专题06 线段与角的等量代换模型（解析版）

专题06线段与角的等量代换模型等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。模型1.

线段与角度的等量代换模型【模型解读】“等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。1）线段的等量代换条件：如图，已知：EG=HF；结论：EH=GF.2）角度的等量代换（图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）条件1：如图，已知∠AOB=∠DOC；结论：∠1=∠2.条件2：如图，已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质：①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等；例1．（2023·河北石家庄·七年级校考期中）如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（

）A．AC＜BD B．AC＝BD C．AC＞BD D．不能确定【答案】B【分析】由题意可知AB=CD，根据等式的基本性质，两边都减去BC，等式仍然成立．【详解】根据题意和图示可知AB=CD，而BC为AB和CD共有线段，故AC=BD，故选：B．【点睛】注意根据等式的性质进行变形，读懂题意是解题的关键．例2．（2023·山东聊城·七年级统考期中）如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，现给出下列等式：①CD=AC-DB，②CD=AB，③CD=AD-BC，④BD=2AD-AB．其中正确的等式编号是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据线段中点的性质，可得CD=BD=BC=AB，再根据线段的和差，可得答案．【详解】∵点C是AB的中点，∴AC=CB．∴CD=CB-BD=AC-DB，故①正确；∵点D是BC中点，点C是AB中点，∴CD=CB，BC=AB，∴CD=AB，故②正确；∵点C是AB的中点，AC=CB．∴CD=AD-AC=AD-BC，故③正确；∵AD=AC+CD，AB=2AC，BD=CD，∴2AD-AB=2AC+2CD-AB=2CD=2BD，故④错误．故正确的有①②③．故选B.【点睛】此题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．例3．（2023.湖南省娄底市七年级期末）如图，点，分别是线段上两点（，），用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则为（

）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【答案】C【分析】根据题意可得，，再由即可得到答案．【详解】解：，，点E与点F恰好重合，∴，，∴，，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，解题的关键在于能够根据题意得到，．例4．（2023·湖北随州·七年级统考期末）如图，D、E顺次为线段AB上的两点，AB＝19，BE－DE＝5，C是AD的中点，则AE－AC的值为．【答案】7【分析】由AB=19，得到BE=19−AE，由BE−DE=5，得到DE=14−AE，再根据线段的和差及中点的定义即可得到结论．【详解】解：∵AB=19，设AE=m，∴BE=AB−AE=19−m，∵BE−DE=5，∴19−m−DE=5，∴DE=14−m，∴AD=AB−BE−DE=19−(19−m)−(14−m)=19−19+m−14+m=2m−14，∵C为AD中点，∴AC=AD=×(2m−14)=m−7，∴AE−AC=m-(m-7)=7，故答案为：7．【点睛】此题考查了线段的和差问题，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差关系是解本题的关键．例5．（2023秋·重庆七年级课时练习）如图所示，点A、O、E在一条直线上，，那么下列各式中错误的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据角的和与差进行比较，，即；利用，选项D正确，再减去共同角，可得，由此得到正确选项．【详解】∵∴即，所以A正确；∵∴，所以D正确；∴即，所以B正确．故选C．【点睛】考查角的和与差的知识点，学生要掌握等量代换的方法找到相等的角，熟悉了解角的和与差是解题的关键．例6．（2023春·天津南开·七年校考期中）如图所示，，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的度数，然后根据，即可得出答案．【详解】解：，，，故选：D．【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，求出的度数．例7．（2023浙江省绍兴市七年级期末）如图，若，则的理由是（）A．同角的余角相等B．同角的补角相等C．对顶角相等D．角平分线的定义【答案】A【分析】根据同角的余角相等，即可求解．【详解】解：∵∴∴(同角的余角相等)，故选：A．【点睛】本题考查了余角的性质，角平分线的定义、对顶角相等，掌握同角的余角相等是解题的关键．例8．（2023春·浙江·七年级专题练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程：①因为（已知）；②因为，（已知）；③所以，（等式的性质）；④所以（等量代换）；⑤所以（等量代换）．正确的顺序是(

