稳定性与鲁棒性lecture1-数学基础

稳定性与鲁棒性基础Lecture1:

鲁棒性、稳定性概念及数学基础参考书目1、梅生伟《现代鲁棒控制理论与应用》.北京：清华大学出版社，20032、黄琳《稳定性与鲁棒性的理论基础》.北京：科学出版社3、申铁龙《H∞控制理论及应用》.北京：清华大学出版社,19964、俞立《鲁棒控制——线性矩阵不等式处理方法》.北京：清华大学出版社,20025、贾英民《鲁棒H∞控制》北京：科学出版社,2007要求1、了解控制理论与技术的发展2、理解稳定性与鲁棒性理论意义与作用3、掌握常见的稳定性、鲁棒性定理考试开卷考试或大作业（一）控制理论与技术的发展大事记英国J.Watt（瓦特）用离心式调速器控制蒸汽机的速度(1788年)，引发了工业革命，大大提高了生产效率。1866年，英国J.M.Gray设计出第一艘全自动蒸汽轮船“东方”号(GreatEastern)；1866年，由徐寿设计的中国第一艘蒸汽轮船“黄鹄”号(L20m,25T,10km/hr)在安庆内军械所下水。1875年，英国E.J.Routh建立Routh判据(Routh-HurwitzStabilityCriteria)。俄国A.M.Lyapunov博士论文“论运动稳定性的一般问题”(1892年)，其中提出了一个重要定理：Lyapunov稳定性定理，影响深远。进入十九世纪后控制理论和技术的发展逐渐增速。1913年，美国福特(FordMotor)汽车公司建成最早的汽车装配流水线。1922年，美国N.Minorsky研制出用于船舶驾驶的伺服机构，提出PID控制方法。1927年，美国H.S.Black提出放大器性能的负反馈方法(NegativeFeedbackAmplifier)。1940年，美国贝尔实验室的H.Bode(1938)，以及Nyquist(1940)提出频率响应法1948年，美国MIT的N.Wiener发表了《控制论》(Cybernetics)一书，标志着控制学科的诞生。1948年，美国W.Evans提出根轨迹法(RootLocusMethod)，以单输入线性系统为对象的经典控制研究工作完成。这段时间有多本关于经典控制的经典名著出版，包括H.Bode的NetworkAnalysisandFeedbackAmplifier(1945)，钱学森的《工程控制论》(EngineeringCybernetics)(1954)。二次世界大战中火炮，雷达，飞机以及通讯系统的控制研究，促进了自动控制的发展。战争结束后，推动自动控制发展的一大动力是美苏之间的冷战，确切的说是期间的军备竞争，如导弹(发射，操纵，制导及跟踪)，卫星，航天器和星球大战，以及计算机技术的出现(英国科学家A.J.G.MacFarlane)。1957年，美国R.Bellman在RANDCoporation数学部的支持下，发表著名的DynamicProgramming，建立最优控制的基础同年，国际自动控制联合会(IFAC)成立，中国为发起国之一，第一届学术会议于莫斯科召开(1960)

