湖南省岳阳市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学 含解析

湖南省岳阳市20232024学年高一上学期期末教学质量监测数学试题（Word版含解析）一、选择题（每题5分，共30分）1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$处取得极值，则$a,b,c$满足的条件是（）A.$a=0,b=0$B.$a\neq0,b=0$C.$a\neq0,b\neq0$D.$a=0,b\neq0$2.已知等差数列$\{a_n\}$的公差为2，首项为3，则该数列的前10项和为（）A.110B.120C.130D.1403.在直角坐标系中，若点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点为$B$，则点$B$的坐标为（）A.(3,2)B.(3,2)C.(2,3)D.(2,3)4.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}$在区间$(0,+\infty)$上单调递减，下列结论正确的是（）A.当$x>1$时，$f(x)>0$B.当$x<0$时，$f(x)<0$C.当$x>1$时，$f(x)<0$D.当$x<0$时，$f(x)>0$5.在等比数列$\{b_n\}$中，若$b_1=2$且$b_3=8$，则该数列的公比为（）A.2B.4C.8D.166.已知函数$f(x)=\sqrt{x^24x+3}$，则该函数的定义域为（）A.$x\leq1$或$x\geq3$B.$1\leqx\leq3$C.$x<1$或$x>3$D.$x\geq1$且$x\leq3$二、填空题（每题5分，共20分）7.若$\log_23=x$，则$\log_32$的值为__________。8.已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，首项为$a_1$，则该数列的第$n$项公式为__________。9.已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则该函数的值域为__________。10.已知直线$y=mx+b$与圆$x^2+y^2=1$相切，则$m^2+b^2$的值为__________。三、解答题（共50分）11.（10分）已知函数$f(x)=x^33x$，求该函数的极值。12.（10分）已知等差数列$\{a_n\}$的首项为2，公差为3，求该数列的前10项和。13.（10分）在直角坐标系中，已知点$A(1,2)$，$B(3,4)$，求线段$AB$的中点坐标。14.（10分）已知函数$f(x)=\frac{1}{x1}$，求该函数的定义域。15.（10分）已知等比数列$\{b_n\}$的首项为1，公比为2，求该数列的前5项。四、证明题（共20分）16.（10分）证明：对于任意实数$x$，都有$x^2+1\geq2x$。17.（10分）证明：若函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$处取得极值，则$a+b+c=0$。解析：1.选择题答案：B解析：由于函数在$x=1$处取得极值，根据导数的性质，极值点处导数为0。计算导数$f'(x)=2ax+b$，代入$x=1$得$2a+b=0$，因此$b=2a$。由于$a$和$b$不能同时为0，所以选B。2.选择题答案：B解析：等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$。已知$a_1=3$，$d=2$，$a_n=a_1+(n1)d=3+2(n1)$。代入公式得$S_{10}=\frac{10}{2}(3+3+2\times9)=120$。3.选择题答案：A解析：点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点$B(x',y')$满足$x'+y'=0$且$y'=x'$。代入$A$的坐标得$x'3=0$，$y'+2=0$，解得$B(3,2)$。4.选择题答案：A解析：函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x>0$时单调递减，且$f(x)>0$。当$x>1$时，$f(x)$的值依然大于0。5.选择题答案：A解析：由等比数列的性质，$b_3=b_1\timesr^2$，代入$b_1=2$，$b_3=8$得$2\timesr^2=8$，解得$r=2$。6.选择题答案：A解析：函数$f(x)=\sqrt{x^24x+3}$的定义域是使得根号内非负的$x$的集合。解不等式$x^24x+3\geq0$得$x\leq1$或$x\geq3$。7.填空题答案：$\frac{1}{x}$解析：由换底公式$\log_ba=\frac{\log_ca}{\log_cb}$，代入$b=2$，$c=10$得$\log_32=\frac{\log_{10}2}{\log_{10}3}=\frac{1}{x}$。8.填空题答案：$a_n=a_1+(n1)d$解析：等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n1)d$。9.填空题答案：$(0,1]$解析：函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的值域是$(0,1]$，因为分母$x^2+1$永远大于0且最小值为1。10.填空题答案：1解析：直线$y=mx+b$与圆$x^2+y^2=1$相切时，直线到圆心的距离等于圆的半径。设直线方程为$y=mx+b$，则距离公式为$\frac{|b|}{\sqrt{m^2+1}}=1$，解得$m^2+b^2=1$。11.解答题答案：解析：计算导数$f'(x)=3x^23$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=1$。计算二阶导数$f''(x)=6x$，代入$x=1$和$x=1$得$f''(1)=6>0$（极小值），$f''(1)=6<0$（极大值）。因此，$x=1$时取得极小值，$x=1$时取得极大值。12.解答题答案：120解析：使用等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$a_1=2$，$d=3$，$n=10$得$S_{10}=\frac{10}{2}(2+2+3\times9)=120$。13.解答题答案：$(2,3)$解析：线段$AB$的中点坐标为$\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$。代入$A(1,2)$，$B(3,4)$得中点坐标为$(2,3)$。14.解答题答案：$x\neq1$解析：函数$f(x)=\frac{1}{x1}$的定义域是使得分母不为0的$x$的集合，即$x\neq1$。15.解答题答案：1,2,4,8,16解析：等比数列的通项公式为$b_n=b_1\timesr^{n1}$。代入$b_1=1$，$r=2$得$b_2=2$，$b_3=4$，$b_4=8$，$b_5=16$。16.证明题答案：证明：由不等式$x^22x+1\geq0$（完全平方公式），得$(x1)^2\geq0$。因此$x^22x+1\geq0$，即$x^2+1\geq2x$。17.证明题答案：证明：由题设，$f'(1)=0$。计算$f'(x)=2ax+b$，代入$x=1$得$2a+b=0$。因此$a+b+c=a+(2a+b)+c=0$。一、选择题答案1.B2.C3.B4.A5.A6.C7.D8.A9.B10.D二、填空题答案11.512.12013.(2,3)14.x≠115.1,2,4,8,16三、解答题答案16.答案见解析17.答案见解析四、证明题答案18.答案见解析19.答案见解析1.函数与极限选择题：考察了函数的单调性、极值、定义域等概念。填空题：涉及函数的图像及性质。解答题：通过求解函数的极值、最值问题，考察了导数的应用。2.数列选择题：等差数列的通项公式和求和公式。填空题：等比数列的通项公式。解答题：数列的性质及求和问题。3.平面解析几何选择题：涉及直线与圆的位置关系。填空题：点的对称性。解答题：解析几何中的坐标变换与距离计算。4.不等式选择题：不等式的性质。填空题：解不等式的基本技巧。证明题：不等式的证明。5.三角函数选择题：三角函数的基本性质。填空题：三角函数的图像与性质。解答题：三角恒等变换及化简。各题型考察知识点详解及示例1.选择题知识点：函数的单调性、极值、定义域；数列的通项公式与求和公式；平面解析几何的基本概念；不等式的性质；三角函数的基本性质。示例：选择题1考察了函数在特定点的极值性质，需要理