备战2025年高考数学纠错笔记系列专题02函数理含解析

PAGEPAGE1专题02函数易错点1换元求解析式时忽视自变量范围的改变已知，求f（x）的解析式.【错解】令，则x＝t2＋1，所以f（t）＝3－（t2＋1）＝2－t2，即有f（x）＝2－x2.【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f”作用的对象“”是有范围限制的．利用换元法求函数的解析式时，肯定要留意换元后新元的限制条件．【试题解析】令，则t≥0，且x＝t2＋1，所以f（t）＝3－（t2＋1）＝2－t2（t≥0），即f（x）＝2－x2（x≥0）．【参考答案】f（x）＝2－x2（x≥0）．利用换元法求函数解析式时，肯定要留意保持换元前后自变量的范围．1．已知，则A． B．C． D．【解析】（换元法）：令，则，所以，所以．故选A．【答案】A留意：用替换后，要留意的取值范围为，忽视了这一点，在求时就会出错.本题也可用配凑法，详细解析过程如下：，又，所以．故选A．易错点2分段函数的参数范围问题设函数,则满意的a的取值范围是A． B．[0,1]C． D．[1，＋∞）【错解】当a<1时，f（a）＝3a此时f（f（a））＝3（3a－1）－1＝9，方程无解．当a≥1时，，此时，方程恒成立，故选D．【错因分析】对字母a的探讨不全而造成了漏解，事实上应先对3a－1与1的大小进行探讨，即参数a的分界点应当有2个，a＝eq\f(2,3)或a＝1，所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类探讨．【试题解析】①当时，，,，明显.②当eq\f(2,3)≤a<1时，，，故.③当时，，，，故.综合①②③知a≥eq\f(2,3).【参考答案】C求分段函数应留意的问题：在求分段函数的值f（x0）时，首先要推断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．2．已知函数=是上的减函数,那么的取值范围是A．(0,3) B．C．(0,2) D．【解析】∵为上的减函数，∴时，单调递减，即，则；时，单调递减，即,且,即.综上，的取值范围是,故选D.【答案】D易错点3对单调区间和在区间上单调的两个概念理解错误若函数f（x）＝x2＋2ax＋4的单调递减区间是（－∞，2]，则实数a的取值范围是________.【错解】函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－a，由于函数在区间（－∞，2]上单调递减，因此－a≥2，即a≤－2.【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调．【试题解析】因为函数f（x）的单调递减区间为（－∞，2]，且函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－a，所以有－a＝2，即a＝－2.【参考答案】a＝－2单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，肯定要细致读题，明确条件的含义．3．已知函数在[2，8]上是单调函数，则k的取值范围是A． B．C． D．【解析】依据题意，函数的对称轴为x，若f（x）在[2，8]上是单调函数，必有2或8，解可得：k≤4或k≥16，即k的取值范围是（﹣∞，4]∪[16，+∞）；故选D．【答案】D易错点4忽视定义域的对称导致函数奇偶性推断错误推断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝（x－1）eq\r(\f(x＋1,x－1))；（2）f（x）＝eq\f(\r(1－x2),|x＋2|－2).【错解】（1）f（x）＝（x－1）·eq\r(\f(x＋1,x－1))＝eq\r(x2－1).∵，∴f（x）为偶函数．（2），∵f（－x）≠－f（x）且f（－x）≠f（x），∴f（x）为非奇非偶函数．【错因分析】要推断函数的奇偶性，必需先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）．有时还须要在定义域制约条件下将f（x）进行变形，以利于判定其奇偶性．【试题解析】（1）由eq\f(x＋1,x－1)≥0得{x|x＞1，或x≤－1}，∵f（x）定义域关于原点不对称，∴f（x）为非奇非偶函数．（2）由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0,|x＋2|－2≠0))得－1≤x≤1且x≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x≤1且x≠0时，f（x）＝eq\f(\r(1－x2),x＋2－2)＝eq\f(\r(1－x2),x)，∵，∴f（x）为奇函数．【参考答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数．依据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满意奇偶性的条件．函数奇偶性推断的方法（1）定义法：（2）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择填空题中．4．下列函数是奇函数的是A． B． C． D．【解析】，所以A为非奇非偶函数，，所以B为偶函数，，所以C为奇函数，，所以D为偶函数，故选C.【答案】C推断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数的定义域应关于原点对称，不关于原点对称的既不是奇函数也不是偶函数.再找与的关系，若，则函数为偶函数；若，则函数为奇函数.易错点5因忽视幂底数的范围而导致错误化简（1－a）[（a－1）－2（－a）eq\s\up10(\f(1,2))]eq\s\up10(\f(1,2))＝________.【错解】（1－a）[（a－1）－2·（－a）eq\s\up10(\f(1,2))]eq\s\up10(\f(1,2))＝（1－a）（a－1）－1·（－a）eq\s\up10(\f(1,4))＝－（－a）eq\s\up10(\f(1,4)).事实上在解答本类题时除了敏捷运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件．【试题解析】由（－a）eq\s\up10(\f(1,2))知－a≥0，故a－1<0.∴（1－a）[（a－1）－2（－a）eq\s\up10(\f(1,2))]eq\s\up10(\f(1,2))＝（1－a）（1－a）－1·（－a）eq\s\up10(\f(1,4))＝（－a）eq\s\up10(\f(1,4)).