重庆外国语学校（川外附中）2024届高三上学期1月月考数学含解析

重庆外国语学校（川外附中）2024届高三上学期1月月考数学试题一、选择题（每题5分，共50分）1.集合与函数已知集合A={x|x²5x+6<0}，则集合A的元素个数是（）。A.1B.2C.3D.42.数列与极限数列{an}满足a1=1，an+1=an+2，则lim(n→∞)an/2^n的值为（）。A.0B.1/2C.1D.23.三角函数已知sinα=1/2，且α在第二象限，则cos(α/2)的值为（）。A.√3/2B.1/2C.√3/2D.1/24.立体几何一个长方体的长、宽、高分别为2、3、4，则其对角线长度为（）。A.5B.6C.7D.85.概率与统计一批产品中有5%的次品，随机抽取10件，则其中恰有2件次品的概率为（）。A.0.1937B.0.3228C.0.4335D.0.54686.不等式与线性规划解不等式组：\[\begin{cases}x+y\leq5\\xy\geq1\end{cases}\]所得区域的面积是（）。A.3B.4C.5D.67.解析几何已知直线l：y=kx+b与圆C：x²+y²=4相切，则k和b的关系为（）。A.k²+b²=4B.k²+b²=8C.k²+b²=16D.k²+b²=328.复数已知复数z=3+4i，则z的共轭复数z的模长是（）。A.5B.3C.4D.29.数列求和数列{an}满足a1=1，an+1=an+2^n，则数列的前5项和为（）。A.31B.32C.33D.3410.导数与函数单调性函数f(x)=x³3x²+4，在区间[1,3]上的单调递增区间是（）。A.[1,2]B.[2,3]C.[1,3]D.[0,3]二、填空题（每题5分，共30分）11.函数定义域函数f(x)=√(x²4x+3)的定义域为______。12.向量运算已知向量a=(2,3)，b=(4,1)，则向量a与向量b的点积为______。13.数列通项公式数列{an}满足a1=2，an+1=an+3，则数列的通项公式为______。14.直线方程过点P(2,3)且垂直于直线l：x2y=1的直线方程为______。15.空间几何体体积一个圆锥的底面半径为3，高为4，则其体积为______。三、解答题（每题10分，共60分）16.函数性质与图像已知函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0），且f(1)=0，f(1)=4。（1）求a、b、c的值；（2）讨论函数f(x)的单调性。17.数列与不等式已知数列{an}满足an=2^n1，求证：对于任意正整数n，都有an+1>an。18.解析几何与直线方程已知直线l：y=mx+n与圆C：x²+y²=25相交于A、B两点，且OA⊥OB（O为原点）。（1）求m和n的值；（2）求线段AB的中点坐标。19.立体几何与向量已知四面体ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，且AB⊥CD。（1）求证：AC⊥BD；（2）求四面体ABCD的体积。20.概率与统计一个袋子里有5个红球和7个蓝球，随机取出3个球，求取出的球中至少有1个红球的概率。四、附加题（15分，选做）21.数学建模与应用已知某工厂生产的产品每件成本为10元，销售价格为20元。若每天生产x件产品，则总利润为y元，且每天最多能生产100件。（1）写出总利润y与生产数量x之间的关系式；（2）求该工厂每天生产的最佳数量，以使利润最大。1.选择题解析第1题：解不等式x²5x+6<0，得x∈(2,3)，因此集合A有2个元素，答案为B。第2题：由等比数列求和公式，得lim(n→∞)an/2^n=1，答案为C。第3题：由三角函数的倍角公式，得cos(α/2)=√3/2，答案为A。第4题：利用勾股定理，得对角线长度为√(2²+3²+4²)=5，答案为A。第5题：利用二项分布公式，计算得概率为0.1937，答案为A。第6题：根据线性规划的区域面积公式，得面积为3，答案为A。第7题：利用直线与圆相切的条件，得k²+b²=16，答案为C。第8题：计算z的模长为√(3²+(4)²)=5，答案为A。第9题：计算数列前5项和为31，答案为A。第10题：利用导数判定单调性，得函数在[1,3]上单调递增，答案为C。2.填空题解析第11题：解不等式x²4x+3≥0，得定义域为x∈(∞,1]∪[3,+∞)，答案为(∞,1]∪[3,+∞)。第12题：计算a·b=2×4+(3)×1=5，答案为5。第13题：数列通项公式为an=2n+1，答案为an=2n+1。第14题：直线方程为y3=(1/2)(x2)，即x+2y8=0，答案为x+2y8=0。第15题：圆锥体积为1/3×π×3²×4=12π，答案为12π。3.解答题解析第16题：根据条件列方程组，解得a=1，b=2，c=1；讨论单调性时，求导得f'(x)=3x²6x，判断符号变化。第17题：通过数学归纳法证明an+1>an，步骤为：基础步骤（n=1），归纳步骤（n→n+1）。第18题：利用直线与圆的交点坐标，解方程组得m和n的值；再利用中点公式计算中点坐标。第19题：通过向量证明AC⊥BD，计算四面体体积。第20题：计算至少取到1个红球的概率，即1取0个红球的概率。4.附加题解析第21题：建立利润函数y=(2010)x，讨论x的取值范围，求导后判断极值点，得最佳生产数量为50件。考试范围与重点：本次月考涵盖了集合、函数、数列、三角函数、不等式、解析几何、立体几何、概率与统计等内容，重点考察学生对基础知识的应用能力、逻辑推理能力以及综合解决问题的能力。一、选择题答案1.B2.D3.A4.C5.A6.D7.B二、填空题答案8.an=2n19.x=2y810.12三、解答题答案11.解：12.解：13.解：14.解：15.解：四、附加题答案16.解：17.解：18.解：19.解：20.解：1.集合与函数集合的基本概念与运算函数的定义域、值域、单调性、奇偶性2.数列与极限等差数列、等比数列的通项公式与求和公式数列的极限概念与计算3.三角函数三角函数的基本性质与图像三角恒等变换与应用4.立体几何空间几何体的表面积与体积计算空间线面关系与证明5.概率与统计古典概率与统计概率的计算统计数据的分析与应用6.不等式与线性规划不等式的解法与性质线性规划的基本概念与求解7.解析几何直线与圆的方程及其性质点、线、圆的位置关系8.概率与统计概率的基本概念与计算统计数据的分析与应用各题型知识点详解及示例1.选择题考察学生对基本概念的理解与判断能力。示例：第1题，考察集合的定义与运算。2.填空题考察学生对公式的记忆与简单计算能力。示例：第8题，需要掌握数列的通项公式。3.解答题考察学生对数学