八年级数学上册12.3角平分线的性质

12.3角平分线性质第1页学习目标1、知识目标：

(1)

掌握角平分线画法及角平分线性质,能利用三角形全等证实角平分线性质；

(2)

会利用角平分线性质进行证实线段相等以及计算线段长度。2、能力目标：在利用尺规作图过程中，让学生在动手操作过程中深刻了解角平分线画法及发觉角平分线性质。

3、情感目标：在探索角平分线画法和性质中培养学生探究问题兴趣，增强处理问题信心。第2页1、角平分线概念一条射线把一个角分成两个相等角，这条射线叫做这个角平分线。oBCA12温故知新第3页oBCA12用符号语言表示为：∵ＯＣ平分∠ＡＯＢ∴∠1=∠2第4页2、点到直线距离:从直线外一点到这条直线垂线段长度，叫做点到直线距离。OPAB线段长度第5页不利用工具，请你将一张用纸片做角分成两个相等角。你有什么方法？再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？活动1（对折）AOBC探究新知第6页

假如前面活动中纸片换成木板、钢板等没法折角，又该怎么办呢？1、如图，是一个角平分仪，其中

AB=AD,BC=DC。将点A放在角顶点,AB和AD沿着角两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它道理吗?

活动2情境问题ADBCE第7页2、证实：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形对应边相等）∴AC平分∠DAB（角平分线定义）ADBCE第8页依据角平分仪制作原理怎样作一个角平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCE活动3NOMCENM第9页1〉平分平角∠AOB2〉经过上面步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？

3〉结论：作平角平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线垂线方法。活动4ABOCD实践应用(1)第10页探究角平分线性质

(1)试验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成三条折痕，你能得出什么结论？活动5

(2)猜测:角平分线上点到角两边距离相等.第11页证实：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO（垂直定义）在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO（已证）∠1=∠2（已证）

OP=OP（公共边）

∴

△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形对应边相等）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE探究角平分线性质活动5(3)验证猜测第12页角平分线上点到角两边距离相等。(4)得到角平分线性质：活动5

利用此性质怎样书写推理过程?∵∠1=∠2,

PD⊥OA，

PE⊥OB（已知）∴PD=PE（全等三角形对应边相等）PAOBCED12第13页定理：

角平分线上点到这个角两边距离相等.提醒:这个结论是经惯用来证实两条线段相等依据之一.几何语言：如图,∵OC是∠AOB平分线,P是OC上任意一点,

PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E∴PD=PE(角平分线上点到这个角两边距离相等).CB1A2PDEO第14页思索：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路交叉处５００米，应建在何处？（百分比尺1：20000）公路铁路处理问题：

作夹角角平分线OC，截取OD=2.5cm,D点即为

贸易市场应建位置.DCＳO第15页证实：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC角平分线，点P在BM上（已知）∴PD=PE（在角平分线上点到角两边距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA距离相等DEFABCPMN例一已知：如图，△ABC角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA距离相等.第16页如图，已知△ABC外角∠CBD

和∠BCE平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE平分线上．GHM实践应用(2)第17页证实：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M

∵点F在∠BCE平分线上，

FG⊥AE，FM⊥BC

∴FG＝FM，FM＝FH∵点F在∠CBD平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC∴点F在∠DAE平分线上GHM第18页1、如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EB

分析:要证CF=EB,首先我们想到是要证它们所在两个三角形全等,即Rt△CDF≌

Rt△EDB.

现已经有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE(因为角平分线性质)再用HL证实.试试自己写证实。你一定行！活动5ACDEBF第19页证实：∵AD是∠BAC平分线，

DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，

∴DE=DC又∵BD=DF，

∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）

∴CF=EB．第20页例二如图，在△ABC中，AD是它，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．求证：EB=FC．证实:∵AD是∠BAC角平分线

DE⊥AB,DF⊥AC.

∴DE=DF.(角平分线定理).在RT△EDB和RT△FDC中∵BD=CD.

DE=DF

∴RT△EDB≌RT△FDC(HL).

∴BE=CF.AFDBEC第21页变题1：如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC平分线，DE⊥AB于E，F

在AC上，且BD=DF，求证：CF=EB．证实∵AD是∠BAC平分线

DE⊥AB，∠C=90°∴CD=DE，∠BED=90°=∠C

在△CDF和△EDB中∵CD=ED，∠C=∠BED，

BE=CF，

∴△CDF≌△EDBCF=BE(SAS)

∴CF=EB．第22页变题2：如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC

平分线，DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求:DE．

解：∵AD是∠BAC平分线，∠C＝90°，DE⊥AB∴CD=DE∵BC=8，BD=5

BC=BD+CD，∴DE=CD=BC-BD，

=8-5=3第23页归纳小结1：画一个已知角角平分线

(注意作图痕迹和几何语言表示)2：角平分线性质：角平分线上

点到角两边距离相等．3：角平分线性