《机械基础》课件 单元2 材料力学

02单元二材料力学学习情境一构件承载能力分

学习目标：了解构件承载能力的几个指标；了解杆件变形的基本形式；掌握内力、应力等概念；了解研究杆件内力的基本方法。学习情境一构件承载能力分析导入

如图所示的螺栓连接件，拧紧螺母压紧钢板后，螺栓产生了什么样的变形？一、构件承载能力分析研究的任务1、对构件的三项基本要求：强度：构件在外载作用下，具有足够的抵抗断裂破坏的能力。刚度：构件在外载作用下，具有足够的抵抗变形的能力。如机床主轴变形不应过大，否则影响加工精度。稳定性：某些构件在特定外载，如压力作用下，具有足够的保持其原有平衡状态的能力。一、构件承载能力分析研究的任务2、材料力学的任务1）研究构件的强度、刚度和稳定性；2）研究材料的力学性能；3）为合理解决工程构件设计中安全与经济之间的矛盾提供力学方面的依据。二、变形体及其基本假设1、变形：在载荷作用下，构件的形状或尺寸发生变化称为变形。弹性变形：除去外力后，能恢复的变形。塑性变形：出去外力后，不能恢复有残余变形的变形。2、基本假设：①均匀连续性假设：认为变形固体内部毫无空隙地充满物质，且认为物体内任何部分的性质都是相同的。②各向同性假设：认为材料在各个不同方向上都具有相同的力学性质。③小变形假设：构件在外力的作用下将产生变形，构件的形状、几何尺寸和位置将会发生变化。三、杆件变形的基本形式（一）轴向拉伸和压缩变形由一对大小相等、方向相反、力的作用线与杆件轴线重合的外力作用引起。（二）剪切与挤压变形由一对相距很近、大小相等、方向相反的沿杆件横向的外力作用引起。三、杆件变形的基本形式（三）扭转变形由一对大小相等、转向相反、作用面都垂直于杆件轴线的外力引起。（四）弯曲变形由一对大小相等、方向相反、作用在杆件的纵向对称面内的力偶引起。杆件同时发生几种基本变形，称为组合变形。四、内力、截面法和应力（一）内力①内力完全是由外力引起的，并随外力改变而改变；②内力若超过材料所能承受的极限值，杆件就要断裂；③内力反映了材料对外力有抵抗力，并能够传递外力。（二）截面法①一截：在待求内力的作用位置，假想用一截面将构件一截为二；②二取：选其中一部分为研究对象并画受力图(包括外力和内力)；③三平衡：列出研究对象的静力平衡方程，求解内力。①力不能沿作用线移动，即力的可传性不成立，因为研究的是变形体，不是刚体；②截面不要切在作用点上，要离开作用点。注意：（三）内力图

用平行于杆件轴线的x坐标表示横截面位置，用垂直于x轴的坐标表示横截面内力的大小，按选定的比例，把内力表示在直角坐标系中，描出的内力随截面位置变化的曲线，此图称为内力图。（四）应力式中

P平均——△A上的平均应力。

应力的单位是Pa（帕），1Pa=1N/m2。工程中常用MPa和GPa作为应力的单位，其中1MPa=106Pa，1GPa=109Pa。02单元二材料力学学习情境二杆件轴向拉伸与压缩

学习目标：掌握轴力图的绘制及利用轴力图分析杆件危险截面的方法；掌握轴向拉伸、压缩时的变形计算方法；掌握材料在轴向拉伸、压缩时的力学性能；掌握轴向拉伸、压缩时的强度计算方法。。学习情境二杆件轴向拉伸与压缩导入

如图所示的桥梁的桥墩，在承受了桥体重量后产生了什么样的变形？一、轴向拉伸和压缩的概念（a）拉杆（b）压杆二、拉（压）杆横截面上的内力——轴力与轴力图（一）轴力（FN)的计算取左段来研究：由平衡方程

∑Fx=0，FN-F=0，可得FN=F轴力的正负规定如下：轴力的方向与所在截面外法线方向一致时，轴力为正；反之为负。拉杆的轴力为正，压杆的轴力为负。（二）轴力图

用横坐标x

表示杆件截面位置，用纵坐标FN表示轴力。正轴力画在横坐标的上方,负轴力画在横坐标的下方。轴力等于截面一侧所有外力的代数和；当外力指向截面时取负值，外力背离截面时取正值。计算轴力的方法：例题1

