高三数学复习第一篇专题突破专题三三角函数及解三角形第1讲三角函数的图象与性质理

第1讲三角函数图象与性质1/33考情分析年份卷别题号考查内容命题规律Ⅰ9三角函数诱导公式及图

象变换高考对三角函数图象考查有:利用“五点法”作出图象、图象变换、由三角函数部分图象确定三角函数解析式.三角函数性质是高考一个主要考点,现有直接考查客观题,也有综合考查主观题,常经过三角变换将其转化为y=Asin(ωx+φ)形式,再研究其性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性).Ⅱ14三角函数最值Ⅲ6余弦函数图象和性质Ⅱ7三角函数图象变换与性

质Ⅲ14三角函数图象变换Ⅰ8三角函数图象与性质2/33总纲目录考点一

三角函数定义、诱导公式及基本关系考点二三角函数图象（高频考点）考点三三角函数性质（高频考点）3/33考点一

三角函数定义、诱导公式及基本关系1.三角函数:设α是一个任意角,它终边与单位圆交于点P(x,y),则

sinα=y,cosα=x,tanα=

.各象限角三角函数值符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.2.同角关系:sin2α+cos2α=1,

=tanα.3.诱导公式:在

+α,k∈Z诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.4/33经典例题(1)(北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为

始边,它们终边关于y轴对称.若sinα=

,则cos(α-β)=

.(2)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α值是

.答案(1)-

(2)-1解析(1)解法一:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z).∵sinα=

,∴sinβ=sin[(2k+1)π-α]=sinα=

(k∈Z).当cosα=

=

时,cosβ=-

,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=

×

+

×

=-

.当cosα=-

=-

时,cosβ=

,5/33∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=

×

+

×

=-

.综上,cos(α-β)=-

.解法二:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z),∴sinβ=sin[(2k+1)π-α]=sinα,cosβ=cos[(2k+1)π-α]=-cosα,k∈Z.当sinα=

时,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=-(1-sin2α)+sin2α=2sin2α-1=2×

-1=-

.(2)由sinα+2cosα=0,得tanα=-2.所以2sinαcosα-cos2α=

=

=

=-1.6/33方法归纳应用三角函数概念和诱导公式应注意以下两点(1)当角终边所在位置不是唯一确定时候要注意分情况处理,机

械地使用三角函数定义就会出现错误.(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时,一定要注意三角函数符号;利用同角三角函数关系化简明遵照一定标准,如切化弦、化异为

同、化高为低、化繁为简等.7/33跟踪集训1.已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos

+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sinα值是

()A.

B.

C.

D.

答案

C由已知可得-2tanα+3sinβ+5=0,tanα-6sinβ=1,解得tanα=3,即

=3,又sin2α+cos2α=1,α为锐角,故sinα=

.8/332.已知点P

落在角θ终边上,且θ∈[0,2π),则θ值为

(

)A.

B.

C.

D.

答案

D

tanθ=

=

=-1,又sin

>0,cos

<0,所以θ为第四象限角,因为θ∈[0,2π),所以θ=

.9/33考点二

三角函数图象(高频考点)命题点1.由三角函数图象特征求三角函数解析式.2.三角函数图象变换.3.用“五点法”作三角函数图象.函数y=Asin(ωx+φ)图象(1)“五点法”作图:设z=ωx+φ,分别令z=0,

,π,

,2π,求出对应x值与对应y值,描点、连线可得其图象.10/33(2)图象变换:y=sinx

y=sin(x+φ)

y=sin(ωx+φ)

y=Asin(ωx+φ).3.用“五点法”作三角函数图象.函数y=Asin(ωx+φ)图象(1)“五点法”作图:设z=ωx+φ,分别令z=0,

,π,

,2π,求出对应x值与对应y值,描点、连线可得其图象.11/33(2)图象变换:y=sinx

y=sin(x+φ)

y=sin(ωx+φ)

y=Asin(ωx+φ).12/33经典例题(1)(天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f

