专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型（原卷版）

专题02平行线中的拐点模型之铅笔头模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型2：铅笔头模型图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2023下·浙江七年级期中）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为()A．55° B．60° C．65° D．70°例2．（2023下·浙江金华·七年级统考期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为．

例3．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（

）

A．B．C．D．例4．（2023下·广东汕头·七年级统考期末）如图，已知直线，，，则等于（

）

A． B． C． D．例5．（2023下·陕西西安·七年级校考期中）如图，已知，和的平分线相交于F，，则的度数为．例6．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，，若，下列各式：①

②

③

④其中正确的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④例7．（2023上·广东广州·八年级校考开学考试）如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则（度）；

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则（度）；（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则（度）；（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是（度）．例8．（2023下·广东深圳·七年级校考期中）【学习新知】：射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．（1）【初步应用】：生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射入到平面镜上、被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线．回答下列问题：①当，（即）时，求的度数．②当时，任何射入平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．（提示：三角形的内角和等于）（2）【拓展探究】：如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线，已知，，若要使，求的度数．例9．（2023下·重庆铜梁·七年级统考期末）如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．(1)阅读并补充下面推理过程：解：过点A作，所以，．又因为，所以．(2)从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．如图2，已知，试说明(3)如图3，已知，平分，平分，若，则的度数为°；(4)如图4，已知，平分，平分，平分，平分，平分，平分…，若，则的度数为；(用含a的代数式表示)

课后专项训练1．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，直线，，垂足为，与相交于点，若，则（

）.

A． B． C． D．2．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知直线，点为直线上一点，为射线上一点，若，，交于点，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知垂直地面上的直线于点，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即始终平行于）．在该运动过程中，当时，的度数是（

）A． B． C． D．4．（2023下·山东泰安·七年级校考期末）如图，已知直线，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．5．（2023下·重庆七年级课时练习）如图，两直线、平行，则（

）．A． B． C． D．6．（2023上·广东八年级月考）如图所示，已知，那么（

）

A．180° B．270° C．360° D．540°7．（2023下·海南省直辖县级单位·八年级校考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，，的度数为（

）

A． B． C． D．8．（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则的度数为（

）

A． B． C． D．9．（2022下·西藏那曲·七年级统考期末）如图，，，则的度数是（

）.

A． B． C． D．10．（2023上·安徽马鞍山·八年级校考期中）如图，将三角形纸片沿虚线剪掉两角得五边形，若，，根据所标数据，则的度数为（

）

A． B． C． D．11．（2023下·上海·七年级校考期中）如图，已知，，和的平分线交于点F，的度数是（）A． B． C． D．12．（2023下·浙江宁波·七年级校考期中）如图所示，五边形中，，，，分别是，，的补角，若，，则等于．

13．（2023·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，，则．

14．（2023下·江苏盐城·七年级统考期中）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝．15．（2023下·辽宁铁岭·七年级统考期末）如图已知：，，平分，，有下列结论：①；②③；④，其中，正确的结论有．（填序号）

16．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）七（2）班同学以“三角尺和平行线”为背景开展数学探究活动．如图1，直线，直角三角尺的锐角顶点A，C分别在直线上，点B在直线，之间，（1）当时，°．（2）如图2，在线段上取一点D，过点D作直线，若射线平分，且满足，则°．

17．（2023下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，，F为上一点，且平分，过点F作于点G，作交于点P，．(1)求证：．(2)若平分，求证：．

18．（2023下·浙江金华·七年级统考期中）如图，已知，P是直线间的一点，于点F，交于点E，．(1)求的度数；(2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒．①当为角平分线时，求的度数；②当时，求t的值．

19．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）已知直线，点为直线，间的动点，和的角平分线相交于点．(1)如图1，当，，求的度数；(2)如图1，当时，直接写出的度数；（用含的代数式表示）(3)如图2，点在直线，间运动到某一处，此时恰好，，求的度数．20．（2023下·浙江·七年级期中）如图所示的格线彼此平行，在格线中作，记与格线形成的锐角为（位于格线上方），记与格线形成的锐角为（位于格线下方）．(1)①如图1，若点在一条格线上，当时，________；②如图2，分别作与的邻补角的角平分线，两线交于点（在内部），求的度数；(2)在图3中，当时，作射线，使得．与格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系．21．（2023下·浙江湖州·七年级统考期中）如图，已知点E在的延长线上，，平分.(1)若与互补，，求的度数；(2)若，探究并写出与的数量关系；(3)若，，求的值.

22．（2023下·广西南宁·七年级统考期末）（课本再现）（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题的第（2）小题：如图1，已知，则有，已知，则有，那么__________．（类比探究）（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，不变，当将点移动到点的位置时，请写出，，之间的数量关系．并说明理由．（拓展应用）（3）善于思考的南南同学猜想：将图1的部分与图2重合（如图3），不变，当，分别平分和时，请写出与之间的数量关系．并说明理由．

23．（2023下·浙江宁波·七年级校联考期中）如图，已知C为两条相互平行的直线，之间一点，和的角平分线相交于F．．(1)求证：．(2)连接，当，时，求的度数．(3)若时，将线段沿射线方向平移，记平移后的线段为，B，C分别对应P，Q，当时，求的度数．

24．（2023下·浙江宁波·七年级统考期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足．（