第06讲 指对运算（教师版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第06讲指对运算（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第2题,5分充分条件的判定及性质必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性2024年天津卷，第5题,5分比较指数幂的大小、比较对数式的大小2023年天津卷，第3题,5分比较指数幂的大小、比较对数式的大小2022年天津卷，第5题,5分对数的运算、对数的运算性质的应用2022年天津卷，第6题,5分比较指数幂的大小、比较对数式的大小2021年天津卷，第5题,5分比较指数幂的大小、比较对数式的大小2021年天津卷，第7题,5分运用换底公式化简计算2020年天津卷，第6题,5分比较指数幂的大小、比较对数式的大小2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握指对运算法则，能够灵活运用指对互化2.能掌握对数的换底公式3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图进行比较大小的计算【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出等式，做指对化简计算，或者比较大小。知识讲解知识点一.指数运算1.实数指数幂运算法则aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．ar(3)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．(4)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．2.分数指数幂的意义与运算法则(1)amn＝nam，a−mn＝1amn＝1n(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3.nan与(na(1)nan是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，nan＝当n为偶数时，nan＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a知识点二.对数运算1.对数与指数的关系当a>0,且a≠1时，ax＝N⇔x=logaN.2.对数的基本性质(1)负数和零没有对数，即N>0；(2)loga1＝0(a>0，a≠1)；(3)logaa＝1(a>0，a≠1).3.对数恒等式：①alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)；②loga4.对数的运算法则(1)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：loga(MN)=logaM+logaN；logaMN=logaM-logaN；logaMn=nloga(2)换底公式：logab=logc(3)可用换底公式证明以下结论：①loga②loga③loga④loga⑤log1考点一、根式与分数指数幂运算1.（2024·广东·模拟预测）若xy=3，则xyx【答案】±2【分析】分x>0,y>0和x<0,y<0两种情况分类计算.【详解】当x>0,y>0时，xy当x<0,y<0时，xy故答案为：±22.（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式：（1）0.06415−2.5（2）a3b23a（3）设x12+x−【答案】0ab/a【分析】（1）根据指数幂的运算性质，化简求值，即得答案；（2）将根式化为指数幂的形式，结合指数幂的运算，即可求得答案；（3）将x1【详解】（1）0.064===5（2）a3（3）因为x1∴x+x故答案为：（1）0；（2）ab1.（23-24高三上·北京丰台·期末）已知f(x)=4x−4−x【答案】0【分析】由解析式直接代入求解即可.【详解】因为f(1f(−1所以f(−1故答案为：0.2.（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知a>0，将aa化为分数指数幂ak形式，则k=【分析】利用根式转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可.【详解】aa故答案为：343.（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数f(x)=2x2x+3x，若实数m，n满足2m+n【答案】4【分析】由题设可得4⋅2m=−3m>0，结合2m+n=3mn【详解】由题设f(m)=2m2m+3m又2m+n=3mn，则所以f(n)=2故答案为：44.（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）计算：（1）3（2）log【答案】（1）99+π；（2）-6【分析】（1）根据指数幂的运算法则，化简整理，即可得答案.（2）根据对数的运算性质，计算化简，即可得答案.【详解】（1）3=4×27+1−4×7（2）log==2−3+1−2×3=−6【点睛】易错点为：在化简na考点二、对数运算1.（23-24高三上·天津和平·期末）计算31+A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】直接由指数、对数的运算性质运算即可.【详解】由题意3=3×=3×2+=6+lg故选：C.2.（2023·全国·模拟预测）求值：lg(27+10【答案】1【分析】根据给定条件，利用对数运算性质计算即得.【详解】lg(故答案为：11.（全国·高考真题）已知函数fx=log2x2【答案】-7【详解】分析：首先利用题的条件f3=1，将其代入解析式，得到f(3)=log2(9+a)=1详解：根据题意有f(3)=log2(9+a)=1，可得9+a=2，所以a=−7点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.2.（2024·全国·模拟预测）在等差数列an中，已知a3与a9是方程2A．