高中数学的289个公式

高中数学必备的289个公式第1章集合、命题、不等式、复数1.有限集合子集个数:子集个数:2n个,真子集个数:2n2.集合里面重要结论:(1)A∩B=A⇒A⊆3.同时满足求交集,分类讨论求并集.4.集合元素个数公式:nA5.常见的数集:Z:整数集;R:实数集;Q:有理数集;N:自然数集;C:复数集;其中正整数集:Z*6.均值不等式:若a,b>0时,则a+b≥2ab;若7.均值不等式变形形式:a+8.积定和最小:若ab=pp>0时9.和定积最大:若a+b=k时,10.基本不等式:21a+1b≤ab11.一元二次不等式的解法:大于取两边,小于取中间.12.含参数一元二次不等式讨论步骤:(1)二次项系数a;(2)判别式Δ;(3)两根x1,x(4)x1,x2与定义域的端点值作比较13.一元二次不等式恒成立:(1)若ax2+bx+(2)若ax2+bx+14.任意性问题:1∀x∈15.存在性问题:(1)∃x16.不等式相同性:任意x∈D,证明:存在x∈D,证明:17.不等式相异性:任意x1、x2∈D存在x1、x2∈D18.距离型目标函数:d=x-a2+y-b219.斜率型目标函数:k=y-bx-a可行域内的点x20.线性型目标函数:z=ax+by过可行域内的点x,y且体率为-a21.p是q充分不必要条件:p⇒q,q≠p22.p是q必要不充分条件:q⇒p,p⇏q23.p是q既不充分也不必要条件:p⇏q,q⇏p;则集合关系是24.p是q充要条件:p⇒q,q⇒p25.全称命题及否定形式:P:∀26.特称命题及否定形式:P:∃27.命题否定形式的书写方法:任意变存在,存在变任意,条件不变,结论否定.28.共轭复数:z=a-bi:(共轭复数的性质:z×29.复数模长:z=30.复数的除法:z1z2=第2章函数31.几个近似值:2≈πln32.指数公式:1anm33.对数公式:(1)ax=N(3)logaMN=(5)logaMn(7)logaa=(9)logam(11)logab=34.函数定义域的求法:(1)分式的分母≠0(2)偶次方根的被开方数≥0(3)对数函数的真数>0(4)0次幂的底数≠0(5)正切函数的自变量x≠(6)满足几个条件时列不等式组求交集.35.增函数的标志:(1)任意x1<x2⇔fx36.减函数的标志:(1)任意x1<x2⇔fx37.单调性的快速法:(1)增+增→增,增-减→增;(2)减+减→减,减-增→减;(3)乘正加常,单调不变;(4)乘负取倒,单调改变.38.奇偶性的快速法:(1)奇±奇→奇;偶±偶→偶;(2)奇×÷奇→偶;偶×÷偶→偶;奇×÷偶→39.常见的奇函数:y=40.常见的偶函数:y=41.函数的周期性:∀x∈D⇒fx+T=fx,则称42.周期性标志:1f(2)fx(3)f43.对称轴标志:fx+a=-f如常见的对称中心有:fx+a=-fa-x⇒44.奇函数的周期性是对称轴的4倍:以y=sinx45.偶函数的周期性是对称轴的2倍:以y=cosx46.函数图像平移规则:横向:左加右减;纵向:上加下减.47.函数图像翻折变换:fx:偶函数,y轴右边图象不变,y轴左边图象由右边图象翻折得到(偶函数,右不变,右翻左fx:x轴上方图象不变,x轴下方图象由上方图象翻折得到(上不变48.函数图像伸缩变换:fwx:纵不变,横为原来的1w倍;Afx:横不变,纵为原来的A49.零点存在性定理:函数y=fx在区间⇔⇔50.解与零点的关系:方程fx=0的解⇔函数y51.零点与交点的关系:函数y=fx⇔方程fx-g⇔方程fx=g⇔函数y1=f注意:两个函数y1=fx,52.常函数的导数:fx=C,则53.幂函数的导数:fx=xαα∈54.正弦函数的导数:fx=sinx,则55.余弦函数的导数:fx=cosx,则56.指数函数的导数:fx=ax,则f'x=axlnx57.对数函数的导数:fx=logax,则f'x=1xln58.和差求导数法则:fx59.乘法求导数法则:fx60.商的求导数法则:fx61.复合函数求导数法则:若y=fgx,令t=g62.切线l的方程:y-fx0=f'x0x-x63.切点的三大性质:(1)切点的斜率等于该点的导函数值;即k=(2)切点在曲线y=fx(3)切点在切线l上.64.常见的不定积分表:函数名被积函数原函数常函数fF幂函数fF反比例函数fF正弦函数fF余弦函数fF65.