同年，世界第一颗人造地球卫星(Sputnik)由苏联发射成功1960年，美籍匈牙利人R.E.Kalman发表“OntheGeneralTheoryofControlSystems”等论文，引入状态空间法分析方法，提出能控性，能观测性等概念，奠定了现代控制理论的基础。1965年，美国Zadeh提出模糊集合和模糊控制概念。随后智能控制逐渐兴起。1981年，加拿大G.Zames提出H∞鲁棒控制设计方法。1983年，美国Y.CHo和X.RCao等提出离散事件系统理论。二十一世纪，信息技术发展给控制理论和技术带来了机遇和挑战。我国航天事业飞速发展经典控制阶段现代控制阶段后现代控制阶段（二）不确定性自然界存在的不确定性，如天有不测风云，自然界千姿百态，千变万化等——社会生活丰富多彩工程上存在的不确定性，被控对象未建模部分，控制过程参数的变化，不可预测的噪声、干扰——理想的设计不允许存在。例子1：最优控制问题SISO系统求使得性能指标达到最小的控制器。其中r为加权系数。解：考虑二次型正定函数沿着系统(1)求导(1)其中P是满足Riccati方程的正定矩阵；故两端积分因系统闭环稳定，即所以使得J最小的最优控制器当系统存在不确定性同理。得到系统最优控制器其中P′满足若设计过程不考虑不确定性ΔA，得到的最优控制器仍然能够保证系统稳定。但例子2：峰值现象系统其中ω为未知且不可测量的干扰信号。若ω幅值很小，令反馈控制器则闭环系统在平衡点x=0全局稳定。若考虑干扰ω，实际闭环系统为若系统状态当初始状态时，结论：即使干扰信号非常小，从距离平衡点较远的初始状态出发的状态轨迹是发散的例1即使存在模型误差Δ，只要不是很大，原设计控制器依然能保证系统稳定；而例2，考虑干扰原控制器就未必能保证系统的稳定性了若系统的品质，诸如稳定性、干扰抑制性能、最优性能指标等，对系统中存在的不确定性不敏感，就称系统具有鲁棒性，具体的称为鲁棒稳定性、鲁棒干扰抑制性能、鲁棒最优等（三）数学基础例：矩阵逆当矩阵A受到扰动其逆一、范数结论A中一项0.1%的变化，导致A-1中100%的变化；与A是近似奇异有关(列几乎不独立，其行列式值比其最大元素小很多)；这种灵敏度与扰动的关系如何？如何衡量？度量向量和矩阵的量级的方法——范数1、向量范数定义定义在Cn上x的一实值函数||x||，满足(1)非负性：当x≠0时，||x||>0(2)齐次性：||ax||=|a|||x||，a

为标量(3)三角不等式：||x+y||≤||x||+||y||1、向量范数常用向量范数及其物理(几何)意义(1)2-范数(2)p-范数(3)∞-范数向量的长度或：包含x的最小球域的半径绝对值最大的坐标分量的绝对值或：包含x体积最小的长方体的最长边长定理2.1(嵌入式不等式定理)设||x||α与||x||β是定义在Cn上的任意两种范数，则存在正数k2>k1>0，使得k1||x||β≤||x||α≤k2||x||β(1)满足(1)的两种范数称为是等价的；Cn上任何两种向量范数是等价的；例：证明定义在Cn上的2-范数和∞-范数是等价的。证明：对任意的x∈Cn，根据定义||x||∞≤||x||2另外，取则有k1||x||2≤||x||∞≤k2||x||22、矩阵范数定义定义在Cm×n上A的一实值函数，满足(1)非负性：当A≠0

时，||A||>0(2)齐次性：||A||=|k|||A||(3)三角不等式：||A+B||≤||A||+||B||(4)相容性：||AB||≤||A||||B||几何意义：在线性映射过程中，向量长度被放大或缩小的一种“增益”2、矩阵范数常用矩阵范数

(1)1-范数(2)2-范数(Frobenius范数)

(3)∞-范数3、函数范数引入目的或几何意义若在函数空间上引入范数概念表示信号在某种工程意义上的强度，则系统作为算子时的范数反映了在传递信号过程中的“增益”。常见函数空间：(1)Lp空间：满足以下条件的可测函数f:R+→R的全体构成的集合(2)L∞空间：在R+上有上确界的可测函数f:R+→R的全体构成的集合，即f∈L∞当且仅当(3)H2空间：在复平面的右半平面上解析，且满足下列条件的复函数f:C→C的全体构成的集合(4)H∞空间：在复平面的右半平面上解析，且在虚轴上其模有上确界的有理复函数f:C→C的全体构成的集合，即常用函数范数(1)Lp范数(2)L∞范数(3)H2范数(4)H∞范数(标量函数空间)(5)H∞范数(矩阵函数空间)当p＝2时，若将f∈L2看成时域信号，则||f||2表示信号所蕴涵的能量二、矩阵奇异值定义设A∈Cm×n，矩阵A的奇异值定义为定理2.3