1111 B．21111 C．11【答案】B【分析】由韦达定理得到a3+a【详解】因为a3与a9是方程2x因为数列an为等差数列，所以a1+所以12故选：B.3.（2024·北京·三模）使lga+lgb=lg(a+b)成立的一组a，b的值为a=【答案】2（答案不唯一）2（答案不唯一）【分析】根据题意结合对数运算分析可得ab=a+ba>0【详解】若lga+lgb=lg(a+b)例如a=b=2符合上式.故答案为：2；2.（答案不唯一）4．（22-23高三上·天津静海·期末）lg4+lg【答案】5【分析】根据对数和分数指数幂的运算法则即可求得结果.【详解】由题可知，lg故答案为：55．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位数是a，第75百分位数为b，则lg4+lg【答案】11【分析】由中位数、百分位数的概念结合对数运算、幂运算即可求解.【详解】由题意得a=2+32=2.5所以lg4+故答案为：1110考点三、指对运算综合1.（2023·北京·高考真题）已知函数f(x)=4x+log2【答案】1【分析】根据给定条件，把x=1【详解】函数f(x)=4x+故答案为：12.（2024·全国·三模）若a>1，则algA．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能【答案】A【分析】b=lga，则【详解】令b=lga，则a=10b，由所以alg故选：A.1.（2024·广东·二模）已知正实数m,n满足12lnm=A．1 B．14 C．4 D．1或【答案】B【分析】利用对数运算法则化简等式，列出关于nm【详解】由12lnm=lnm−2n整理得2(nm)2所以nm故选：B2.（2024高三下·河南·专题练习）已知实数m,n满足m+lnm=4,nlnA．e2 B．e3 C．e4【答案】B【分析】利用指对数的运算性质将式子等价变形，构造函数fx=e【详解】由m+lnm=4,nln令fx=ex+x−4，由于y=又flnm=f3−lnn，所以故选：B.3.（2024·江苏·模拟预测）已知x1+2x1A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】利用函数fx=x+2【详解】令fx=x+2又fx1=所以x1故选：C4.（2024·江苏南通·模拟预测）方程xln3+【答案】e【分析】运用对数的运算性质先证alogbc=clogb【详解】先证alogbc=clogba（a>0且a≠1，令alogbc=m，可得logbm=log所以logbm=logbn则xln3+xln4=可得35由于y=lnx在0,+∞上单调递增，y=35所以y=35lnx，可得y=35ln又lnx=2时，即x=e2则原方程的解有且只有一个为x=e故答案为：e【点睛】关键点点：本题关键是对数恒等式alog5.（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设a=12lgA．1+3 B．1+5 C．26【答案】A【分析】根据对数的运算法则及性质化简求值即可.【详解】因为a=12b所以a+2故选：A.考点四、指数函数中的条件等式1.（23-24高三上·天津·期中）已知4a=5,logA．59 B．5 C．259【答案】A【分析】根据指数、对数运算求得正确答案.【详解】4a3b=2log所以22a−3b故选：A2.（2020·全国·高考真题）设alog34=2A．116 B．19 C．18【答案】B【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由alog34=2可得log所以有4−a故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.1.（2024·全国·模拟预测）已知m，n，p是均不等于1的正实数，mx=n2y=A．2 B．32 C．1 D．【答案】C【分析】设mx=n2y=p3z=t，则t>0且【详解】设mx=n2y=∴x=logmt=1log显然x,y,z≠0，则logtm=1x，由z=xyx+y得xz+yz=xy，即等式两边同除以xyz得，1x其中1x故logtmn故选：C．2.（2024·全国·模拟预测）已知2x=3y=【答案】3【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式的互化关系，再利用对数的运算性质及换底公式计算得解.【详解】依题意，x=log则1x故答案为：33.（2023·全国·模拟预测）已知b=2lna，则a【答案】e【分析】利用指数式与对数式互化关系及指数运算法则求解即得.【详解】由b=2lna，得lna=2故答案为：e4．（23-24高三上·天津·期中）若log222=a,【答案】2【详解】利用指数运算、对数运算求出b,a即可得解.【分析】依题意，a=log2232=3所以a+b=3故答案为：25．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知3a=5b且【答案】2+【分析】设3a=5【详解】由题意3a=5故a=log故2a+1b=1故logk45=1,∴k=45，所以故答案为：2+考点五、指对等式比较大小1.（2024·河南·二模）“lnx>lnyA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分别求出两个命题的充要条件，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为lnx>lny⇔x>y>0所以“lnx>lny故选：A.2.（2024·湖南·二模）已知实数a>b>0，则下列选项可作为a−b<1的充分条件的是（