积分的性质:(1)∫(2)∫f66.积分的几何意义:面积就是积分值.定义在a,b上的函数fx与x轴,x=a,x=b,yS67.求积分的三种思路:(1)牛莱公式(牛顿-莱布尼兹公式);(2)奇偶性质;(3)转圆求面积.68.奇偶函数求积分:(1)奇函数对称区间上积分为0;(2)偶函数对称区间上积分为0,a的269.转圆求积分:(1)-aaa2-x2dx=170.牛顿-莱布尼兹公式:abfxdx=F71.函数有零点:fxmax≥072.函数无零点:fxmax≤073.抽象函数具体化:若构造一个具体的特殊函数满足所有的已知条件,那么这个具体函数一定是符合所求问题的一个函数.74.抽象函数对数型:若fxy=fx+f75.抽象函数指数型:若fx+y=fx76.抽象函数正比型:若fx+y=fx77.抽象函数一次型:若f'x=c,78.抽象函数导数型:若f'x=fx,则f79.指数不等式:ex≥x+1(当且仅当x=080.对数不等式:lnx≤x-1(当且仅当x=181.指对综合不等式:ex≥x+1lnx≤x-1⇒ln82.绝对值不等式:a-83.函数绝对值不等式:fx84.柯西不等式:(1)向量模型:ab≥a⋅b;(2)85.伯努利不等式:1+86.洛必达法则:limx→afxgx=limx→a87.恒成立问题:1a88.证明fx>gx思路:思路1思路2:fxmin>g第3章数列89.等差数列通项公式:an=a190.等差数列前n项和公式:Sn=na91.等比数列通项公式:an92.等比数列前n项和公式:Sn93.等差数列的性质:若m+n=p+q94.等比数列的性质:若m+n=p+q95.等差中项:若a,A,b成等差数列,96.等比中项:若a,G,b成等比数列,97.裂项相消法1:若1nn+1=198.裂项相消法2:若1nn+2=199.裂项相消法3:若1an+1an100.裂项相消法4:若12n+12n101.分组求和法:S=102.错位相减法求和通式:当cn=an⋅bnan与bT103.自然数的平方和:12104.自然数立方和:13105.去Sn留an思想:106.去an留Sn思想:第4章三角函数107.三角函数的定义:正弦:sinα=yr;余弦:cosα=xr;正切:108.诱导公式:π倍加减名不变,符号只需看象限;半π加减名要变,符号还是看象限.109.和差公式:1sinα±β=sin(2)cosα±β=cosα(3)tanα±β=110.二倍角公式:1sin(2)cos2(3)tan2111.平方关系:1sin2α112.降幂公式:(1)sinαcosα=sin113.齐次式求值:(1)sinα+2114.辅助角公式:asinwx+115.三角函数不等式:sinx≤x≤tanx在116.y=sinx单调性:增区间:-π2+2117.y=cosx单调性:增区间:-π+2kπ118.y=tanx单调性:增区间:119.对称轴方程:1y=sinx对称轴方程:x=π2+kπ120.对称中心:1y=sinx的对称中心:(2)y=cosx的对称中心:(3)y=tanx的对称中心:121.周期性:(1)y=sinwx的周期:T=2πw;(2)y=coswx的周期:T122.正弦定理:a123.余弦定理:1cos(2)cosB(3)cosC124.射影定理:acos125.边大角大思想:大角对大边,大边对大角.a>126.边变角思想:(1)根据正弦定理:a=(2)“=”两边为边、角(正弦)同次式;(3)正余弦的混合组.127.角变边思想:(1)根据正弦定理:sinA(2)“=”两边为边、角(正弦)同次式;(3)只有一个余弦(cos).128.正弦定理使用情况:已知条件为:AAS、ASA129.余弦定理使用情况:已知条件为:SSS、SAS130.三角形两角和关系:sinA131.正弦值双相等:若sinA=sinB132.正余弦值相等:sinA=cos⇔133.余弦值双相等:cosA=cosB134.二倍正弦值相等:sin2A=sin⇔135.余弦值正负号:cosA>0⇔锐角三角形;cosA=0⇔136.三角形最值原理:三角形中一个角及其对边已知时,另外两边或两角相等时周长取得最小值,面积取得最大值.第5章向量137.向量加法的作图:上起下终,中间消去:AB+138.向量减法的作图:起点相同,倒回来读:AC-139.