)A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④【答案】C【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可．【详解】证明：因为，（已知），所以，（等式的性质）；因为（已知），所以（等量代换）．所以（等量代换）．∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④．故选C．【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键．例9．（2023·云南昆明·七年级校考期末）如图，和都是直角．下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线和的平分线是同一条射线．其中正确的是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】根据角的计算和角平分线性质，对四个结论逐一进行计算即可．【详解】解：①∵，∴，，∴；故①正确．②∵，故②正确；③∵，平分，∴，则，∴平分；故③正确．④∵，（已证）；∴的平分线与的平分线是同一条射线．故④正确．故选：A．【点睛】此题主要考查学生对角的计算，角平分线的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．例10．（2023.广东省佛山市七年级期末）已知：（1）如图1，吗？请说明理由．（2）如图2，直线平分，直线平分吗？请说明理由．（3）若，，求的大小．【答案】（1），见解析；（2）直线平分，见解析；（3）150°或110°【分析】（1）根据角的和差关系可得结论；（2）根据角平分线的定义求解即可；（3）分在内部和外部两种情况进行求解即可．【详解】解：（1）．理由如下：即（2）直线平分．理由如下：，又直线平分即直线平分．（3），，①当在内部时，如图所示：②当在外部时，如图所示：综上所述，的度数为150°或110°．【点睛】本题考查了解度的计算，角平分线的定义，正确识别图形是解题的关键．例11．（2023.山东七年级期末）如图，已知，平分，平分．(1)求的度数；(2)如果，那么是多少度？(3)如果，那么是多少度？是多少度？用含的式子表示)

【答案】(1)(2)(3)；【分析】（1）根据角平分线的定义结合图形，可得，进而即可求解；（2）根据题意可得，进而根据角平分线的定义即可求解；（3）同（2）的方法，即可求解．【详解】（1）解：，平分，平分，；（2），，平分，；（3），，平分，，．【点睛】本题考查了几何图形的角度计算，角平分线的定义，数形结合，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．例12．（2023浙江七年级期末）如图，．(1)已知过直线上点有，条射线，，求的度数；(2)若直线与直线相交于点，求图中各锐角的度数．【答案】(1)(2)图中各锐角的度数为【分析】（1）根据得出，根据图形可得，，，即可求解；（2）根据，得出，进而即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，．∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴．∴图中各锐角的度数为．【点睛】本题考查了垂线、对顶角、邻补角，解决本题的关键是掌握垂线、对顶角、邻补角定义．课后专项训练1．（2023·山西大同·七年级统考期末）如图，线段AB上有C，D两点，其中D是BC的中点，则下列结论一定正确的是（

）A．AB－AC＝BDB．CD＋BD＝ACC．CD＝ABD．AD－AC＝DB【答案】D【分析】根据线段的中线性质求解即可；【详解】∵D是BC的中点，∴，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了线段中线的性质应用，准确分析是解题的关键．2．（2023·福建漳州·统考三模）点C、D在线段AB上，若点C是线段AD的中点，2BD>AD，则下列结论正确的是(

).A．CD<AD－BDB．AB>2BD C．BD>AD D．BC>AD【答案】D【分析】根据点C是线段AD的中点，可得AD=2AC=2CD，再根据2BD>AD，可得BD>AC=CD，再根据线段的和差，逐一进行判即可．【详解】∵点C是线段AD的中点，∴AD=2AC=2CD，∵2BD>AD，∴BD>AC=CD，A.CD=AD-AC>AD－BD，该选项错误；B.由A得AD－BDCD，则ADBD+CD=BC,则AB=AD+BDBC+BD2BD，该选项错误；C.由B得AB2BD，则BD+AD2BD,则ADBD,该选项错误；D.由A得AD－BDCD，则ADBD+CD=BC,该选项正确故选D．【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．3．（2023.河南鹤壁七年级期末）如图所示，B、C是线段AB上任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若，，则线段AD的长是（

）A．15 B．17 C．19 D．20【答案】D【分析】由M是AB的中点，N是CD的中点，可得先求解从而可得答案.【详解】解：M是AB的中点，N是CD的中点，故选D【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，熟练的利用线段的和差关系建立简单方程是解本题的关键.4．（2023秋·湖南常德·七年级校联考期末）已知，点C在直线AB上，ACa，BCb，且a≠b，点M是线段AB的中点，则线段MC的长为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．【详解】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AM﹣AC==．④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC+AM==．综上所述：MC的长为或（a＞b）或（a＜b），即MC的长为或．故选D．【点睛】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．5．（2023.湖南省娄底市七年级期末）如图所示，已知，，则∠AOD的度数为(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根据∠AOC和∠BOC的度数得出∠AOB的度数，从而得出答案．【详解】解：∵∠AOC=80°，∠BOC=30°，∴∠AOB=80°－30°=50°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=50°+80°=130°，故选A【点睛】本题主要考查的是角度的和差计算，属于基础题型，理解各角之间的关系是解题的关键．个角互为补角．6．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）如图所示，已知∠AOB=162°，∠AOC=∠BOD=90°，则∠COD的度数是（）A．72° B．36° C．18° D．9°【答案】C【详解】∵∠AOB=162°，∠AOC=90°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=72°，∴∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-72°=18°，故选C.7．（2023春·浙江衢州·九年级校考阶段练习）如图，点在直线上，，若，则的大小（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据可求出的度数，根据点在直线上，即，即可求解．【详解】解：，若，∴，∵点在直线上，即，∴，故选：．【点睛】本题主要考查余角、补角的计算，掌握垂直的性质，平面的度数及计算方法是解题的关键．8．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）如图，、为内的两条射线，平分，，若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据，，求出，再根据角平分线的定义求出即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∵平分，∴，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，根据题意求出．9．（2023春·云南昭通·七年级校考期末）将一副三角板分别按图中位置摆放，下列说法正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角的余角相等解题即可．【详解】如图，∵，∴，故选A．