）A．a−b=1C．2a−2【答案】C【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据指数函数的性质证明C.【详解】取a=4，b=1，满足a−b=1取a=2，b=1，满足1b−1取a=4，b=2，满足log2a−log由2a−2b=1，a>b>0，可推出2故选：C.1.（2024·天津南开·二模）已知a=log32，b=A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>c>a【答案】C【分析】借助对数函数与指数函数的单调性，可得a、b、c范围，即可判断.【详解】因为a=logb=log22故a>c>b.故选：C.2.（2024·天津河北·二模）若a=30.5,b=log0.53,c=0.3A．b<a<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<c<a【答案】D【分析】利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得.【详解】依题意，a=3所以b<c<a.故选：D3.（2024高三·天津·专题练习）若a=4.2−0.3，b=4.20.3，c=log4.20.3A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a【答案】B【分析】因为y=4.2x在R上递增，得出0<a<1<b，又因y=log4.2x【详解】y=4.2x在R上递增，且所以0<4.2−0.3<4.20因为y=log4.2x在(0,+所以log4.2即c<0，所以b>a>c，故选：B.4.（2021·全国·高考真题）已知a=log52，b=A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.【详解】a=log52<故选：C.5.（2024·天津·二模）设a=log23,b=A．a<b<c B．b<c<aC．c<b<a D．c<a<b【答案】C【分析】利用对数函数和指数函数的单调性再结合两个中间量“0”和“32【详解】∵log∵0<1.3∵0.9∴c<0，∴c<b<a.故选：C.6.（2024·北京昌平·二模）若0<a<b<1，c>1，则（

）A．cb<ca B．logca>【答案】D【分析】构造函数y=cx，根据函数的单调性判断A选项；构造函数y=logcxx>0【详解】A：构造函数y=cx，因为c>1，所以又因为0<a<b<1，则有cbB：构造函数y=logcxx>0，因为c>1，所以y=又因为0<a<b<1，则有logcC：因为0<a<b<1，所以1a>1b>1构造函数y=sinx，当x>1时，函数所以无法判断sinca与D：构造函数y=xc，因为0<a<b<1,c>1，所以函数y=x有ac故选：D.考点六、指对最值问题1.（2023·全国·模拟预测）已知m>0,0<n<2，且log2(m+n)=logA．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】首先利用对数运算求得m+2n=2，再利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解.【详解】由log2(m+n)=log所以2log2(m+n)=即(m+n)(m+2n−2)=0．因为m>0,0<n<2，所以m+2n=2,当且仅当4nm=m故选：C2.（2024·全国·模拟预测）若2x−4y=A．12 B．32 C．5【答案】C【分析】构造4x−y=2【详解】因为2x所以4x−y因为2y>0，所以所以4x−y≥42当且仅当4y=24y，2所以x−y的最小值为54故选：C．1.（2023·全国·模拟预测）已知点Pa,b在直线y=2x−2上，则4A．654 B．658 C．4【答案】C【分析】根据点Pa,b【详解】因为点Pa,b在直线y=2x−2上，则b=2a−2，即2a−b=2所以4a当且仅当2a−b=222a=2−b故选：C．2.（2023·全国·模拟预测）已知正数x，y满足lg2y−x=lgA．12 B．1 C．2 【答案】C【分析】先根据对数的运算得y=x【详解】由正数x，y满足lg2y−x=lg所以2y−x=2yx，y=x22x−1，结合所以y=x当且仅当x−1=1x−1时，即故选：C3.（2022·河南·模拟预测）若实数x，y满足2x+4A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由条件结合基本不等式求x+2y的最小值.【详解】因为2x+所以2所以x+2y≥2，当且仅当x=1，y=1所以x+2y的最小值为2，故选：C.4.（2022·辽宁·模拟预测）已知实数a，b满足a2+logA．0 B．−1 C．1 D．不存在【答案】A【分析】由题设条件可得logab=1−a【详解】a2+loga又0<a<1，则0<1−14log当且仅当141−a故选：A5.（2023·全国·模拟预测）若3q+λ⋅3−q≥3，则当λ【答案】log【分析】分离参数，利用基本不等式即可得到答案.【详解】根据指数函数值域可知3−q则依题意得λ≥3−3q当且仅当3q=32，即故答案为：log31．（2024·河南开封·三模）已知alog94=1A．19 B．18 C．1【答案】C【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得.【详解】由alog94=1可得4a=9，即(故选：C.2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）将17A．a47 B．a−47 【答案】B【分析】根据根式与指数幂的互化即可求解.【详解】将17a4故选：B.3．（23-24高三上·四川·期末）log32A．−75 B．−34 C．【答案】D【分析】利用换底公式和对数运算法则计算出答案.【详解】log故选：D4．（2024·北京丰台·二模）已知函数fx=2x,g【答案】1【分析】先求出g0，再求f【详解】易知g0=log故答案为：15．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知a+2a=log2【答案】8【分析】利用函数的单调性解方程，得到a，b的值，问题即可解决.【详解】设fx=x+2x，则fx在−∞,+∞上为增函数，且f同理：方程b+log2b=3所以：2a+b故答案为：86．（2023·四川德阳·一模）已知10m=2,10n=3【答案】8【分析】利用指数对数的运算性质计算即可.【详解】∵∴2m+故答案为：87．（2024·上海浦东新·三模）已知a=lg5，则lg20=【答案】2−a/−a+2【分析】根据对数的运算性质计算即可.【详解】由a=lg得lg20=故答案为：2−a1．