向量平行的判定:(1)向量法:a//b⇔b=λ140.向量垂直的判定:(1)向量法:a⊥b⇔a⋅b=141.向量的数量积公式:(1)向量法:a⋅b=abcos142.向量的模长公式:(1)向量法:a+2b=a+2b2(先平方143.向量的投影:(1)a与b方向的投影:acosθ=a⋅bb;(2)b与144.向量的夹角公式:(1)向量法:cosθ=a⋅b145.a方向上的单位向量:(1)向量法:e=aa;(2)坐标法:146.证明A.B.(1)两个向量AB,AC共线且有一个公共点(2)PA=第6章立体几何147.线线平行三方法:(1)线面平行的性质:一条直线和一个平面平行,过这条直线的平面和已知平面相交的交线和已知直线平行;(2)面面平行的性质:第三个平面与两个平行平面相交,则两条交线平行;(3)线面垂直的性质:垂直于同一平面的两条直线互相平行.148.线线垂直两方法:线面垂直的性质:一条直线垂直一个平面,这条直线垂直这个平面内的所有直线.149.线面平行两方法:(1)线面平行的判定:线线平行⇒线面平行(一内一外一平行);(2)面面平行的性质:两个平面平行,一个平面内任意直线平行第二个平面.150.面面平行两方法:(1)面面平行的判定:线面平行⇒面面平行(两内一交两平行);(2)面面平行的推论:两个平面内两组相交直线分别对应平行,则这两个平面平行.151.线面垂直两方法:(1)线面垂直的判定:线线垂直⇒线面平行(两内一交两垂直);(2)面面垂直的性质:两个平面垂直,一个平面内垂直于交线的直线必垂直第二个平面.152.面面垂直一方法:(1)面面垂直的定义:两个平面的二面角为90∘(2)面面垂直的判定:线面垂直⇒线面平行(一内一垂直)153.证明四点共面三方法:(1)两平行条线确定一个平面;(2)两条相交直线确定一个平面;(3)直线及直线外一点确定一个平面.154.证明三点共线原理:两个平面有一个公共点,那么两个平面有且仅有一条过该点的直线.155.证明三点共线方法:(1)A分别属于两个平面a,(2)B,C在平面α,β的交线l上(3)A∈l即:即A,B,156.法向量行列式公式:m=y1z1157.线线角向量法公式:cosθ=a⋅ba158.线面角:(1)向量法公式:sinθ=a⋅ma⋅m;(2)几何法公式159.二面角:(1)向量法公式:cosθ=±n⋅mn⋅m;(2)几何法公式160.点面距:(1)向量法公式:hx=m⋅ABm161.不定点设法:1P在线段AB上:AP=tABt∈0,1;2162.多面体的内切球半径:r=163.长方体的外接球半径:2R164.直棱锥的外接球半径:R2=r2+h165.正棱锥的外接球半径:R2=r2+h166.正三角形的性质:高:h=32a,面积167.正三角形与圆:内切圆半径:r=36a,外接圆半径:R=3168.正四面体的高:斜高:h斜=32a169.正四面体与球:内切球半径r,外接球半径R,且Rr=31第7章解析几何170.圆的定义:若AB为定长,PA⊥PB,则P的轨迹为以AB171.椭圆的定义:若PF1+PF2=2a2a>F1F2172.双曲线的定义:若PF1-PF2=2a2a<F1F2173.抛物线的定义:到定点Fp2,0和到定直线:x=-p2174.求曲线方程常见的方法:(1)直接法;(2)代入法;(3)定义法;(4)待定系数法.175.直线的斜率存在时可设方程:y=kx+b;直线过y轴上点为B0,b176.不需讨论斜率是否存在可直接设直线方程:x=my+a;直线过x轴上点为Aa,0177.直线平行:l1//l2⇔178.直线垂直:l1⊥l2⇔179.点到点的距离公式:AB=180.点到直线的距离公式:d=181.平行直线与平行直线之间的距离公式:d=182.直线方程:(1)斜截式:y=kx+b;(2)点斜式:-y0(4)两点式:y-y1y2-183.平行直线系方程:原直线方程为Ax+平行直线可设为:Ax+184.垂直直线系方程:原直线方程为Ax+垂直直线可设为:Bx-Ay+λ=185.交点直线系方程:A1186.直线一般式与斜截式的互换:k=-187.直线的斜率公式:k=tan188.斜率取值范围确定:过定点,作垂线;有交点,两k外;无交点,两k间.189.圆与圆的位置关系:(1)相离:公切线条数4条,d>R+r;(2)外切:公切线条数3条(3)相交:公切线条数2条,R-r<d<R+r;(4)内切:(5)内含:无公切线,0≤190.