【点睛】本题考查余角的性质，掌握同角或等角的余角相等是解题的关键．10．（2023秋·福建厦门·七年级校考期末）下列推理正确的是（

）A． B．C．， D．与互余，与互余与互余【答案】C【分析】根据题意逐项推理判断即可．【详解】解：A、当，，时，，但，，故A选项错误；B、当，，时，，但，，故B选项错误；C、∵，又∵，由等式的基本性质可知，，∴，故C选项正确；D、与互余，与互余∴，，∴，故D选项错误；故选：C．【点睛】本题考查同角的余角相等，及等式的基本性质，熟练的运用等式的基本性质将等式变形是解决问题的关键．11．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期中）如图，，，下列说法中错误的是（

）A．与相等B．与互余C．与互余D．与互余【答案】D【分析】根据三角形内角和定理和余角的定义逐一判断即可．【详解】解：∵，，∴，∴与相等，与互余，与互余，与相等，∴只有D选项说法错误，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，余角的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．12．（2023·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值.【详解】解：∵，分别为的中点，∴，∵分别为的中点，∴，根据规律得到，∴，故选A.【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.13．（2023春·四川成都·七年级校考期中）已知的两边互相垂直，且，则的度数为．【答案】70°或【分析】若的两边互相垂直，则，据此即可求解．【详解】解：如图所示：若的两边互相垂直，则∵时，；时，；故答案为：70°或．【点睛】本题考查了垂直的定义．分类讨论画出满足题意的图形是解题关键．14．（2023秋·山东青岛·七年级校考期末）如图（射线在内部），与都是直角，则下列说法正确的是．（填序号）①若，则;②图中共有5个角;③;

④与的和不变;⑤时，平分．【答案】①③④⑤【分析】①先根据余角的定义求出，再根据角的和差关系即可判定；②根据角的定义数出图中的角即可判定；③根据同角的余角相等即可求解；④根据角的和差关系即可判定；⑤先根据余角的定义求出°即可判定．【详解】解：∵与都是直角，∴若，则，则，故①正确；图中，，，，，共6个角，故②错误；∵，∴，故③正确；∵，∴与的和不变，故④正确；∵，∴，∵，∴，即平分，故⑤正确．说法正确的是①③④⑤．故答案为：①③④⑤．【点睛】本题考查了余角性质，以及角的计算，属基础题，准确识图是解题的关键．15．（2023春·上海长宁·七年级校联考期末）如图，，比大，与互余，则．

【答案】【分析】设，表示出，根据与互余，，得出关于的等式，求解即可．【详解】解：设，比大，，与互余，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了互余的定义，一元一次方程，解题的关键是利用互余建立一元一次方程求解．16．（2023春·浙江七年级期中）如图所示，与都是直角，那么，这个结论可以概括为．【答案】同角的余角相等【分析】根据互余的知识点计算即可；【详解】∵与都是直角，∴，∴，理由：同角的余角相等．故答案是：同角的余角相等．【点睛】本题主要考查了同角的余角的相等知识点，准确分析是解题的关键．17．（2023春·浙江七年级期中）如图所示，，，则．【答案】68【分析】直接根据角的和差关系进行求解即可．【详解】解：∵，，又，，∴．故答案为68．【点睛】本题主要考查互余角，关键是根据“同角的余角相等”可得角的等量关系，然后求解即可．18．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）如图，点C，D在线段AB上，且，点E是线段AB的中点．若，则CE的长为．【答案】2【分析】根据线段中点可得，代入数据进行计算即可得解求出AB的长；再求出AE的长，最后．【详解】解：∵，点E是线段AB的中点，∴，∴，则．故答案为：2．【点睛】本题考查了线段的和差，两点间的距离，主要利用线段中点的性质，比较简单，准确识图是解题的关键．19．（2023·江苏苏州·七年级校联考期末）如图，AB=24，点C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：DC=1：2，则DB的长度为．【答案】20【分析】根据线段中点的定义可得BC=AB，再求出AD，然后根据DB=AB-AD代入数据计算即可得解．【详解】∵AB=24，点C为AB的中点，∴AC=BC=AB=×24=12，∵AD：CD=1：2，∴AD=×12=4，∴DB=AB-AD=24-4=20．故答案为20．【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，以及数形转化的思想．20．（2023.浙江七年级期末）如图，C，D是线段AB上的两点，且，已知图中所有线段的长度之和为81，则的长为．