(奇异值分解，或称SVD)给定任意矩阵A∈Cm×n，A可以写成其中U*U=I,V*V=I

奇异值σi满足对于任意的x∈Cn和A∈Cm×n，σmin(A)||x||2≤||Ax||2≤σmax(A)||x||2

矩阵奇异值代表物理意义：反映了Cn中的向量x被矩阵A映射到Cm上时，其象向量Ax的长度被放大或缩小的倍数之上下界值（三）Lyapunov方程LTI系统：考虑上述系统的一个Lyapunov函数V(x)=xTPx,P>0沿着系统方向求导引入Lyapunov方程Lyapunov方程对于给定的A和对称矩阵Q，若存在满足(2)的P，称该Lyapunov方程有解Lyapunov方程一般解定理2.8

设λ1,λ2,…,λn,是矩阵A的特征值，则Lyapunov方程(2)有唯一实对称解的充要条件是Lyapunov方程非负解定理2.9

设Q为任意给定的正定矩阵，则Lyapunov方程(2)有唯一正定解的充要条件是矩阵A的特征值均具有负实部。定理2.10

设Q＝DTD∈Rn×n是半正定矩阵且(A,D)可检测，则Lyapunov方程(2)有唯一正定解的充要条件是矩阵A的特征值均具有负实部。（2）（四）Riccati方程Riccati方程，具有如下形式的矩阵方程其中P,A,R,Q∈Rn×n,且Q为对称矩阵，R为半正定或半负定矩阵。若存在P满足(3)，则称该Riccati方程有解Riccati方程Lyapunov方程Riccati方程的Hamiltonian矩阵Hamiltonian矩阵E的特征值是关于原点(以虚轴)对称分布(3)Riccati方程解的一般形式定理2.12

若P是方程(3)的解，则P可以表示为反之，若T1非奇异，则上式给出的P是Riccati方程(3)的解。Riccati方程非负解定理2.13

Riccati方程(3)存在一个实对称解P

，且使得In(A＋RP)=(0,n,0)(1)In(E)=(n,n,0);(2)(A,R)是可稳的例：设A,R,Q∈R2×2且验证定理1.7中条件，并求出使得In(A＋RP)=(0,n,0)的Riccati方程的解。解：Riccati方程对应的

Hamiltonian矩阵为其特征值故In(E)=(2,2,0)显然，(A,R)可稳定，由定理2.13，该Riccati方程存在一个实对称解P，且In(A＋RP)=(0,2,0)。事实上，与E的特征值对应的广义特征向量选择v2，v4构造P，即以下讨论如下形式的Riccati方程定理2.14

Riccati方程(4)存在一个非负解P

，且使得In(A-BBTP)=(0,n,0)(1)In(E)=(n,n,0);(2)(A,B)是可稳的.引理若(A,B)是可稳的，(A,C)是可检测的，则In(E)=(n,n,0).定理2.15

Riccati方程(4)存在一个非负解P

，且使得In(A-BBTP)=(0,n,0)(A,B)是可稳的，(A,C)是可检测的.（4）（五）正实性概念意义数学中，为描述一些数学对象的性质常常用到“正”的概念，如绝对值、正数、正数数列及范数等。在此引入“正实性”概念就是“正”的概念在有理函数，有理矩阵及其运算等方面的推广。应用在系统和控制理论中的有关稳定性分析，超稳定性，耗散性，鲁棒性，自适应控制，二次型最优与代数Riccati方程以及系统的稳定实现等方面都有很重要的应用正实性定义若G(s)在开右半平面内解析，且对于满足Re(s)>0的任意s，有G(s)+G(s*)≥0则称G(s)是正实的。若G(s)+G(s*)>0则称G(s)是严格正实的。注：若G