《概率论》第5章 中心极限定理

在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布实际背景

研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素综合影响而成,即近似问题中心极限定理研究的内容：当时,在什么情况下的极限分布是？的极限分布是？设是独立r.v列,均值和方差都存在令则部分和标准化r.v问题的极限分布是否为？一般地，答案是否定的！除非服从正态分布，否则结论就不真.例如取则定义则称服从中心极限定理若的分布函数对任意

满足同分布的r.v

列，其数学期望和方差分别为则服从中心极限定理的分布函数对任意满足定理(独立同分布的中心极限定理)设为独立,即标准化r.v例1．设样本X1，X2，…，X20相互独立，且都来自均匀分布U(0,1)，其中,E(Xi)=1/2,D(Xi)=1/12，令Y20=X1+X2+…+X20，求：P{Y20≤9.1}。解：P{Y20≤9.1}=n=20，μ=1/2,σ2=1/12对于均值为方差的独立同分布的

r.v

列有近似即或近似中心极限定理的实际含义故每个因素都是微小的、没有一个因独立同分布X1X2、、Xn...、因为素起到突出作用这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到在实际问题中,如果某数量指标满足该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成则这个数量指标近似地服从正态分布突出的作用由独立同分布的中心极限定理,有定理(棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)设为服从参数为的二项分布r.v列,则对任意有证其中为独立同分布的(0-1)分布r.v,且因二项分布产生于

重伯努利试验,故可分解为注记

该定理是概率论历史上第一个中心极限定理,由棣莫弗于1730年给出到时的证明,几十年后经拉普拉斯推广的一般情形.对于一列二项分布r.v

，有近似近似的图形为棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的应用例如于是当

充分大时，可以认为

近似Ox-8-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

12345678记则近似高尔顿钉板试验？什么曲线共15层小钉小球碰第层钉后向右落下小球碰第层钉后向左落下高尔顿(FrancisGalton,1822-1911)英国人类学家和气象学家例2．一批种子，其中良种占1/6，在其中任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率是多少？解：设X表示取6000粒种子中的良种粒数，则X~B(6000,1/6)注若X~B(n,p),则当n较大时，有例3.

某出租车公司有500辆的士参加保险，在一年里的出事故的概

率为0.006，参加保险的的士每年交800元的保险费．若出事故，保险公司最多赔偿50000元，试利用中心极限定理，计算保险公司一年赚钱不小于200000元的概率．解：设X表示500辆的士中出事故的车辆数，则X

～B(500,0.006)其中np=3,npq=2.982,保险公司一年赚钱不小于200000元的事件为{500×800≥500×800-50000X≥200000},即事件{0≤X≤4}可见，保险公司在一年里赚钱不小于200000元的概率为0.7781.

例4.

在抽样检查某种产品的质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品．设产品的次品率为10﹪，问至少应抽查多少个产品进行检查，才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9？解:

设应抽查n

件产品,其中次品数为Y.记由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，得要使

即得

即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9．为什么叫“中心极限定理”

棣莫弗-拉普拉斯中心极