高中数学第一章立体几何初步1.4.2空间图形的公理

4.2空间图形公理1/31

空间图形各种多样，但它们基本关系很轻易观察到，一个小小长方体，就包含了全部基本关系.

上节课我们学习了哪些基本关系？2/31初中时候，我们学习了一些基本事实（公理）：两点确定一条直线两点之间线段最短过直线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行思索：两点确定一条直线，那么怎样确定一个平面呢？3/31文字语言图形语言符号语言公理1：过不在一条直线上三点，有且只有一个平面（即能够确定一个平面.α·A·B·C作用：一确定平面;二用来证实点、线共面4/31推论：1、一条直线和直线外一点确定一个平面2、两条相交直线确定一个平面3、两条平行直线确定一个平面5/31mB··A·..作用：用来判断直线是否在平面内公理2：假如一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.文字语言图形语言符号语言?6/31思索：直线与平面位置关系有几个？分别是什么？线在面内线面相交线面不相交---线面平行同学们能否用图形语言表示以上三种线面关系？7/31文字语言图形语言符号语言？公理3：假如两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点公共直线.αβ·P作用:一是判定两个平面是否相交;二是判断点在直线上.8/31思索1:设直线a//b，将直线a在空间中作平行移动，在平移过程中a与b仍保持平行吗（前提是二者不重合）？探究点1平行公理提醒：平行.9/31思索2:如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行吗?CB'C'A'D'BAD提醒：平行.10/31思索3：取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD中点，将纸板沿EF折起，在空间中直线AD与BC位置关系怎样

?AFEDCBABCDEF提醒：平行.11/31若a∥b，b∥c,公理4平行于同一条直线两条直线平行.则a∥c.12/31问题：观察以下图形，直线与直线位置关系有哪些？

②①③探究点2异面直线13/31（2）

如图②中直线a和b在同一个平面内，但没有公共点，这么两条直线叫作平行直线，记作：a∥b；空间两条直线位置关系有三种:（1）

如图①中直线a和b只有一个公共点A，这么两条直线叫作相交直线，记作：a∩b=A；14/31(3)如图③中直线AD与直线BB1；直线AD与直线BD1，它们不一样在任何一个平面内，这么两条直线叫作异面直线.为了表示异面直线不共面特点，作图时通惯用一个或两个平面衬托，如图:abab15/31【提升总结】对于异面直线几点认识(1)若直线a,b是异面直线,则在空间中找不到一个平面,使其同时经过a,b两条直线.(2)不能误解为分别在不一样平面内两条直线为异面直线.(3)画异面直线时,为了充分显示出它们既不平行又不相交特点,经常需要以辅助平面作为衬托,以加强直观性.16/31例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB与C1D1，AD1与BC1，AA1与CC1，AC与A1C1是什么位置关系？C1ABCDA1B1D1解:AB∥C1D1，AD1∥BC1，AA1∥CC1，AC∥A1C1.17/31例2在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.BCEDGFAH证实:如图，连接BD.因为FG是△CBD中位线，所以又因为EH是△ABD中位线，所以所以四边形EFGH是平行四边形.18/31思索1:在平面上，假如一个角两边与另一个角两边分别平行，那么这两个角大小有什么关系？

探究点3“等角”定理提醒：相等或互补.19/31思索2:如图,四棱柱ABCD-A′B′C′D′底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′,∠ADC与∠B′A′D′两边分别对应平行，这两组角大小关系怎样?BADCA'B'D'C'BADCA'B'D'C'提醒：相等.提醒：互补.20/31思索3:综上分析我们能够得到什么定理?提醒：空间中,假如两个角两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.21/31探究点4两条异面直线所成角22/31如图所表示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作a，b平行线a′和b′，aba′b′O

则这两条线所成锐角θ（或直角），θ

称为异面直线a，b所成角.若两条异面直线所成角为90°，则称它们相互垂直.异面直线a与b垂直记作:a⊥b.异面直线所成角θ取值范围：.23/31例3如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD在原正方体中位置关系是（）.AB(D)CCABDA.平行B.相交且垂直C.异面直线D.相交成60°D解：选D.将上面展开图还原成正方体，点B与点D重合.轻易知道AB=BC=CA，从而△ABC是等边三角形.所以选D.24/31例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中指出以下各对线段所成角：（1）AB与CC1.（2）A1B1与AC.（3）A1B与D1B1.B1CC1ABDA1D1解：（1）AB与CC1所成角等于90°.（2）A1B1与AC所成角等于45°.（3）A1B与D1B1所成角等于60°.25/31【提升总结】求异面直线所成角步骤:异面直线所成角相交线所成角解三角形求角(取锐角或直角)平移结构三角形即：“作—证—算—答”

注意：对于有数据题目，要注意勾股定理，三角函数，边边关系，对于相关中点题目要留心三角形中位线.26/311.判断对错：（1）分别在两个平面内两条直线一定是异面直线.()（2）空间两条不相交直线一定是异面直线.()（3）垂直于同一条直线两条直线必平行.()（4）若一条直线垂直于两条平行直线中一条，则它一定与另一条直线垂直.()√×××27/312.分别在两个平面内两条直线位置关系是(

)A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能【解析】选D.如图，a∥b，c与d相交，a与d异面．D28/313．直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线平面个数为(

)A．1B．3C．6D．0【解析】选B.以三棱柱为例，三条侧