鲁京津琼专用2025版高考数学一轮复习专题10计数原理概率与统计第80练古典概型与几何概型练习含解析

PAGEPAGE6第80练古典概型与几何概型[基础保分练]1．高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)2．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)3．若某公司欲从五位高校毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(9,10)4．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中随意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)5．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.76．在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上随机地取一个数x，则cosx的值介于0到eq\f(1,2)之间的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,π)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)7.如图所示，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度大于或等于半径的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(1,2)8．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体玻璃箱内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与玻璃箱的六个面的距离均大于1，称其为“平安飞行”，则蜜蜂“平安飞行”的概率为()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,27)D.eq\f(27,64)9．甲、乙两人玩数字嬉戏，先由甲在心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1,2,3,4,5,6}．若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现随意找两个人玩这个嬉戏，得出他们“心有灵犀”的概率为______________．10．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱的形态是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽视不计)正好落入孔中的概率是________．[实力提升练]1．随机抛掷两枚质地匀称的骰子，若将它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则()A．p1<p2<p3 B．p2<p1<p3C．p1<p3<p2 D．p3<p1<p22.如图所示有一个信号源和五个接收器，当接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是()A.eq\f(4,45)B.eq\f(1,36)C.eq\f(4,15)D.eq\f(8,15)3．在圆的一条直径上任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,5)4．从区间[0,1]内随机选三个数x，y，z，若满意x2＋y2＋z2>1，则记参数t＝1，否则t＝0，在进行1000次重复试验后，累计全部参数的和为477，由此估算圆周率π的值应为()A．3.084B．3.138C．3.142D．3.1365．从－1,0,1,2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，从而组成不同的二次函数，其中使二次函数有两个零点的概率为________．6．一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的概率为________．

答案精析基础保分练1．B2.B3．D[设“甲或乙被录用”为事务A，则eq\x\to(A)表示“甲、乙都没被录用”．由古典概型可知，P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，∴P(A)＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).]4．C[易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型知概率为eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).]5．D[由已知得，当x＝1时，原不等式成立，即2＋a－a2<0，解得a>2或a<－1，所以当a∈[－5，－1)∪(2,5]时，1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解．故所求概率P＝eq\f(－1＋5＋5－2,5－－5)＝eq\f(7,10)＝0.7.]6．A[若cosx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则利用三角函数的性质解得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上随机取一个数是等可能的，结合几何概型的概率公式可得，所求概率P＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3))),\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))))＝eq\f(1,3).]7．B[如图所示，当AA′长度等于半径R时，A′位于点B或点C处，此时∠BOC＝120°，则优弧BC的长为eq\f(4,3)πR，∴所求概率P＝eq\f(\f(4,3)πR,2πR)＝eq\f(2,3).]8．A[依据几何概型可知，所求概率P＝eq\f(4－23,43)＝eq\f(1,8).]9.eq\f(4,9)解析数字a，b的全部取法有62＝36(种)，其中满意|a－b|≤1的取法有16种，所以所求概率P＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).10.eq\f(4,9π)解析依据几何概型可知，所求概率P＝eq\f(1×1,π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq\f(4,9π).实力提升练1．C[随机抛掷两枚质地匀称的骰子，可能出现的状况有6×6＝36(种)，点数之和不超过5的状况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，共10种，点数之和为偶数的状况有(1,1)，(1,3)，(3,1)，(1,5)，(5,1)，(2,2)，(2,4)，(4,2)，(2,6)，(6,2)，(3,3)，(3,5)，(5,3)，(4,4)，(4,6)，(6,4)，(5,5)，(6,6)，共18种，所以p1＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)，p2＝1－p1＝eq\f(13,18)，p3＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2)，所以p2>p3>p1.]2．D[对左端的每一种分组，右端六个接线点的分组状况共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15(种)，五个接收器能同时接收到信号必需全部在同一个串联线路中，故满意题意的分组状况有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝8(种)，所以这五个接收器能同时接收到信号的概率是eq\f(8,15).]3．C[如图所示，设圆的半径为r，圆心为O，AB为圆的一条直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为M.若CD为圆内接正三角形的一条边，则O到CD的距离为eq\f(r,2).设EF为与CD平行且到圆心O的距离为eq\f(r,2)的弦，交直径AB于点N.易知当过AB上的点且垂直于AB的弦的长度超过CD时，该点在线段MN上移动，所以所求概率P＝eq\f(r,2r)＝eq\f(1,2).]4．B[由题意，eq\f(477,1000)≈1－eq\f(1,8)×eq\f(4,3)π×13，∴π≈3.138，故选B.]5.eq\f(7,9)解析首先取a，∵a≠0，∴a的取法有3种，再取b，b的取法有3种，最终取c，c的取法有2种，树形图如图所示：∴组成不同的二次函数共有3×3×2＝18(个)．若f(x)有两个零点，则不论a>0还是a<0，均应有Δ>0，即b2－4ac>0，∴b2>4ac.结合树形图可得，满意b2>4ac的取法