如图所示,已知等直杆上F1

=18kN，

F2

=8kN，

F3

=4kN,求杆件上各段的轴力，并画出轴力图。解：（1）求固定端的约束反力F1-F2-F3-FA=0∑Fx=0FA=

F1-F2-F3=18-8-4=6（kN）（2）求各段轴力截面1—1：∑Fx

=0，FN1=FA

=6（kN）截面2—2：∑Fx

=0，

FN2

=FA-F1

=6-18=-12（kN）

FN3

=-F3

=-4（kN）截面3—3：∑Fx

=0，三、拉（压）杆横截面上的应力1、平面假设：假设变形之前横截面为平面，变形之后仍保持为垂直于杆轴线的平面。由此可推知横截面上各点正应力也相同，即

等于常量。拉、压杆横截面上各处应力大小相等，方向与轴力FN的方向一致。即拉、压杆横截面上只有正应力σ，而无切应力τ。2、结论：式中

A——横截面面积，mm2；

FN——拉(压)杆件横截面上的轴力，N。

σ——拉(压)杆件横截面上的正应力，拉应力为正，压应力为负。例题2如图所示的杆件AC。已知：d1=φ20mm，d2=φ30mm，F1=20kN，F2=50kN，画出轴力图并计算AB、BC段杆件上的应力。解：（1）计算截面1-1、2—2的轴力截面1—1：∑Fx=0，FN1=F1=20（kN）截面2—2：∑Fx=0，FN2=F1-F2=20-50=-30（kN）（2）画轴力图（3）计算AB、BC段杆件上的应力AB段：BC段：四、轴向拉伸（压缩）时的变形（一）变形与应变轴向绝对变形——拉(压)杆件的轴向变形量,用△l表示。△l=l1-l

拉伸时,△l为正；压缩时,△l

为负。横向绝对变形——拉(压)杆件的横向变形量，用△b表示。△b=b1-b

拉伸时，△b为负；压缩时,△b为正。轴向线应变：横向线应变：线应变是一个无量纲的量。杆件受拉时，ε为正，

ε’为负。（二）泊松比----横向变形系数（三）虎克定律

式中E称为弹性模量，其值随材料不同而异。E是表征材料弹性的常数，可用实验来测定。显然,EA越大，杆件的变形越小，EA称为抗拉(压)刚度，它表示杆件抵抗拉伸或压缩的能力。

σ=Eε

虎克定律的又一种表达形式，因此虎克定律还可以表述为：当应力不超过某一极限时，应力与应变成正比。五、金属材料的力学性能（一）金属材料在轴向拉压时的力学性能1、试件和设备标准试件：标距l与直径d的比例分为10与5；设备：拉力机或全能机及相关的测量、记录仪器。2、低碳钢拉伸图（ε—σ图）弹性阶段（oa）屈服阶段（bc）σp---比例极限σe----弹性极限σs----屈服强度强化阶段（cd）缩颈断裂阶段（de)σb----强度极限断后伸长率δ断裂收缩率ψδ≥5％的材料称为塑性材料；δ＜5％的材料称为脆性材料（一）金属材料在轴向拉压时的力学性能3.灰铸铁拉伸时的力学性能4.低碳钢、铸铁压缩时的力学性能（a）低碳钢（b）铸铁低碳钢、铸铁压缩时的ε—σ曲线

铸铁拉伸时的ε—σ曲线铸铁材料的抗压强度约是抗拉强度的4～5倍。（二）硬度1.布氏硬度----HBW布氏硬度测试原理2.洛氏硬度---HRA、HRB、HRC洛氏硬度测试原理3.维氏硬度---HV维氏硬度测试原理六、轴向拉压时的强度计算（一）许用应力与安全系数塑性材料

ns——塑性材料的屈服安全系数脆性材料式中

nb——脆性材料的断裂安全系数；[σl]——拉伸时许用应力；[σy]——压缩时许用应力；σbl——材料抗拉强度极限应力；σby——材料抗压强度极限应力一般取ns=1.3～2.0，nb=2.0～3.5。（二）强度条件式中

FNmax——危险截面(产生最大工作应力的截面)上的轴力，N；A——危险截面面积，mm2。根据强度条件，可以解决以下三类问题：1.强度校核；

max=FNmax/A≤[]是否满足2.选择截面尺寸：

A≥FNmax

/[σ]3.确定许可载荷：FNmax≤A[σ]例题3

某车间自制一台简易吊车，如图（a)所示。已知在铰接点B处吊起重物的最大值为Fp=20kN，杆AB和BC均用圆钢制作，且dBC=20mm,材料的许用应力[σ]=58MPa。试校核BC杆的强度，并确定AB杆的直径d(不计杆自重)。解：由受力分析可知，AB杆和BC杆分别为轴向受拉和轴向受压的二力杆。受力图如图(b)所示。(a)（b）（c）（1）确定AB、BC两杆的轴力。取铰链B为研究对象。其受力图如图(c)所示.∑Fy=0

