高中数学第一章算法初步1.3算法案例

第一章算法初步

1.3算法案例1/3135915[问题1]：在小学，我们已经学过求最大条约数知识，你能求出18与30最大条约数吗？〖创设情景，揭示课题〗183023∴18和30最大条约数是2×3=6.先用两个数公有质因数连续去除,一直除到所得商是互质数为止,然后把全部除数连乘起来.案例1辗转相除法与更相减损术2/31〖创设情景，揭示课题〗[问题2]:我们都是利用找条约数方法来求最大条约数，假如两个数比较大而且依据我们观察又不能得到一些条约数，我们又应该怎样求它们最大条约数？比如求8251与6105最大条约数?3/31〖研探新知〗1.辗转相除法:例1求两个正数8251和6105最大条约数。 分析：8251与6105两数都比较大，而且没有显著条约数，如能把它们都变小一点，依据已经有知识即可求出最大条约数.解：8251＝6105×1＋2146 显然8251与6105最大条约数也必是2146约数，一样6105与2146条约数也必是8251约数，所以8251与6105最大条约数也是6105与2146最大条约数。4/311.辗转相除法:例1求两个正数8251和6105最大条约数。解：8251＝6105×1＋2146;6105＝2146×2＋1813;2146＝1813×1＋333;1813＝333×5＋148;333＝148×2＋37;148＝37×4＋0.则37为8251与6105最大条约数。 以上我们求最大条约数方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出。5/31第一步,给定两个正数m,n第二步,计算m除以n所得到余数r第三步,m=n,n=r第四步,若r=0,则m,n最大条约数等于m;不然返回第二步辗转相除法求最大条约数算法：思索：需不需要比较m，n大小不需要6/31否开始输入两个正数m,nr=mMODnr=0?输出m结束m=nn=r是程序框图7/312.更相减损术: 我国早期也有处理求最大条约数问题算法，就是更相减损术。 更相减损术求最大条约数步骤以下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。 第二步：以较大数减去较小数，接着把较小数与所得差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得数相等为止，则这个数（等数）就是所求最大条约数。8/31例2用更相减损术求98与63最大条约数. 解：因为63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35;63－35＝28;35－28＝7;28－7＝21;21－7＝14;14－7＝7.所以，98与63最大条约数是7。练习2：用更相减损术求两个正数84与72最大条约数。(12)9/31辗转相除法与更相减损术比较: （1）都是求最大条约数方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，尤其当两个数字大小区分较大时计算次数区分较显著。 （2）从结果表达形式来看，辗转相除法表达结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.10/31〖教学设计〗[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时值算法,并写出程序.x=5f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7PRINTfEND程序点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能处理任意多项式求值问题,而且计算效率不高.n次多项式至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算案例2秦九韶算法11/31 这析计算上述多项式值,一共需要9次乘法运算,5次加法运算.[问题2]有没有更高效算法? 分析:计算x幂时,能够利用前面计算结果,以降低计算量, 即先计算x2,然后依次计算值. 第二种做法与第一个做法相比,乘法运算次数降低了,因而能提升运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需运算时间比做一次加法要长得多,所以第二种做法能更加快地得到结果.12/31

[问题3]能否探索更加好算法,来处理任意多项式求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5v2=v1x-4=5×5-4=21v3=v2x+3=21×5+3=108v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534×5+7=2677所以,当x=5时,多项式值是2677.这种求多项式值方法就叫秦九韶算法.变为求几个一次式值几个乘法几个加法？秦九韶《数书九章》.13/312-50-43-60x=5105252512512160560830403034所以,当x=5时,多项式值是15170.练习:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时值.解:原多项式先化为:f(x)=2x6-5x5+0×x4-4x3+3x2-6x+0列表21517015170注意:n次多项式有n+1项,所以缺乏哪一项应将其系数补0.14/31f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0.我们能够改写成以下形式:f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式值时,首先计算最内层括号内一次多项式值,即

v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式值,即 普通地,对于一个n次多项式v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,……,vn=vn-1x+a0. 这么,求n次多项式f(x)值就转化为求n个一次多项式值.这种算法称为秦九韶算法.15/31 点评:秦九韶算法是求一元多项式值一个方法.

