2025版高中数学第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式及其解法一学案含解析新人教B版必修5

PAGEPAGE10第1课时一元二次不等式及其解法(一)学习目标1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．2.驾驭图象法解一元二次不等式．3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决．学问点一一元二次不等式的概念1．一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般表达形式为ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，其中a，b，c均为常数．3．能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解．4．不等式全部解的集合称为解集．学问点二“三个二次”的关系一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表．Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅学问点三一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；(3)有根求根；(4)依据图象写出不等式的解集．1．x2＞1的一个解是x＝－2．解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(√)2．方程x2－1＝0相当于函数y＝x2－1中y＝0．(√)3．假如关于x的方程ax2＋bx＋c＝0无解，则不等式ax2＋bx＋c>0也无解．(×)4．x2－1>0与1－x2<0的解集相等．(√)题型一一元二次不等式的解法命题角度1二次项系数大于0例1求不等式4x2－4x＋1>0的解集．解因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝eq\f(1,2)，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(1,2))))).反思感悟在求解一元二次不等式的过程中，要亲密结合一元二次方程的根的状况以及二次函数的图象．跟踪训练1求不等式2x2－3x－2≥0的解集．解∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－eq\f(1,2)，x2＝2，且a＝2>0，∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(1,2)或x≥2)))).命题角度2二次项系数小于0例2解不等式－x2＋2x－3>0.解不等式可化为x2－2x＋3<0.因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集是∅.反思感悟将二次项系数小于0的不等式进行转化过程中要留意不等号的改变，化归为二次项系数大于0的不等式，是为了削减记忆负担．跟踪训练2求不等式－3x2＋6x>2的解集．解不等式可化为3x2－6x＋2<0，∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，∴x1＝1－eq\f(\r(3),3)，x2＝1＋eq\f(\r(3),3)，∴不等式－3x2＋6x>2的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),3)<x<1＋\f(\r(3),3))))).题型二“三个二次”间对应关系的应用例3已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．解由根与系数的关系，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＝1＋2，,b＝1×2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝2，))∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0.解得x<eq\f(1,2)或x>1.∴bx2＋ax＋1>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)或x＞1)))).反思感悟给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．跟踪训练3已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值．解方法一由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根．由根与系数的关系，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2＝\f(b,a)，,1×2＝\f(2,a)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))方法二把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋2＝0，,4a－2b＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))数形结合解不等式典例函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满意－1≤f(x－2)≤1的实数x的取值范围是()A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]答案D解析依据函数f(x)的性质可画出f(x)图象示意图：不等式－1≤f(x)≤1的几何意义为当函数f(x)的纵坐标介于[－1,1]之间时，求横坐标x的取值2≤1，即1≤x≤3，故选D．[素养评析]直观想象素养的主要表现为：能建立形与数(如本例－1≤f(x)≤1与f(x)图象)的联系；利用几何图形描述问题(f(x)的图象介于y＝－1，y＝1两直线之间)；借助几何直观理解问题(满意条件的图象部分的横坐标集合即所求解集).1．不等式2x2－x－1>0的解集是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<1)))) B．{x|x＞1}C．{x|x<1或x＞2} D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)或x＞1))))答案D－eq\f(1,2)，∴不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)或x＞1))))．2．不等式－x2－x＋2>0的解集为_____________．答案{x|－2<x<1}解析由原式得x2＋x－2<0，得－2<x<1，故其解集为{x|－2<x<1}．3．若不等式x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则a的值为______．答案eq\f(1±\r(5),2)解析若不等式x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则x2－2ax＋a＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，解得a＝eq\f(1±\r(5),2)．4．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么实数a的值是________．答案3．5．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为________．答案{t|10≤t≤15，t∈N}解析日销售金额＝(t＋10)(－t＋35)，依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}．1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得{x|x>n或x<m}；若(x－m)(x－n)<0，则可得{x|m<x<n}．有口诀如下：大于取两边，小于取中间．2．实际问题要留意变量的实际含义对变量范围的影响，如长度应当大于0，人数应当为自然数等．3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标．一、选择题1．不等式6x2＋x－2≤0的解集为()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤x≤\f(1,2))))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2)))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2))))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(2,3)))))答案A解析因为6x2＋x－2≤0⇔(2x－1)·(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤x≤\f(1,2))))).2．(2024·全国Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B等于()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))答案D解析由A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}，B＝{x|2x－3>0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(3,2)))))，得A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)<x<3))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))，故选D.3．若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))>0的解集是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)<x<t)))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,t)或x<t))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,t)或x>t)))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(t<x<\f(1,t)))))答案D解析∵0<t<1，∴eq\f(1,t)>1，∴eq\f(1,t)>t.∴(t－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))>0⇔(x－t)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))<0⇔t<x<eq\f(1,t).4．函数y＝eq\f(1,\r(7－6x－x2))的定义域为()A．[－7,1] B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)答案B解析由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1，故选B.5．不等式eq\f(x2－2x－2,x2＋x＋1)<2的解集为()A．{x|x≠－2} B．RC．∅ D．{x|x<－2或x>2}答案A解析∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．6．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0，,x＋6，x<0，))则不等式f(x)>f(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)答案A解析f(1)＝12－4×1＋6＝3，当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；当x<0时，x＋6>3，解得－3<x<0.所以f(x)>f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．7．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(1,2)))))，则f(10x)>0的解集为()A．{x|x<－1或x>－lg2}B．{x|－1<x<－lg2}C．{x|x>－lg2}D．{x|x<－lg2}答案D解析由题知，一元二次不等式f(x)>0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，即－1<10x<eq\f(1,2)，解得x<－lg2.8．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且α，β(α<β)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是()A．a<α<β<b B．a<α<b<βC．α<a<b<β D．α<a<β<b答案A解析设g(x)＝(x－a)(x－b)，则g(x)向上平移2个单位长度得到f(x)的图象，由图易知a<α<β<b.二、填空题9．不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集是_____________________．答案{x|－3≤x<－2或0<x≤1}解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3≤0，,x2＋2x>0，))∴－3≤x<－2或0<x≤1.10．不等式x2－3|x|＋2≤0的解集为__________．答案{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}解析原不等式等价于|x|2－3|x|＋2≤0，即1≤|x|≤2.当x≥0时，1≤x≤2；当x<0时，－2≤x≤－1.所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}．11．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________．答案(－∞，2]∪[4，＋∞)解析x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.三、解答题12．已知全集U＝{x|x2>1}，集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，求∁UA．解依题意，∁UA中的元素应满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2>1，,x2－4x＋3≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>1，,x≤1或x≥3，))解得∁UA＝{x|x<－1或x≥3}．13．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．解由ax2＋bx＋c≥0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))，知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－eq\f(1,3)，2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)＋2＝－\f(b,a)，,－\f(1,3)×2＝\f(c,a)，))∴b＝－eq\f(5,3)a，c＝－eq\f(2,3)a，∴不等式cx2－bx＋a<0可变形为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a))x2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)a))x＋a<0，即2ax2－5ax－3a>0．又