（2024·四川·模拟预测）若实数m，n，t满足5m=7n=tA．23 B．12 C．5 D．【答案】D【分析】根据指对数的互化可得m=log5t，n=log7【详解】因为5m=7n=t且1所以m=log5t所以1m=log所以1m+1故选：D．2．（2024·青海·模拟预测）若a=log35，5A．1 B．－1 C．2 D．－2【答案】A【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.【详解】由5b=6⇒所以ab−log32=log35⋅log5故选：A3．（23-24高三上·云南楚雄·期末）设39的小数部分为x，则xA．1 B．32 C．2 D．【答案】A【分析】先算出39的整数部分，再表示出39的小数部分，所以有x+23【详解】由3>39>38所以x+23=9，即所以x3故选：A4．（2022·全国·模拟预测）已知实数x1,x2满足A．27 B．32 C．64 D．81【答案】D【分析】由已知条件将两个等式转化为统一的结构形式，令log3x2−2=t，x2=3【详解】由题意得，x1令log3x2−2=t，则x2∴x1,t令fx=x⋅3x(x>0)，则f∴x1=t，即log故选：D.5．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若ex−2A．12 B．2 C．1 D．【答案】D【分析】将ex和e2y两边放，然后两边同时除以ey【详解】因为ex−2=e2y，当且仅当ey=2则ex−y≥2两边取自然对数，则x−y≥ln25故x−y的最小值为5ln故选：D.6．（2024·北京顺义·三模）设x,y≥1，a>1，b>1.若ax=by=3A．2 B．32 C．1 D．【答案】C【分析】先利用指、对数的关系利用a,b表示x,y，再利用基本不等式求最大值.【详解】∵x,y≥1，a>1，b>1，ax∴x=loga3=∴1x当且仅当a=b=3，∴1x故选：C.7．（2024·上海·模拟预测）已知正实数a,b满足logab+logba=5【答案】34/【分析】令t=logab，则由logab+logba=5【详解】令t=logab由logab+log所以2t2−5t+2=0，解得t=所以logab=1所以a12=b当a12=b由aa=bb，得由2a=ba=b2，又a>0所以a+b=3当a2=b时，由aa=b由a=2ba2=b，又a>0所以a+b=3综上所述，a+b=3故答案为：341．（2022·浙江·高考真题）已知2a=5,logA．25 B．5 C．259 D．【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为2a=5，b=log83=故选：C.2．（2019·天津·高考真题）已知a=log27，b=log3A．c<b<a B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b【答案】A【分析】利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小．【详解】c=0.3log21<log故c<b<a．故选A．【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待．3.（2022·天津·高考真题）化简(2logA．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式=(2×=4故选：B4.（2022·全国·高考真题）已知9mA．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m>【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由9m=10可得m=log910=lg10lg9又lg8lg10<lg8+所以b=8m−9<［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m=10，可得根据a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1)令f'(x)=0，解得x0=mf(x)在(1,+∞)上单调递增，所以f(10)>f(8)，即又因为f(9)=9log9故选：A.【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用a,b的形式构造函数f(x)=x5.（2023·全国·高考真题）已知函数fx=eA．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【答案】A【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令g(x)=−(x−1)2，则g(x)开口向下，对称轴为因为62−1−1−所以62−1−由二次函数性质知g(6因为62−1−1−即62−1<1−2综上，g(2又y=ex为增函数，故a<c<b，即故选：A.6.（2022·全国·高考真题）已知9mA．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m>【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由9m=10可得m=log910=lg10lg9又lg8lg10<lg8+所以b=8m−9<［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m=10，可得根据a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1)令f'(x)=0，解得x0=mf(x)在(1,+∞)上单调递增，所以f(10)>f(8)，即又因为f(9)=9log9故选：A.【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用a,b的形式构造函数f(x)=x7.（2022·全国·高考真题）设a=0.1eA．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b【答案】C【分析】构造函数f(x)=ln(1+x)−x，导数判断其单调性，由