它特点是:把求一个n次多项式值转化为求n个一次多项式值,经过这种转化,把运算次数由至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算,降低为n次乘法运算和n次加法运算,大大提升了运算效率.16/31v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,……,vn=vn-1x+a0. 观察上述秦九韶算法中n个一次式,可见vk计算要用到vk-1值.若令v0=an,得v0=an,vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n） 这是一个在秦九韶算法中重复执行步骤,所以可用循环结构来实现.17/31第一步,输入多项式次数n、最高次项系数an和x值第二步,将v值初始化为an，将i值初始化为n-1第三步,输入i次项系数ai第四步,v=vx+ai,i=i-1第五步,若i>=0,则返回第三步，不然输出v算法分析：18/31否程序框图开始输入n,an,x值输入aii>=0?i=n-1v=anv=vx+aii=i-1输出v结束是19/31

[问题1]我们常见数字都是十进制,不过并不是生活中每一个数字都是十进制.比如时间和角度单位用六十进位制,电子计算机用是二进制.那么什么是进位制?不一样进位制之间又有什么联络呢? 进位制是人们为了计数和运算方便而约定一个记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就是十六进制;等等.“满几进一”,就是几进制,几进制基数就是几. 可使用数字符号个数称为基数.基数都是大于1整数.案例3进位制20/31 如二进制可使用数字有0和1,基数是2;

十进制可使用数字有0,1,2,…,8,9等十个数字,基数是10;

十六进制可使用数字或符号有0~9等10个数字以及A~F等6个字母(要求字母A~F对应10~15),十六进制基数是16. 注意:为了区分不一样进位制,常在数字右下脚标明基数,.如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.十进制数普通不标注基数.21/31[问题2]十进制数3721中3表示3个千,7表示7个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它能够写成下面形式:3721=3×103+7×102+2×101+1×100. 想一想二进制数1011(2)能够类似写成什么形式?1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20.同理:3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.C7A16(16)=12×164+7×163+10×162

+1×161+6×160.22/31 普通地,若k是一个大于1整数,那么以k为基数k进制数能够表示为一串数字连写在一起形式anan-1…a1a0(k)(0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k)意思是:(1)第一个数字an不能等于0;(2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k.

k进制数也能够表示成不一样位上数字与基数k幂乘积之和形式,即anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1

+…+a1×k1+a0×k0.注意这是一个n+1位数.23/31

[问题3]二进制只用0和1两个数字,这恰好与电路通和断两种状态相对应,所以计算机内部都使用二进制.计算机在进行数运算时,先把接收到数转化成二进制数进行运算,再把运算结果转化为十进制数输出.

那么二进制数与十进制数之间是怎样转化呢?24/31例3:把二进制数110011(2)化为十进制数. 分析:先把二进制数写成不一样位上数字与2幂乘积之和形式,再按照十进制数运算规则计算出结果.解:110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=1×32+1×16+1×2+1=51.

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k进制数转化为十进制数方法 先把k进制数表示成不一样位上数字与基数k幂乘积之和形式,即anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0.再按照十进制数运算规则计算出结果.26/31例4:把89化为二进制数. 分析:把89化为二进制数,需想方法将89先写成以下形式89=an×2n+an-1×2n-1+…+a1×21+a0×20.27/3189=44×2+1,44=22×2+0,22=11×2+0,11=5×2+1,5=2×2+1,89=44×2+1,=(22×2+0)×2+1=((11×2+0)×2+0)×2+1=(((5×2+1)×2+0)×2+0)×2+1=((((2×2+1)×2+1)×2+0)×2+0)×2+1=(((((1×2)+0)×2+1)×2+1)×2+0)×