通用弦长公式:l=191.圆的弦长公式:l=192.圆的切线长公式:圆外一点P引圆的切线,其中一个切点为C,193.椭圆的离心率公式:e=194.双曲线的离心率公式:e=195.离心率范围:(1)椭圆e∈0,1;(2)双曲线e∈196.双曲线的渐近线方程:y=±197.双曲线的焦渐距为:b(虚半轴).198.通径公式2t:1椭圆、双曲线:2t=2199.焦半径公式(带坐标):圆锥曲线上点Mx0,y0到焦点(1)椭圆中:MF=a±ex0;(2)双曲线:MF200.焦半径公式(倾斜角):t(1)椭圆中:b2a1±ecosα;(2)双曲线:201.焦点弦公式(倾斜角):2t1-e2cos2αt:半通径;(1)椭圆中:2b2a1-e2cos2α;(2)202.切线方程:(1)椭圆:x0xa2+y0yb2=203.抛物线的焦点弦长:l=204.焦点三角形面积:(1)椭圆中:S△(2)双曲线:S△(3)通用面积:S△205.过圆锥曲线焦点的直线的倾斜角公式:(1)椭圆中过焦点的直线的倾斜角公式:λ=(2)双曲线中过焦点的直线的倾斜角公式:λ=AFλ(3)抛物线中过焦点的直线的倾斜角公式:λ=206.抛物线焦点弦圆:以抛物线焦点弦为直径的圆必与准线相切.207.抛物线焦点弦性质:1AF208.抛物线焦点直线的韦达定理:y=209.点差法的斜率公式:k椭210.解析几何中的向量问题:OA⋅211.向量与夹角问题:(1)∠AOB钝角⇔OA⋅OB<0,(注意排除夹角为(2)∠AOB锐角⇔OA⋅OB>0,(注意排除夹角为(3)∠AOB直角OA212.向量与圆的问题:P与以AB为直径的圆的位置关系:(1)P在圆内:∠APB钝角或P在AB之间时⇔(2)P在圆上:∠APB直角⇔(3)P在圆外:∠APB锐角⇔213.坐标轴平分角问题:k1214.定点与定值问题:特殊位置,锁定答案;设而不求,再作验证;215.均值思想:当两个正数变量的和或积为定值时求另一个量的最值,当这两个正数变量相等时,则所求变量取得最值.第8章概率统计216.简单随机抽样:随机数表法、抽签法(抓阄法).217.系统抽样:按等差数列通项抽取,其中第i个编号为ai218.分层抽样:按比例抽取nN219.频率分布直方图的频率=小矩形面积:fi=Si=yi×d220.频率分布直方图的频率之和:f1+f2+⋯⋯+221.频率分布直方图的众数:最高小矩形底边的中点.222.频率分布直方图的平均数:x223.频率分布直方图的中位数:从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时x的值.224.频率分布直方图的方差:s2225.线性回归方程:y=226.线性回归直线方程必过样本中心点:x,227.斜率b的意义:b>0:正相关;b<228.残差:ei=yi-yi(残差=真实值-预报值),229.残差平方和:i=1nyi-y230.拟合度(相关指数):R2=1-i=1nyi-yi2i=1nr===232.相关系数r分析:1r∈-2r>0:正相关;r(3)r∈0,0.25,相关性很弱;r∈0.25,0.75,233.独立性检验2×2xx合计yabaycdc合计abn234.独立性检验公式:k2235.独立性检验步骤:(1)计算观察值k2;(2)查找临界值k0;(3)236.常见的排列问题:任职问题、数字问题、排队照相问题、逐个抽取问题.237.排列公式:An238.排列数性质:性质1:Anm=239.常见的组合问题:产品抽查问题、一次性抽取问题240.组合公式:Cn241.组合数的性质:Cnm=特殊元素先考虑,特殊位置先安排;分类讨论找特殊,分类复杂对立法;相邻问题捆绑法,间隔问题插空法;定序问题除阶乘,定序限制乘比例;染色问题多到少,对角之时须讨论;平均分组除阶乘,非平分组即组合;先分后排须谨记,后排即乘全排列.243.古典概型公式:PA244.几何概型公式:PA245.几何概型中面积问题:积分问题、双变量问题、线性规划问题.246.任意事件概率公式:PA247.互斥事件概率公式:PA248.对立事件概率公式:PA=1-249.条件概率公式:PB250.独立事件概率公式:PAB251.独立事件的性质:若A与B独立,则A与B、A与B、A与252.独立事件至少有一个发生概率公式