【答案】9【分析】根据，可得，，图中所有的线段有：，，，，，，再根据所有线段的长度之和为81，列出等式求出，问题随之即可作答．【详解】∵，∴，，结合图形可知，共有线段6条：，，，，，，∵图中所有线段的长度之和为81，∴，∵，，，∴，，，∴，∴，∴，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了线段的和差等数量关系的计算，找出图中所有的线段为，，，，，，是解答本题的关键．21．（2023.浙江七年级期末）如图，点C是线段AB的中点，点D，E分别在线段AB上，且＝，＝2，则的值为．【答案】【分析】由线段中点的定义可得AC=BC=AB，根据线段的和差关系及＝，＝2，可得出CD、CE与AB的关系，进而可得答案.【详解】∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC=AB，∵＝，＝2，BD=AB-AD，AE=AB-BE，∴AD=AB，BE=AB，∵CD=AC-AD，CE=BC-BE，∴CD=AB-AB=AB，CE=AB-AB=AB，∴==，故答案为【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．22．（2023.浙江省台州市七年级期末）如图，是线段上的一点，是中点，已知图中所有线段长度之和为23．（1）设线段的长为，则线段．（用含的代数式表示）．（2）若线段，的长度都是正整数，则线段的长为．【答案】3【分析】（1）由中点的定义可得，，，，由题意可得，等量代换即可；（2）由（1）的可知，根据正整数的定义即可求解．【详解】解：（1）设线段的长为，，，，，，即，；（2）线段，的长度都是正整数，，，可能为1，2，3，当时，是小数，不符合题意，舍去，当时，，符合题意，当时，是小数，不符合题意，舍去，故答案为：，3．【点睛】本题考查了列代数式，正整数的概念，线段的和差，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．23．（2023·陕西西安·七年级校考期末）如图所示，点C是线段的中点，点D在线段上，且．若，求线段的长．请将下面的解题过程补充完整：解：∵点C是线段的中点，（已知）．∴______．（理由：___________）∵（已知）∴______．∵点D在线段上，，（已知）∴______．∴______∴______-______=______．【答案】2；线段中点定义；18；；6；；；3【分析】由点C是线段的中点，得到，进而求出的长，根据，推出，求出的长，进而求出．【详解】解：∵点C是线段的中点，（已知）∴．（线段中点定义）∵，（已知）∴．∵点D在线段上，，（已知）∴，∴，∴．【点睛】本题考查线段的中点以及线段的和差关系，解题的关键是根据点D在线段上，，推出．24．（2023秋·广西百色·七年级统考期末）如图，，C是的中点，D是线段上一点，且．(1)求线段的长度；(2)请用尺规在线段上作点E，使，并求线段的长度（保留痕迹，不写作法）．【答案】(1)12cm(2)图见解析，BE=4cm【分析】(1)首先根据C是AB中点，可求得AC=BC=10，设CD＝x，则AD＝4x，可得4x＋x＝5x＝10，可求得x=2，据此即可求得；(2)以点D为圆心，以AD长为半径画弧，交BC于点E，点E即为所求的点；首先可求得AD=DE=8，再由BE=BD-DE即可求得．【详解】（1）解：AB＝20，C是AB中点，AC＝BC＝AB＝10，设CD＝x，AD：DC＝4：1，AD＝4x，AC＝AD＋CD＝4x＋x＝5x＝10，解得，x＝2．BD＝BC＋CD＝10＋2＝12（cm）．（2）解：以点D为圆心，以AD长为半径画弧，交BC于点E，点E即为所求的点，如图．AD＝4x＝4×2＝8，DE＝AD＝8．BE=BD-DE=12－8=4（cm）．【点睛】本题考查了线段的和差，线段中点的性质，结合题意和图形求得相关线段的和差是解决本题的关键．25．（2023·福建厦门·七年级统考期末）已知点在数轴上，点为线段的中点．

