高中数学第三章指数函数和对数函数5.1对数函数的概念5.2对数函数y=log2x的图像和性质

§5对数函数5.1对数函数概念5.2对数函数y＝log2x图像和性质1/35学习目标1.了解对数函数概念以及对数函数与指数函数间关系(重点)；2.了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数反函数(重、难点)；3.会画详细函数图像(重点)．2/35知识点一对数函数 普通地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数_______，x是_______，定义域是__________，值域是______． 两类特殊对数函数 惯用对数函数：y＝lgx，其底数为______． 自然对数函数：y＝lnx，其底数为无理数______．底数

真数

(0，＋∞)

R

10

e

3/35【预习评价】1．以下函数是对数函数是(

) A．y＝lnx B．y＝ln(x＋1) C．y＝logxe D．y＝logxx

解析由对数函数定义知y＝lnx是对数函数，其余三个均不符合对数函数特征．

答案A2．函数f(x)＝log2(x－1)定义域是________．

解析由题意知x－1>0，即x>1，故定义域为(1，＋∞)．

答案(1，＋∞)4/35知识点二反函数 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)是对数函数__________________反函数；同时对数函数y＝logax(a>0，a≠1)也是__________________________反函数，即同底指数函数与对数函数互为反函数．y＝logax(a>0，a≠1)

指数函数y＝ax(a>0，a≠1)

5/35【预习评价】1．你能把指数式y＝ax(a>0，a≠1)化成对数式吗？在这个对数式中，x是y函数吗？

提醒依据对数定义，得x＝logay(a>0，a≠1)．因为y＝ax是单调函数，每一个y都有唯一确定x与之对应，所以x是y函数．2．函数y＝ax定义域和值域与y＝logax定义域和值域有什么关系？

提醒对数函数y＝logax定义域是指数函数y＝ax值域，对数函数y＝logax值域是指数函数y＝ax定义域．6/35知识点三函数y＝log2x图像和性质 观察函数y＝log2x图像可得：图像特征函数性质过点______当x＝1时，______在y轴右侧定义域是___________向上、向下无限延伸值域是______在直线x＝1右侧，图像位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图像位于x轴下方若x>1，则______；若0<x<1，则______函数图像从左到右是上升在(0，＋∞)上是______函数(1,0)

y＝0

(0，＋∞)

R

y>0

y<0

增

7/35【预习评价】1．怎样了解对数函数概念？8/35

提醒反函数应注意以下几点：

(1)只有一一映射确定函数才有反函数．

(2)反函数也是函数，是相对而言．

(3)求反函数步骤可概括为一解、二换、三写．

(4)互为反函数两个函数，它们图像关于直线y＝x对称．9/352．怎样了解指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x关系？

提醒(1)如图

(2)在(0，＋∞)内，指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x均单调递增．10/35【例1】判断以下函数是否是对数函数？并说明理由． ①y＝logax2(a>0，且a≠1)；②y＝log2x－1；③y＝2log8x；④y＝logxa(x>0，且x≠1)；⑤y＝log5x． 解因为①中真数是x2，而不是x，所以不是对数函数； 因为②中y＝log2x－1常数项为－1，而非0，故不是对数函数；因为③中log8x前系数是2，而不是1，所以不是对数函数；因为④中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．⑤为对数函数．题型一对数函数定义11/3512/3513/35

答案C14/35题型二与对数函数相关函数定义域问题15/3516/35

规律方法求函数定义域三个步骤

(1)列不等式(组)：依据函数f(x)有意义列出x满足不等式(组)．

(2)解不等式(组)：依据不等式(组)解法步骤求出x满足范围．

(3)结论：写出函数定义域．17/35

提醒(1)经过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集交集．

(2)当对数型函数底数含字母时，在求定义域时要注意分类讨论．18/35

答案A19/3520/3521/35

规律方法(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数．

(2)互为反函数两个函数定义域、值域相反，而且反函数是相对而言．

(3)互为反函数两个函数图像关于直线y＝x对称．22/35【训练3】写出以下函数反函数(用x表示自变量，y表示函数)．23/35【探究1】依据函数f(x)＝log2x图像和性质求解以下问题：

(1)若f(a)>f(2)，求a取值范围；

(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上最值． 解函数y＝log2x图像如图．典例迁移题型四函数y＝log2x图像与性质24/3525/3526/35【探究3】作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2图像，并说明其单调性． 解第一步：作出y＝log2x图像[如图(1)所表示]． 第二步：将y＝log2x图像沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)图像[如图(2)所表示]． 第三步：将y＝log2(x＋1)图像在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得y＝|log2(x＋1)|图像[如图(3)所表示]． 第四步：将y＝|log2(x＋1)|图像沿y轴方向向上平移2个单位长度，得y＝|log2(x＋1)|＋2图像[如图(4)所表示]．27/3528/3529/35 (2)含有绝对值函数图像变换是一个对称变换．普通地，y＝f(|x－a|)图像是关于直线x＝a对称轴对称图形；函数y＝|f(x)|图像与y＝f(x)图像在x轴上方相同，在x轴下方关于x轴对称．

(3)y＝f(x)图像与y＝f(－x)图像关于y轴对称，y＝f(x)图像与y＝－f(x)图像关于x轴对称．30/35课堂达标

答案A31/352．函数y＝log2x在[1,2]上值域是(

) A．R B．(－∞，1] C．[0,1] D．[0，＋∞)

解析∵1≤x≤2，∴log21≤log2x≤log22.即0≤y≤1．

答案C3．函数y＝lnx反函数是________．

解析同底对数函数与指数函数互为反函数．

答案y＝ex32