FN1’sin60°-Fp=0

∑Fx=0

F’N2

-F’N1cos60°=0F’N2=F’N1cos60°=23.09×0.5=11.55（kN）（2）校核BC杆的强度所以BC杆满足强度要求。（3）确定AB杆的直径：由式A≥FNmax/[σ],且AAB=πdAB/4,得

取dAB=23mm。02单元二材料力学学习情境三剪切与挤压

学习目标：掌握剪切与挤压的概念；掌握剪切与挤压强度的实用计算方法。学习情境三剪切与挤压导入

如图所示的螺栓连接，如何找出其剪切面和挤压面？一、剪切与挤压的概念截面发生相对错动的变形称为剪切变形。截面m—m-------剪切面。剪切变形的受力特点是：作用在杆件两侧的外力大小相等、方向相反且作用线相距很近。铆钉除受剪切作用外，其圆柱表面和钢板圆孔表面还存在相互压紧作用，这种局部受压的现象称为挤压变形二、剪切与挤压强度的实用计算（一）剪切强度实用计算1、剪力FQ---受剪面上的切向内力。用截面法求出：FQ=F2、剪切应力τ---单位面积上剪力的大小。剪切强度条件：式中

FQ——剪切面上的剪力，N；

A——剪切面的面积，mm2；[τ]——材料的许用剪应力。圆截面:A=d2/4平键:A=b.l（二）挤压强度实用计算式中σjy——挤压应力；Fjy——挤压面的挤压力，N；Ajy——挤压面面积，mm2。[σjy]——挤压许用应力圆截面:Ajy=dt平键:Ajy=l×h/2例题1

如图所示，齿轮用普通平键连接（图中只画出了轴和键）。已知轴的直径为d=70mm，键的尺寸为b×h×l=20mm×12mm×100mm，传递的力偶矩M=2kN·m，键的许用剪应力［τ]=60MPa，许用挤压应力[σjy]=100MPa。试校核键的强度。解：（1）求键所受到的剪力大小。∑MO（F）=0FQ×d/2-M

=0FQ=2M/d（2）校核键的剪切强度所以键的剪切强度足够。＜［τ]=60MPaFQ=F（3）校核键的挤压强度：挤压力为Fjy=2M/d，挤压面积为Ajy=hl/2，得≤[σjy]=100MPa所以键的挤压强度足够。02单元二材料力学学习情境四圆轴的扭转

学习目标：掌握圆轴扭转变形时扭矩图的绘制方法；掌握圆轴扭转变形时的强度和刚度计算方法。学习情境四圆轴的扭转导入

如图所示，实心轴和空心轴通过牙嵌离合器连接在一起。已知：轴的转速n=100r/min，传递功率P=10kW，许用剪应力［τ］=80MPa。如何确定实心轴的直径d及空心轴的内、外径d1与d2（其中d1/d2=0.6）？

牙嵌离合器一、圆轴扭转的概念

杆件扭转变形时其受力特点是：杆件两端受到一对大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的力偶作用。变形特点是：杆的各截面都绕轴线发生相对转动。二、圆轴扭转的内力（一）外力偶矩的计算P—功率kWn—转速r／min（二）圆轴扭转时截面上的内力——扭矩∑Mx（F）=0T-Me=0

T=Me扭矩的正、负号规定：按右手螺旋定则，若以四指表示扭矩的转向，则大拇指指向离开截面时的扭矩为正，大拇指指向截面时的扭矩为负。扭矩等于截面一侧所有外力偶矩的代数和，从左向右看，外力偶矩向上为正，向下为负。（三）扭矩图

表示杆件各横截面上扭矩变化规律的图形。该图一般以杆件轴线为横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩大小和指向。三、圆轴扭转时的变形与应力（一）圆轴扭转时的变形圆轴扭转时各横截面仍保持为平面，而且各横截面间的距离不变，只是各截面绕轴转过了一定的角度，各截面的半径线仍为直线。假设：圆轴扭转时，横截面上只有垂直于半径方向的切应力τ而无正应力σ。（二）圆轴扭转时的应力式中