【参考答案】（－a）eq\s\up10(\f(1,4))在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要留意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中，则必需有－a≥0，即a≤0.5．已知,,,则A． B． C． D．【解析】a，b，c，则a70＝235＝（25）7＝327＝（27）5＝1285，b70＝514＝（52）7＝257，c70＝710＝（72）5＝495，∴a>c，a>b，又b70＝514＝（57）2＝（78125）2c70＝710＝（75）2＝（16807）2，∴b>c，∴a＞b＞c，故选A．【答案】A易错点6忽视了对数式的底数和真数的取值范围对数式log（a－2）（5－a）＝b中，实数a的取值范围是A．（－∞，5） B．（2,5）C．（2，＋∞） D．（2,3）∪（3,5）【错解】由题意，得5－a>0，∴a<5.故选A．【错因分析】该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数．【试题解析】由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－a>0，,a－2>0，,a－2≠1，))∴2<a<3或3<a<5.故选D．【参考答案】D对数的真数与底数都有范围限制，不行顾此失彼．6．已知，，，则的最小值是A．2 B． C．4 D．【解析】∵lg2x+lg8y＝lg2，∴lg（2x•8y）＝lg2，∴2x+3y＝2，∴x+3y＝1．∵x＞0，y＞0，∴24，当且仅当x＝3y时取等号．故选：C．【答案】C易错点7复合函数理解不到位出错已知函数y＝log2（x2－x－a）的值域为R，求实数a的取值范围.【错解】设f（x）＝x2－x－a，则y＝log2f（x），依题意，f（x）>0恒成立，∴Δ＝1＋4a∴a<－eq\f(1,4)，即a的范围为（－∞，－eq\f(1,4)）．【错因分析】以上解法错误在于没有精确地理解y＝log2（x2－x－a）值域为R的含义．依据对数函数的图象和性质，我们知道，当且仅当f（x）＝x2－x－a的值能够取遍一切正实数时，y＝log2（x2－x－a）的值域才为R.而当Δ<0时，f（x）>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f（x）不肯定能取遍一切正实数（一个不漏）．要使f（x）能取遍一切正实数，作为二次函数，f（x）图象应与x轴有交点（但此时定义域不再为R）．【试题解析】要使函数y＝log2（x2－x－a）的值域为R，应使f（x）＝x2－x－a能取遍一切正数，要使f（x）＝x2－x－a能取遍一切正实数，应有Δ＝1＋4a≥0，∴a≥－eq\f(1,4)，∴所求a的取值范围为[－eq\f(1,4)，＋∞）．【参考答案】[－eq\f(1,4)，＋∞）．1．求复合函数单调性的详细步骤是：（1）求定义域；（2）拆分函数；（3）分别求y＝f（u），u＝φ（x）的单调性；（4）按“同增异减”得出复合函数的单调性．2．复合函数y＝f[g（x）]及其里层函数μ＝g（x）与外层函数y＝f（μ）的单调性之间的关系（见下表）.函数单调性y＝f（μ）增函数增函数减函数减函数μ＝g（x）增函数减函数增函数减函数y＝f[g（x）]增函数减函数减函数增函数7．已知函数在（0，2）上为减函数，则的取值范围是A．（1，3] B．（1，3）C．（0，1） D．[3，+∞）【解析】由函数在（0，2）上为减函数，可得函数在（0，2）上大于零，且为减函数，，故有，解得.故选A．【答案】A不论还是，都有为减函数，又在（0，2）上为减函数，则，这是求解本题的关键.易错点8零点存在性定理运用条件不清致误函数的零点个数为A．0 B．1C．2 D．3【错解】因为，，所以函数有一个零点，故选B．【错因分析】函数的定义域确定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必需先求出函数的定义域.通过作图（图略），可知函数的图象不是连绵不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上运用.【试题解析】函数的定义域为，当时，；当时，.所以函数没有零点，故选A．【参考答案】A零点存在性定理成立的条件缺一不行，假如其中一个条件不成立，那么就不能运用该定理.8．已知函数，若函数存在零点，则实数a的取值范围是A． B．C． D．【解析】函数的图象如图：若函数存在零点，则实数a的取值范围是（0，+∞）．故选D．【答案】D一、函数（1）映射：设A，B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射.（2）函数：非空数集非空数集的映射，其要素为定义域、对应关系，函数的值域.求函数定义域的主要依据：①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数不小于0；③对数函数的真数大于0；④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1；⑤正切函数中，的取值范围是，且.求函数定义域的类型与方法（1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．（3）复合函数问题：①若f（x）的定义域为[a，b]，f（g（x））的定义域应由a≤g（x）≤b解出；②若f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在[a，b]上的值域．[留意]①f（x）中的x与f（g（x））中的g（x）地位相同；②定义域所指恒久是x的范围．二、函数的性质（1）函数的奇偶性假如对于函数y＝f（x）定义域内的随意一个x，都有（或），那么函数f（x）就叫做奇函数（或偶函数）．（2）函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D上的函数f（x），若对于随意，当时，都有（或），则称f（x）在区间D上为单调增（或减）函数．反映在图象上，若函数f（x）是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左到右是上升（下降）的．假如函数f（x）在给定区间（a，b）上恒有f′（x）>0（f′（x）<0），则f（x）在区间（a，b）上是增（减）函数，（a，b）为f（x）的单调增（减）区间．（3）函数的周期性设函数y＝f（x），x∈D，假如存在非零常数T，使得对随意x∈D，都有f（x＋T）＝f（x），则函数f（x）为周期函数，T为y＝f（x）的一个周期．