=2,f

=0,且f(x)最小正周期大于2π,则

()A.ω=

,φ=

B.ω=

,φ=-

C.ω=

,φ=-

D.ω=

,φ=

(2)(课标全国Ⅰ,9,5分)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin

,则下面结论正确是

()A.把C1上各点横坐标伸长到原来2倍,纵坐标不变,再把得到曲线

向右平移

个单位长度,得到曲线C213/33B.把C1上各点横坐标伸长到原来2倍,纵坐标不变,再把得到曲线

向左平移

个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点横坐标缩短到原来

,纵坐标不变,再把得到曲线向右平移

个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点横坐标缩短到原来

,纵坐标不变,再把得到曲线向左平移

个单位长度,得到曲线C214/33解析(1)∵f

=2,f

=0,f(x)最小正周期大于2π,∴

=

-

=

,得T=3π,则ω=

=

,又f

=2sin

=2,∴sin

=1.∴

+φ=2kπ+

,k∈Z,∴φ=2kπ+

,k∈Z.∵|φ|<π,∴φ=

,故选A.(2)y=sin

=cos

=cos

=cos

,由y=cosx图象得到y=cos2x图象,需将曲线C1上各点横坐标缩短到原来

,纵坐标不变;由y=cos2x图象得到y=cos

图象,需将y=cos2x图象上各点向左平移

个单位长度,故选D.答案(1)A(2)D15/33方法归纳1.函数表示式y=Asin(ωx+φ)确实定方法已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象求解析式时,常采取待定系数

法,由图中最高点、最低点或特殊点求A;由函数周期确定ω;确定φ

常依据“五点法”中五个点求解,其中普通把第一个零点作为突破

口,能够从图象升降找准第一个零点位置.16/332.三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求:首先要看题目要求由哪个函数得到哪个函数,这是判断

移动方向关键点.(2)看移动方向:移动方向普通记为“正向左,负向右”,看y=Asin(ωx+

φ)中φ正负和它平移要求.(3)看移动单位:在函数y=Asin(ωx+φ)中,周期变换和相位变换都是沿x轴

方向,所以ω和φ之间有一定关系,φ是初相,再经过ω压缩,最终移

动单位是

.17/33跟踪集训1.(云南11校跨区调研)函数f(x)=sinωx(ω>0)图象向左平移

个单位长度,所得到图象经过点

,则ω最小值是

()A.

B.2

C.1

D.

答案

C依题意得,函数f

=sin

(ω>0)图象过点

,于是有f

=sin

=sin(ωπ)=0(ω>0),则ωπ=kπ,k∈Z,所以正数ω最小值是1,故选C.18/332.(贵阳检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其导数f'

(x)图象如图所表示,则f

值为

()

A.2

B.

C.-

D.-

19/33答案

D依题意得f'(x)=Aωcos(ωx+φ),结合函数y=f'(x)图象可知,T=

=4

=π,ω=2.又Aω=1,所以A=

.因为0<φ<π,

<

+φ<

,且f'

=cos

=-1,所以

+φ=π,φ=

,则f(x)=

sin

,所以f

=

sin

=-

×

=-

,故选D.20/33考点三

三角函数性质(高频考点)命题点1.研究三角函数单调性、奇偶性、周期性.2.求三角函数单调区间及最值.3.利用三角函数图象和性质研究方程根及参数范围(值).1.三角函数单调区间y=sinx单调递增区间是

(k∈Z),单调递减区间是

(k∈Z);y=cosx单调递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);y=tanx单调递增区间是

(k∈Z).21/332.三角函数奇偶性与对称轴方程y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ+

(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ+

(k∈Z)求得.y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+

(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.22/33经典例题(1)(课标全国Ⅲ,6,5分)设函数f(x)=cos

,则以下结论错误是

()A.f(x)一个周期为-2πB.y=f(x)图象关于直线x=

对称C.f(x+π)一个零点为x=

D.f(x)在

单调递减(2)(贵州适应性考试)函数f(x)=

cos2

-

sinx-

(x∈[0,π])单调递增区间为

()23/33A.