(1)如图，点在线段上，点之间的距离为．若点是数轴的原点，点表示的数为3，当时，求点表示的数；若，且，求的值；(2)若点表示的数分别为，其中，且两点关于原点对称，判断点为哪条线段的中点，并说明理由．【答案】(1)；12(2)点是线段的中点【分析】（1）由点是数轴的原点，点表示的数为3得到，由点为线段的中点得到，由得到，从而即可求出点表示的数；由点为线段的中点得到，由，从而表示出，再由得到，求出的长，从而得出，最后由进行计算即可；（2）由两点关于原点对称可得，从而可得出点表示的数为，点表示的数为，由点为线段的中点可求出点表示的数，画出图形，再分别表示出的长即可得到答案．【详解】（1）解：点是数轴的原点，点表示的数为3，，点为线段的中点，，，点之间的距离为，且，，，点在点的左侧，点表示的数为；点为线段的中点，，，，，，，，，；（2）解：点表示的数分别为，其中，且两点关于原点对称，，，点表示的数为：，点表示的数为：，点为线段的中点，点表示的数为：，画出图形如图所示：

，，，，，点是线段的中点．【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、线段的中点的有关计算、线段的和与差，准确进行计算，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．26．（2023秋·广西玉林·七年级统考期末）几何计算：如图，已知，，平分，求的度数．

解：因为，所以__________°，所以__________＋_________，＝__________°＋__________°，＝__________°，因为平分，所以__________＝__________°．【答案】，，，，，，，【分析】先求出的度数，再求出的度数，根据角平分线定义求出即可．【详解】解：因为,所以.所以.因为平分，所以.故答案为：，，，，，，，【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差倍分，掌握各角度之间的数量关系是解题的关键．27．（2023春·江西上饶·七年级统考期中）如图，直线，相交于点，平分，已知：．求和的度数．【答案】，【分析】根据邻补角得出，根据题意得出，进而得出，根据平分，得出即可求解．【详解】解∵，相交于点且，∴，∴，∴，∴，∵，且平分，∴．【点睛】本题考查了邻补角，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．29．（2023秋·江苏·七年级专题练习）如图，，OD平分，，垂足为O．求的度数．（按要求填空）解：∵OD平分（已知），∴（______）．∵（______），∴______°（等量代换）．又∵（已知），∴（______）．∴______＝______°．【答案】角平分线的定义；已知；70，垂直的定义；；20【分析】根据角平分线的定义求出∠AOD的度数，由垂直的定义可得∠AOB的度数，然后根据求解即可．【详解】∵OD平分（已知），∴（角平分线的定义）．∵（已知），∴70°（等量代换）．又∵（已知），∴（垂直的定义）．∴＝20°．故答案为：角平分线的定义；已知；70，垂直的定义；；20【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，掌握角平分线的定义，垂线的定义是解题的关键．30．（2023·重庆开州·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点О，OE平分，，．求和的度数．【答案】∠AOC=40°，∠DOE=70°【分析】设∠DOE=x，表示出∠AOE，∠BOF，根据对顶角相等得到方程，求出x，根据平角的定义得到∠AOC．【详解】解：设∠DOE=x，∵OE平分，∴∠AOE=∠DOE=x，=，∵∠AOD=∠BOC，∠FOC=90°，∴2x=+90°，解得：x=70°，∴∠DOE=70°，∴∠AOC=180°-70°×2=40°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，平角的定义，一元一次方程，解题的关键是用x表示出相应的角，列出方程．31．（2023春·江苏泰州·七年级校联考期中）已知：如图，在中，，点、分别在、上，、相交于点．有以下三个选项：①，②平分，③．从中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的命题，并加以证明．

条件______，结论______．（填序号）证明：【答案】见解析【分析】若①②为条件，③为结论，可利用垂直定义和直角三角形的两个锐角互余可证明，，再利用角平分线的定义和等角的余角相等得到，进而可证得结论；若①③为条件，②为结论，同理证明即可；若②③为条件，①为结论，证明即可．【详解】解：方法一：条件①②，结论③．证明：∵∴在中，∴在中，∴∵平分∴∴∵∴方法二：条件①③，结论②．证明：∵∴在中，∴在中，∴∵，，∴，∴∴平分．方法三条件②③，结论①．证明：∵平分∴在中，∴∴∵，∴∴，即，∴．【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形两个锐角互余、等角的余角相等、角平分线的定义，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．32．（2023秋·山东德州·七年级统考期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）请你数一数，图中有多少小于平角的角？（2）求∠BOD的度数；（3）试判断∠BOE和∠COE有怎样的数量关系，说说你的理由．