积V2=πR3=,则此点落在正方体内部的概率为==.故选D.11.在体积为V的三棱锥SABC的棱AB上任取一点P,则三棱锥SAPC的体积大于的概率是.

解析:由题意可知>,三棱锥SABC的高与三棱锥SAPC的高相同.作PM⊥AC于M,BN⊥AC于N,则PM,BN分别为△APC与△ABC的高,所以==>,又=,所以>,故所求的概率为(即为长度之比).答案:12.(2024·长沙模拟)如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,点E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(点E与点B1不重合),且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为点F,G.若AB=2AA1=2a,EF=a,B1E=B1F,在长方体ABCDA1B1C1D1内随机选取一点,则该点取自于几何体A1ABFED1DCGH内的概率为.

解析:在等腰直角三角形B1EF中,因为斜边EF=a,所以B1E=B1F=a,依据几何概型概率公式,得P===1-=1-=1-=1-·a·a=1-=.答案:13.(2024·濮阳三模)已知A={(x,y)||x|≤2,|y|≤2},B={(x,y)|y≥},现向集合A所在区域内投点,则该点落在集合B所在区域内的概率为