T——截面扭矩，N·m；ρ——横截面上任一点到圆心的距离，m；

Iρ——横截面对圆心的极惯性矩，是只与截面形状与尺寸有关的几何量，单位为m4；τρ——横截面上半径为ρ处的切应力，MPa。令则式中

R——圆轴横截半径，mm；Wp——抗扭截面系数，也是只与截面形状与尺寸有关的几何量,单位为m3。对于实心圆轴：对于空心圆轴，令,则有四、圆轴扭转时的强度和刚度计算（一）强度条件式中

T——危险截面扭矩。（二）刚度条件式中

G——轴材料的切变模量，数值大小表示抵抗剪切变形的能力；

GIP——抗扭刚度，反映圆轴材料和截面尺寸两个方面因素抵抗扭转变形的能力；

θ——单位长度的扭转角，单位为度/米（0/m）。空心杆扭转应力大例题1

如图所示的阶梯轴，AB段直径d1=100mm，BC段直径d2=80mm。扭转力偶矩MA=16kN·m，MB=26kN·m，MC=10kN·m，。已知材料的许用切应力［τ］=85MPa，试校核该轴的强度。解：（1）求AB和BC段的扭矩图（2）强度校核AB段：

BC段：由计算结果得知BC段不满足强度条件。例题2

汽车传动轴由45钢无缝管制成，其外径D=90mm，内径d=85mm，许用切应力［τ］=60MPa，工作时扭矩Tmax=1.5×103N·m。①校核轴的强度；②若将轴改为实心轴，且强度相同，试确定轴的直径D’，并比较实心轴和空心轴的重量。解：（1）校核轴的强度抗扭截面系数最大切应力所以强度足够。（2）若将空心轴改为实心轴，且强度相同，则：采用实心轴,则当两轴材料、长度相等时，其重量之比等于横截面面积之比。

改为实心轴后，重量约为原来空心轴的3.2倍。可见，在其他条件相同的情况下，采用空心轴可以减轻重量，节约成本。02单元二材料力学学习情境五直梁的弯曲

学习目标：了解平面弯曲的概念；掌握剪力与弯矩的概念、正负号规定及计算方法；掌握剪力图与弯矩图的画法；掌握梁弯曲时截面上的应力和梁弯曲时的强度计算；了解提高弯曲强度的主要措施。学习情境五直梁的弯曲导入

现代房屋的横梁截面形状是矩形，为何采用的是图（a）所示结构，而不是图（b）所示结构？

（a）（b）一、平面弯曲的概念1、弯曲：杆件在通过轴线的纵向平面内，受到垂直于其轴线的外力或外力偶的作用，使杆件的轴线变成曲线，这种变形称为弯曲。2、梁：通常以弯曲为主要变形的构件称为梁。3、纵向对称面：通过梁的轴线和横截面的对称轴的平面。4、平面弯曲：若作用在梁上的外力都位于纵向对称面内,且力的作用线垂直于梁的轴线,则变形后的曲线为平面曲线,且仍位于纵向对称面内,这种弯曲称为平面弯曲。（二）梁的分类（a）简支梁（b）悬臂梁（c）外伸梁（一）梁的简化（a）受力分析（b）弯曲变形分析5、梁的受力特点是：在轴线平面内受到力偶矩或垂直于轴线方向的外力作用。二、剪力与弯矩（一）剪力与弯矩的概念剪力是指作用线位于所切截面的内力,用FQ表示；弯矩是指矢量位于所切截面的内力偶矩，用M表示。用截面法，根据静力平衡求内力：由平衡方程∑Fy=0

FQ=FA-F=0FQ=F-FA∑MO(F)=0M-FAx+F(x-a)=0M=FAx-F（x-a）（二）剪力与弯矩的正负号规定1.剪力的正负号规定剪力的正负号规定弯矩的正负号规定2.弯矩的正负号规定“外力左上右下，产生的剪力为正。”“外力矩左顺右逆，产生的弯矩为正。”（三）剪力图与弯矩图1、剪力方程和弯矩方程----取梁的一端为坐标原点，以梁的轴线为横坐标x，表示横截面在梁轴线上的位置；用截面法依据静力平衡条件求得剪力和弯矩随坐标x变化的函数。FQ=FQ(x)，M=M(x)

2、剪力图和弯矩图----用图线表示梁的各截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线变化的情况。可以确定梁的最大剪力和最大弯矩。3、根据内力方程画梁内力图的步骤为:①求支座约束反力(悬臂梁可以不求)；②分段(以集中力、集中力偶作用点及分布载荷的起、止点为分界点)；③逐段列出内力方程，由内力方程判断各段剪力图、弯矩图的形状；④求控制截面(分界点、极值点所在的截面)的剪力值、弯矩值，逐段作出剪力图和弯矩图。（四）剪力图和弯矩图的规律例题1

