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文档简介

线性代数——矩阵概念和运算矩阵的加法1.定义设有两个m×n

矩阵矩阵A与B的和记作A+B，规定对应元素相加注：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。例解2.矩阵加法的运算规律01交换律:A+B

=

B+A.02结合律:(A+B)+C

=

A+(B+C).03A+O=A04称为矩阵A的负矩阵.显然有：A+(–A)

=

O05规定减法：

A–B

=

A+(–B).3.矩阵加法与行列式加法的区别数与矩阵的乘法1.定义数

与矩阵A=(aij)的乘积定义为(

aij),记作

A或A

,简称为数乘.即例解2.矩阵数乘运算的规律设A,B为同型的m

n矩阵,

,

为数:⑴.(

)A=

(A)=

(A).⑵.(

+

)A=A+A；

(A+B)=A+B.⑶.0∙A=O；1∙A=A.注：矩阵的加法与数乘运算,统称为矩阵的线性运算.3.矩阵数乘与行列式数乘的区别1若A=（aij）m×s，B=（bij）s×n，则矩阵C=（Cij）m×n称为矩阵A与矩阵B的乘积记为C=AB，其中Cij=

ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj（i=1,2，…m;j=1,2，…n）第j

列第

i行+++=…例3

注①左矩阵的列数=右矩阵的行数才能相乘；②Am

s

Bs

n=Cm

n；③若AB=BA,称方阵A、B为可交换的;④矩阵乘法中,若

AB=O

A=O

或

B=O.2.矩阵乘法的运算规律①结合律(AB)C=A(BC);②分配律：A(B+C）=AB+AC(B+C)A=BA+CA③④3.方阵的幂并且其中k，l为正整数.但是若A是n

阶方阵，则为A的次幂，即矩阵的转置把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作

.注①外型：Am

n

n

m；②元素：A（i，j）（j，i）.1.定义2.转置的运算规律3.对称阵对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.设A为n

阶方阵，如果满足，即那么A

称为对称阵.伴随矩阵行列式

的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵.简称伴随阵.1.定义解：由代数余子式

得2.性质方阵的逆矩阵1.定义设

A是

n阶矩阵，若存在n阶矩阵B使AB=BA=E则称

A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，记为：B=注①若A为B的逆矩阵，则B也为

A的逆矩阵，称A与B互逆.②若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.方阵的逆矩阵2.定理若矩阵A可逆，则|A|≠0.定理一：若A可逆，则则存在逆矩阵B,使得

AB=

E于是|A||B|

=

|E|=1,即|A|≠0证明：说明若|A|＝

0,则称A为奇异矩阵(退化矩阵)

若|A|≠

0,则称A为奇异矩阵(退化矩阵)

证明：若|A|≠0，则矩阵A可逆，且其中A*为矩阵

A的伴随矩阵.定理二：因为|A|≠0，

A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵.例求A的逆矩阵.设解：3.逆矩阵的性质01若A可逆，则A-1也可逆，且

;02若A可逆，数,则也可逆，且

;03若A可逆，则AT也可逆，且;04若A，B为同阶可逆方阵

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