（4）最值一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，假如存在实数M满意：①对于随意的x∈I，都有f（x）≤M（或f（x）≥M）；②存在，使得，那么称M是函数y＝f（x）的最大值（或最小值）．三、函数图象（1）函数图象部分的复习应当解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的驾驭有三方面的要求：①会画各种简洁函数的图象；②能依据函数的图象推断相应函数的性质；③能用数形结合的思想以图协助解题．（2）利用函数图象的变换作图①平移变换，.②伸缩变换，.③对称变换，，，.四、函数与方程、函数的应用1．函数的零点（1）函数的零点：对于函数f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数f（x）的零点．（2）函数的零点与方程根的联系：函数F（x）＝f（x）－g（x）的零点就是方程f（x）＝g（x）的根，即函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象交点的横坐标．（3）零点存在性定理：假如函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连绵不断的一条曲线，且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b）使得f（c）＝0,这个c也就是方程f（x）＝0的根．2．二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应留意在第一步中要使：（1）区间的长度尽量小；（2），的值比较简洁计算，且.3．应用函数模型解决实际问题的一般步骤如下：与函数有关的应用题，常常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是建立相关的函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关学问加以综合解答．1．【2024年高考全国Ⅰ卷理数】已知，则A． B．C． D．【答案】B【解析】即则．故选B．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．实行中间量法，依据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．2．【2024年高考天津理数】已知，，，则的大小关系为A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，，，即，所以.故选A.【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较.3．【2024年高考全国Ⅱ卷理数】若a>b，则A．ln(a−b)>0 B．3a<3bC．a3−b3>0 D．│a│>│b│【答案】C【解析】取，满意，但，则A错，解除A；由，知B错，解除B；取，满意，但，则D错，解除D；因为幂函数是增函数，，所以，即a3−b3>0，C正确.故选C．【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及肯定值的意义，渗透了逻辑推理和运算实力素养，利用特别值解除即可推断．4．【2024年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满意m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1 B．10.1C．lg10.1 D．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满意，令，则从而.故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理实力､阅读理解实力以及对数的运算.5．【2024年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又，可知应为D选项中的图象．故选D．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．实行性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．6．【2024年高考全国Ⅲ卷理数】函数在的图像大致为A． B．

C． D．【答案】B【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，解除选项C．又解除选项D；，解除选项A，故选B．【名师点睛】本题通过推断函数的奇偶性，解除错误选项，通过计算特别函数值，作出选择．本题留意基础学问、基本计算实力的考查．7．【2024年高考浙江】在同始终角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质驾驭不娴熟，导致推断失误；二是不能通过探讨的不同取值范围，相识函数的单调性.8．已知单调函数，对随意的都有，则A．2 B．4C．6 D．8【答案】C【解析】设，则，且，令，则，解得，∴，∴．故选C．【名师点睛】解答本题的关键是借助换元法求得函数的解析式，然后再求函数值，主要考查学生的变换实力．9．【2024年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，．，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最终依据单调性得到答案．10．【2024年高考全国Ⅱ卷理数】设函数的定义域为R，满意，且当时，．若对随意，都有，则m的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，．∵时，；∴时，，；∴时，，，如图：当时，由解得，，若对随意，都有，则.则m的取值范围是.故选B.【名师点睛】本题考查了函数与方程，二次函数.解题的关键是能够得到时函数的解析式，并求出函数值为时对应的自变量的值.11．【2024年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0【答案】C【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3-12，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.