可分离变量齐次方程

一阶微分方程初等解法第二章第1页可分离变量微分方程第2.1.1节可分离变量方程

第2页设y＝

(x)是方程①解,

两边积分,得

则有恒等式

则有分离变量方程解法:分离变量，两端积分分离变量法第3页例1.

求微分方程通解.解:

分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,所以可能增、减解.(此式含分离变量时丢失解y=0)第4页例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为第5页例3.

子含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t改变规律.

解:

依据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀改变规律为然后积分:已知t=0时铀含量为已知放射性元素铀衰变速度与当初未衰变原第6页第7页第8页

求以下方程通解和要求特解:提醒:(2)

分离变量练习:(1)

分离变量第9页例4.

设曲线过点.在曲线上任取和曲线围成面积是另一条平行线与y

轴和曲线围成面积2倍，求曲线方程.xyo一点，作两坐标轴平行线，其中一条平行线与x轴第10页解:xyo两边同时对求导第11页分离变量，积分得可分离变量方程第12页可化为分离变量类型

第2.1.2节齐次方程第十二章微分方程称为齐次方程.第13页一、齐次方程解法作变量代换代入原式可分离变量方程分离变量，积分后再用代替u,便得原方程通解.第14页例1.

解微分方程解:代入原方程得分离变量，积分得得故原方程通解为(当C=0时,

y=0也是方程解)(C为任意常数)则第15页例2.

解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即(C为任意常数)方程变形为第16页例2.

解微分方程解:则有分离变量方程变形为

∴

原方程还有解：注意到也是方程（1）解.由得它是原方程解.由得它也是原方程解;或令C=0.

第17页1求微分方程满足微分方程通解为解：练习:方程变形为则特解.第18页2求解微分方程解则第19页第20页例3设有连接点O(0,0)和点A(1,1)一段向上凸曲线弧,对于上任意一点P(x,y)，曲线弧与直线段所围图形面积为,求弧方程.解：设弧方程为则所围图形面积为：积分方程第21页解：设弧方程为，则两边求导齐次方程依题意得弧方程为：方程通解为第22页求微分方程满足微分方程通解为解：练习:求导，得特解.第23页例6探照灯反设镜面形状.

在制造探照灯反射镜面时,总要求将点光源射出光线平行地反射出去，以确保探照灯有良好方向性，试求反射镜面几何形状.光反射定律:入射角=反射角第24页可得OMA=OAM=

解:

设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线

绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM而AO

于是得微分方程:

(齐次方程)

第25页利用曲线对称性,不妨设y>0,积分得得

(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面:于是方程化为(齐次方程)

第26页可化为分离变量类型

第2.1.2节一个特殊齐次方程第十二章第27页

二.特殊齐次微分方程解法均为常数.第28页

（常数）

变形为（c为任意常数）第29页

（k为常数）

变形为

则可分离变量方程第30页

设为直线交点.则第31页方程便可以下转化成齐次方程：

即

第32页例4.

求解解:令得再令Y＝X

u,得令积分得第33页得C=1,故所求特解为思索:

若方程改为

怎样求解?

提醒:代回原变量,得原方程通解:第34页例5.解:由(*)原方程可化为第35页于是方程