第七章应力状态分析

第七章应力状态与强度理论§7-1应力状态的概念§7-2平面应力状态分析——解析法§7-3平面应力状态分析——图解法（应力圆）§7-4空间应力的应力状态分析——

一点的最大应力§7-5广义胡克定律§7-6强度理论概念第七章应力状态分析强度理论1、问题的提出§7-1应力状态的概念轴向拉伸杆件斜截面应力：横截面应力：问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；梁弯曲的强度条件：z问题2

B点处应力该如何校核？

——有必要研究一点的应力状态。过一点不同方位截面上应力情况，称为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。应力哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？指明2、点的应力状态的概念研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。3、一点的应力状态的描述

研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体——单元体进行分析各边边长,,dxdydz在单元体各面上标上应力——

应力单元体

（1）、主平面与主应力：主平面：切应力为零的平面。主应力：作用于主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值由大到小。过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力301050单位：MPa30104、应力状态的分类a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力都等于零的应力状态。b、二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力等于零的应力状态。c、三向应力状态：三个主应力都不等于零的应力状态。

（2)、应力状态的分类平面应力状态：二向应力状态复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。空间应力状态：三向应力状态简单应力状态：单向应力状态。纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。空间应力状态yxz平面应力状态xyxyxy单向应力状态纯剪应力状态

取单元体示例FPlaS截面xzy4321S截面yxzMzFQyMx4321143忽略弯曲切应力一、斜截面上的应力计算§7－2

平面应力的应力状态分析—解析法等价空间问题简化为平面问题--逆时针转为正。设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：单元体各面面积由切应力互等定理和三角变换，可得：符号规定：1)“

”正负号同“

”；

2)

“ta”正负号同“t”

；

3)

“a”为斜面的外法线与x轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。主平面的方位——主应力的大小讨论：1)、2)、

的极值主应力以及主平面方位

可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。3)、切应力ta的极值及所在截面——最大切应力所在的位置——xy

面内的最大切应力由——主平面的位置——最大切应力所在的位置将与画在原单元体上。例：如图所示单元体，求a斜面的应力及主应力、主平面。（单位：MPa）300405060解：1、求斜面的应力2、求主应力、主平面主应力：主平面位置：分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体

求极值应力txyCtyxMCxyOtxytyx

破坏分析低碳钢铸铁这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆

§7-3

平面应力的应力状态分析—图解法对上述方程消参数（2

），得：一、应力圆：圆心：半径：RC应力圆：二.应力圆的画法A(sx,txy)D(sy,tyx)cRADxy点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面上的正应力和切应力三、几个对应关系A(sx,txy)D(sy,tyx)cxyHnH转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致；二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。sxsxADtsodacx'yy'45ºx2×45º2×45ºbeBEttotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45º2×45ºs1＝ts3＝tBEs3＝ts1＝tBE主应力单元体D’例：求1）图示单元体α=300斜截面上的应力

2）主应力、主平面（单位：MPa）。60EFτσO2、量出所求的物理量解：1、按比例画此单元体对应的应力圆sto与σ3平行的斜截面上的应力可在σ1、σ2应力圆的圆周上找到对应的点。与σ2平行的斜截面上的应力可在σ1、σ3应力圆的圆周上找到对应的点。与σ1平行的斜截面上的应力可在σ2、σ3应力圆的圆周上找到对应的点。

§7-4

空间应力的应力状态分析—一点的最大应力1).弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b2).整个单元体内的最大切应力为：tmax结论——3)：整个单元体内的最大切应力所在的平面：例：求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）解：xyz305040CBA解析法——1)由单元体知：x面为主平面之一,2)求y—z面内的最大、最小正应力。xyz305040CBA（MPa

）3)主应力4)最大切应力梁的主应力及其主应力迹线12345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q>0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O拉力压力主应力迹线（StressTrajectories)：

主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。

1

3

1

3qxy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd

1

3

3

1二、三向应力状态：——（广义虎克定律）++一、单向应力状态：

§7-5

广义胡克定律三、、广义胡克定律的一般形式:主应力与主应变方向是否一致?广义胡克定律的应用——求平面应力状态下任意方向的正应变：

aa+90求出,就可求得方向的正应变

例

已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：

1=24010-6，

2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为

=0.3，

试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处的平面应力状态例

槽形刚体内放置一边长为a=10cm正方形钢块，试求钢块的三个主应力。F=8kN，E=200GPa,μ=0.3。

解：1)研究对象：2)由广义虎克定律：正方形钢块展开上式，并略去高阶微量：四、体积应变体积应变与应力分量间的关系:--平均应力。体积应变—单位体积的体积改变体积虎克定律:形状改变比能:单元体的比能

(单位体积储存的变形能)：利用广义虎克定律:

2

3

1图a

m

m

m图b

2

3

1-

m-

m-

m图c图b体积改变，形状不变；图c形状改变，体积不变。单元体的比能：—称为体积改变比能图c图b图

a图C单元体的体积应变：单元体的比能＝体积改变比能(b)＋形状态改变比能(c)—称为形状改变比能所以图C单元体体积不变图a

单元体的体积应变：——称为形状改变比能或畸形能b图的体积应变比能：图c图b图

a一、引子：§7–6

强度理论的概念1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸

P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP

人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论（为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法）

。二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failurebylost

strength）起因”的假说。一种材料的失效(破坏)是由于某种原因(四种原因)达到了同样材料在单向拉伸时同样因素的极限值。

(1)

脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。

(2)

塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。本章介绍常用的四个经典强度理论构件在静载荷作用下的两种失效形式：四个强度理论及其相当应力一、最大拉应力（第一强度）理论：

认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。二、最大伸长线应变（第二强度）理论：认为构件的断裂是由最大拉应变引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。三、最大剪应力（第三强度）理论：

认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。1、破坏判据：3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。

2、强度准则：四、形状改变比能（第四强度）理论：

认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。1、破坏判据：2、强度准则3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。

强度理论的应用一、强度计算的步骤：1、外力分析：确定所需的外力值。2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力。4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算。二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。1、若是屈服破坏，选第三或第四强度理论；若是脆性破坏，选第一或第二强度理论。2、一般情况下，大多数脆性材料选第一或第二强度理论；塑性材料选第三或第四强度理论。若构件