图（a）所示悬臂梁受集中力偶矩MC=9kN·m，集中力F=12kN作用。已知a=0.8m，b=0.4m。试画出梁的弯矩图。解：该悬臂梁的左端为固定端约束，用各截面右侧的外力来计算梁的内力，与左端的约束力无关，可以不用计算固定端的约束力。（1）分段：该梁应该分为AC、CB两段绘制弯曲图。（2）计算各截面的弯矩MA+=MC-F×（a+b）=9-12×（0.8+0.4）=-5.4（kN·m）MC-=MC-F×b=9-12×0.4=4.2（kN·m）MC+=-F×b=-12×0.4=-4.8（kN·m）MB-=0（3）画弯矩图三、梁弯曲时截面上的应力（一）纯弯曲时梁横截面上弯曲正应力的分布规律梁做平面弯曲时，其横截面仍保持为平面，只是产生相对的转动。假设：

梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截面上无正应力作用。（二）梁横截面上正应力的计算IZ---截面对z轴的惯性矩，单位为m4。WZ---抗弯截面系数，单位为m3。令，则四、梁弯曲时的强度计算弯曲强度条件：横截面上最大拉应力与最大压应力绝对值不相等，可由下列公式计算：例题2如图所示为T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力［σ］=30MPa，许用压应力［σ］=60MPa，其截面对中性轴z的惯性矩I2=763mm4，且y1=52cm，试校核该梁的强度。解：（1）求支座反力，画弯矩图。①T形截面铸铁外伸梁的受力图见图（a）所示。∑M(A)=0

FB×2-F1×1-F2×3=0∑Fy=0

FA

+FB-F1–F2=0得

FA=2.5kN，FB=10.5kN②弯矩图的绘制见图（b）所示，其中最大正弯矩在C点，最大负弯矩在B点，即C点为上压下拉，B点为上拉下压。①最大拉应力（上边缘）（2）求出截面B的最大应力②最大压应力（下边缘）（3）求出截面C的最大应力①最大拉应力（下边缘）②最大压应力（上边缘）最大拉应力在C点，且σCmax=28.83MPa＜［σ］+=30MPa最大压应力在B点，且σBmax=46.13MPa＜［σ］-=60MPa所以梁的强度足够。五、提高梁弯曲强度的主要措施（一）减小最大弯矩梁的最大弯矩Mmax不仅取决于载荷的大小，还取决于载荷在梁上的分布，所以合理安排加载方式和支座的布置，可明显减小梁的最大弯矩。（二）选用合理的截面形状由Mmax≤[σ]WZ可知，梁能承受的最大弯矩与抗弯截面系数成正比，WZ越大越有利，WZ的大小与截面形状有关，因此应选择WZ较大的截面。常用梁中，WZ由大到小排列为:工字钢＞槽形钢＞矩形＞圆形。（三）采用变截面梁（四）提高材料的力学性能构件选用何种材料，应综合考虑安全、经济等因素。02单元二材料力学学习情境六构件的组合变形

学习目标：掌握组合变形的概念及分析方法；掌握拉伸（压缩）弯曲组合变形的强度计算。学习情境六构件的组合变形导入

如图所示的传动轴受力简图，如果该传动轴由电动机带动，且已知电动机的功率、转速，齿轮的分度圆直径、压力角，材料的许用应力等，能否分析出该传动轴承受几种载荷作用？属于哪种变形？一、组合变形的概念及分析方法（一）组合变形的概念由两种或两种以上的基本变形组合的变形，称为组合变形。（二）组合变形的分析方法①将构件的组合变形分解为几种基本变形；②计算构件在每一种基本变形情况下的应力；③将同一点的应力叠加起来，即可得到构件在组合变形情况下的应力。二、拉伸(压缩)弯曲组合变形的强度计算

例题

简易吊车的结构如图（a）所示。当电动滑车行走到距梁端还有0.4m处时,吊车横梁处于最不利位置。已知电动滑车起吊重物F=20kN，横梁采用22a号工字钢，许用应力[σ]=160MPa。试对吊车横梁进行强度校核。解：（1）计算外力与内力。吊车横梁的受力图如图（b）所示。

∑MA（F）=0FBy×3.46

－

F×（3.46＋1.5）=0∑Fy=0FAy＋FBy－F=0∑Fx=0FAx＋FBx=0得

FAx=49.7KN，FAy=-8.7KNFBx=49.7kN，FBy=-28.7kN