依据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴b1-a＜0且解得b＜0，1﹣a＞0，b＞-16（a则a>–1，b<0.故选C．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2﹣b，利用导数探讨函数的单调性，依据单调性画出函数12．已知函数，则A．在上单调递增 B．在上的最大值为C．在上单调递减 D．的图象关于点对称【答案】B【解析】，定义域为，令，则,二次函数的对称轴为直线，所以在上单调递增，在上单调递减，A错，C也错，D明显是错误的；当时，有最大值，所以，B正确．13．已知是定义域为的奇函数，满意,若，则A． B．C． D．【答案】B【解析】f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），f（1﹣x）=f（1+x）即有f（x+2）=f（﹣x），即f（x+2）=﹣f（x），进而得到f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），f（x）是周期为4的函数，若f（1）=2，可得f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2024）=504×0+2+0=2．故选：B．14．若函数为偶函数，则__________．【答案】或【解析】令，依据函数为偶函数，可知为奇函数，利用，可得，所以或.【名师点睛】该题考查的是依据函数的奇偶性求解参数的值的问题，在解题的过程中，留意对两个奇函数的乘积为偶函数的性质的敏捷应用，再者就是在零点有定义的奇函数肯定有0所对的函数值为0，得到等量关系式求得结果，也可以应用定义进行求解.解本题时，依据函数为偶函数，视察其特征，可得为奇函数，结合奇函数的特征，若奇函数在0点处有定义，则肯定有，从而得到相应的关系式，求得结果.15．若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝__________．【答案】【解析】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意.16．设函数在上为增函数，，且为偶函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】易知的图象向左平移1个单位得到的图象，∵在[1，+∞）上为增函数，∴在[0，+∞）上为增函数，即在[0，+∞）上为增函数，且g（2）=f（2+1）=0，∵=为偶函数，∴不等式g（2﹣2x）＜0等价于g（2﹣2x）＜g（2），即g（|2﹣2x|）＜g（2），则|2﹣2x|＜2，即﹣2＜2x﹣2＜2，即0＜2x＜4，即0＜x＜2，所以不等式的解集为（0，2），故答案为（0，2）．【名师点睛】对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．17．已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】函数恰有三个不同的零点，就是函数与有三个交点，也就是函数与的图象有两个交点，与的图象有一个交点，画出函数与的图象如图，函数，看作直线斜率为，由图象可知，小于直线与抛物线相切的斜率，由，可得，解得，综上时，函数与的图象有三个交点，即函数恰有三个不同的零点，故答案为.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)干脆法，干脆依据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分别参数法，先将参数分别，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.18．记为不超过的最大整数，如，则函数的全部零点之和为__________．【答案】【解析】由题意可知：.令.则.所以在上单调递减，有，所以在上无零点，只需考虑：，，，可得三个零点分别为，故答案为:．【名师点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题，属于中档题.探讨函数零点(方程根)的三种常用的方法：(1)干脆法，干脆依据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分别参数法，先将参数分别，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题，交点的横坐标即零点.19．【2024年高考江苏】设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是__________．【答案】【解析】作出函数，的图象，如图：由图可知，函数的图象与的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x的方程有2个不同的实数根，要使关于的方程有8个不同的实数根，则与的图象有2个不同的交点，由到直线的距离为1，可得，解得，∵两点连线的斜率，∴，综上可知，满意在(0,9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为.【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查学问点较多，难度较大.正确作出函数，的图象，数形结合求解是解题的关键因素.20．设函数．已知，且，，则实数a=__________，b=__________．【答案】，1【解析】，，所以，解得．【思路点睛】先计算，再将绽开，进而比照系数可得含有，的方程组，解方程组可得和的值．21．定义在实数集上的函数满意，当时，，则函数的零点个数为__________．【答案】【解析】定义在上的函数，满意，∴为上的偶函数，因为满意，函数为周期为的周期函数，且为上的偶函数，因为时，，所以，在上递增，且值域为，依据周期性及奇偶性画出函数的图象和的图象，如图，易知的图象在上单调递增，且当时，，当时，的图象与函数的图象无交点，结合图象可知有个交点，故答案为.【名师点睛】函数零点个数(方程根)的三种推断方法：(1)干脆求零点：令，假如能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连绵不断的曲线，且，还必需结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.22．在直角坐标系中，假如相异两点，都在函数的图象上，那么称，为函数的一对关于原点成中心对称的点（，与，为同一对）函数的图象上有__________对关于原点成中心对称的点