B.

C.

D.

(3)(太原模拟试题)已知函数f(x)=sinωx-

cosωx(ω>0)在(0,π)上有且只有两个零点,则实数ω取值范围为

()A.

B.

C.

D.

24/33解析(1)f(x)最小正周期为2π,易知A正确;f

=cos

=cos3π=-1,为f(x)最小值,故B正确;∵f(x+π)=cos

=-cos

,∴f

=-cos

=-cos

=0,故C正确;因为f

=cos

=cosπ=-1,为f(x)最小值,故f(x)在

上不单调,故D错误.(2)f(x)=

cos2

-

sinx-

=

-

sinx=

cosx-

sinx=cos

,由2kπ-π≤x+

≤2kπ(k∈Z),得2kπ-

≤x≤2kπ-

(k∈Z),又x∈[0,π],所以当k=1时,f(x)单调递增区间为

,故选C.答案(1)D(2)C(3)B25/33(3)易得f(x)=2sin

,设t=ωx-

,因为0<x<π,所以-

<t<ωπ-

,因为函数f(x)在(0,π)上有且仅有两个零点,所以π<ωπ-

≤2π,解得

<ω≤

,故选B.方法归纳三角函数单调性及周期性求法(1)三角函数单调性求法:求形如y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A、ω、φ为常数,A≠0,ω>0)单

调性普通思绪是令ωx+φ=z,则y=Asinz(或y=Acosz),然后由复合函数

单调性求解.(2)三角函数周期性求法:函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))最小正周期T=

.应尤其注意y=|Asin(ωx+φ)|周期T=

.26/33跟踪集训1.(课标全国Ⅱ,11,5分)函数f(x)=cos2x+6cos

最大值为

()A.4

B.5

C.6

D.7答案

B

f(x)=cos2x+6cos

=cos2x+6sinx=1-2sin2x+6sinx=-2

+

,又sinx∈[-1,1],∴当sinx=1时,f(x)取得最大值5.27/332.(石家庄教学质量检测(二))已知函数f(x)=sin

,f'(x)是f(x)导函数,则函数y=2f(x)+f'(x)一个单调递减区间是

()A.

B.

C.

D.

答案

A由题意,得f'(x)=2cos

,所以y=2f(x)+f'(x)=2sin

+2cos

=2

sin

=2

sin

.由2kπ+

≤2x+

≤2kπ+

(k∈Z),得kπ+

≤x≤kπ+

(k∈Z),所以函数y=2f(x)+f'(x)一个单调递减区间为

,故选A.28/333.(合肥第二次教学质量检测)已知函数f(x)=sinωx-cosωx(ω>0)

最小正周期为π.(1)求函数y=f(x)图象对称轴方程;(2)讨论函数f(x)在

上单调性.解析(1)∵f(x)=sinωx-cosωx=

sin

,且T=π,∴ω=2,于是f(x)=

sin

.令2x-

=kπ+

(k∈Z),得x=

+

(k∈Z),即函数f(x)图象对称轴方程为x=

+

(k∈Z).(2)令2kπ-

≤2x-

≤2kπ+

(k∈Z),得函数f(x)单调递增区间为

(k∈Z).注意到x∈

,所以令k=0,得函数f(x)在

上单调递增区间为

;同理,其单调递减区间为

.29/331.若sin

=-

,且α∈

,则sin(π-2α)=

()A.

B.

C.-

D.-

随堂检测答案

D由sin

=cosα=-

,且α∈

,得sinα=

,所以sin(π-2α)=sin2α=2sinαcosα=-

,故选D.30/332.(福建普通高中质量检测)若将函数y=3cos

图象向右平移

个单位长度,则平移后图象一个对称中心是

()A.

B.

C.

D.