3.1.1 椭圆及其标准方程 导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第第页3.1.1椭圆及其标准方程（导学案）姓名：班级：学习目标1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程，掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程；2.了解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．重难点重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；难点：运用标准方程解决相关问题；三、知识梳理1．椭圆的定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆，这_______叫做椭圆的焦点，______________叫做椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？2.椭圆的标准方程

焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2a,b,c的关系焦点位置的判断四、学习过程1、情境导学椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。2、探索新知取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1,F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？一般地，如果椭圆的焦点为F1和F2PF1+PF2=2a其中a>c>0.以建立平面直角坐标系，如图所示，此时,椭圆的焦点分别为F1（−c,0）和F2（的标准方程(x+c)2+y2为了化简方程①(x+c)2+y(x+c)2+y2整理，得a2−cx=ax−c2+a4−2整理得a2−c2x将方程④两边同除以a2x2a2由椭圆的定义可知2a>2c>0，即a>c>0，所以a观察图，你能从中找出表示a，c，a设椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2其中a>c>0.以F1F2所在直线为y（1）椭圆焦点的坐标分别是什么？（2）能否通过x2a2+y3、巩固练习题型一求椭圆的标准方程题型二轨迹方程五、达标检测1.a=6,c=1的椭圆的标准方程是()A.x236+y235=1B.y236+x235=12.椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是()A.(±5,0)B.(0,±5)C.±56,3．椭圆eq\f(x2,25)＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A．5B．6C．7D．84．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是()A．1B．2C．3D．45．若方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2m－1)＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________．6．设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，设椭圆C上一点eq