2024高考数学一轮复习课时作业28数系的扩充与复数的引入理

PAGEPAGE1课时作业28数系的扩充与复数的引入[基础达标]一、选择题1．[2024·南昌市调研]已知复数z满意(1＋i)z＝2，则复数z的虚部为()A．1B．－1C．iD．－i解析：由(1＋i)z＝2知z＝eq\f(2,1＋i)＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＝1－i，故z的虚部为－1.答案：B2．[2024·东北三省四市联合模拟]若复数z＝eq\f(1＋i,1＋ai)为纯虚数，则实数a的值为()A．1B．0C．－eq\f(1,2)D．－1解析：z＝eq\f(1＋i1－ai,1＋ai1－ai)＝eq\f(1＋a,1＋a2)＋eq\f(1－a,1＋a2)i，因为z为纯虚数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a＝0，1－a≠0，))解得a＝－1，故选D.答案：D3．[2024·武汉市中学调研]复数eq\f(5,i－2)＝()A．2＋iB．－2＋iC．－2－iD．2－i解析：eq\f(5,i－2)＝eq\f(5－2－i,i－2－2－i)＝－2－i，故选C.答案：C4．[2024·浙江卷]复数eq\f(2,1－i)(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：本小题考查复数的有关概念和运算．∵eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,1－i1＋i)＝1＋i，∴eq\f(2,1－i)的共轭复数为1－i.答案：B5．[2024·广州市高三调研考试]若复数z满意(1＋2i)z＝1－i，则|z|＝()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(\r(10),5)D.eq\r(10)解析：通解由(1＋2i)z＝1－i，可得z＝eq\f(1－i,1＋2i)＝eq\f(1－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1－2i－i－2,5)＝－eq\f(1,5)－eq\f(3,5)i，所以|z|＝eq\f(\r(1＋9),5)＝eq\f(\r(10),5)，选C.优解由(1＋2i)z＝1－i可得|(1＋2i)z|＝|1－i|，即|1＋2i||z|＝|1－i|，得到eq\r(5)|z|＝eq\r(2)，故|z|＝eq\f(\r(10),5)，选C.答案：C6．[2024·武汉市中学调研]已知复数z满意(3＋4i)z＝1－2i，则z＝()A．－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)iB．－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)iC.eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)iD.eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i解析：解法一由题意可得z＝eq\f(1－2i,3＋4i)＝eq\f(1－2i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(－5－10i,25)＝－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i.故选B.解法二设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为(3＋4i)z＝1－2i，所以(3＋4i)(a＋bi)＝1－2i，整理得(3a－4b)＋(3b＋4a)i＝1－2i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－4b＝1，3b＋4a＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,5)，b＝－\f(2,5)，))所以z＝－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i.故选B.答案：B7．[2024·福州四校高三联考]假如复数z＝eq\f(2,－1＋i)，则()A．z的共轭复数为1＋iB．z的实部为1C．|z|＝2D．z的实部为－1解析：∵z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝eq\f(－2－2i,2)＝－1－i，∴z的实部为－1，故选D.答案：D8．[2024·湖北省四校联考]已知复数eq\o(z,\s\up15(－))是z的共轭复数，若eq\o(z,\s\up15(－))满意(4－i)eq\o(z,\s\up15(－))＝5＋3i，则z＝()A．1－iB．1＋iC．－1－iD．－1＋i解析：由已知得eq\o(z,\s\up15(－))＝eq\f(5＋3i,4－i)＝eq\f(5＋3i4＋i,4－i4＋i)＝eq\f(17＋17i,17)＝1＋i，∴z＝1－i，故选A.答案：A9．[2024·石家庄检测]已知复数z满意zi＝i＋m(m∈R)，若z的虚部为1，则复数z在复平面内对应的点在()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限解析：∵zi＝i＋m，∴z＝eq\f(i＋m,i)＝1－mi，由于z的虚部为1，故－m＝1，∴z＝1＋i，复数z对应的点为(1,1)，即复数z对应的点在第一象限，故选A.答案：A10．[2024·石家庄中学模拟考试]已知i为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi|＝()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C．2D．4解析：∵(1＋i)x＝2＋yi，∴x＋xi＝2＋yi，∴x＝y＝2，∴|x＋yi|＝|2＋2i|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).故选A.答案：A二、填空题11．[2024·福建检测]已知复数z满意z(1＋i)＝2－eq\o(z,\s\up15(－))，则z2＝________.解析：通解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\o(z,\s\up15(－))＝a－bi.由题意，知(a＋bi)(1＋i)＝2－(a－bi)，即(a－b)＋(a＋b)i＝(2－a)＋bi.由复数相等，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝2－a，a＋b＝b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，b＝－2，))所以z＝－2i，所以z2＝－4.优解由z(1＋i)＝2－eq\o(z,\s\up15(－))，得iz＝2－(z＋eq\o(z,\s\up15(－)))．因为z＋eq\o(z,\s\up15(－))∈R，所以iz∈R，则复数z必为纯虚数，所以z＝－eq\o(z,\s\up15(－))，所以iz＝2，即z＝eq\f(2,i)＝－2i，所以z2＝－4.答案：－412．设z2＝z1－ieq\o(z,\s\up15(－))1(其中eq\o(z,\s\up15(－))1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________．解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，所以eq\o(z,\s\up15(－))1＝a－bi，z2＝z1－ieq\o(z,\s\up15(－))1＝a＋bi－i(a－bi)＝a＋bi－ai－b＝a－b＋(b－a)i，因为z2的实部是－1，所以a－b＝－1，所以z2的虚部为b－a＝1.答案：113．[2024·福建检测]已知复数z满意eq\o(z,\s\up15(－))(3＋4i)＝4＋3i，则|z|＝________.解析：解法一因为eq\o(z,\s\up15(－))＝eq\f(4＋3i,3＋4i)＝eq\f(4＋3i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(24,25)－eq\f(7,25)i，所以z＝eq\f(24,25)＋eq\f(7,25)i，所以|z|＝1.解法二设z＝x＋yi(x，y∈R)，则eq\o(z,\s\up15(－))＝x－yi，所以(x－yi)(3＋4i)＝4＋3i，以3x＋4y＋(4x－3y)i＝4＋3i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝4，4x－3y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(24,25)，y＝\f(7,25).))所以|z|＝1.解法三由eq\o(z,\s\up15(－))(3＋4i)＝4＋3i，得|eq\o(z,\s\up15(－))(3＋4i)|＝|4＋3i|，即5|eq\o(z,\s\up15(－))|＝5，所以|z|＝1.答案：114．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若eq\o(OC,\s\up15(→))＝λeq\o(OA,\s\up15(→))＋μeq\o(OB,\s\up15(→))，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得eq\o(OC,\s\up15(→))＝(3，－4)，eq\o(OA,\s\up15(→))＝(－1,2)，eq\o(OB,\s\up15(→))＝(1，－1)，依据eq\o(OC,\s\up15(→))＝λeq\o(OA,\s\up15(→))＋μeq\o(OB,\s\up15(→))得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，μ＝2.))∴λ＋μ＝1.答案：1[实力挑战]15．[2024·郑州预料]若复数z＝eq\f(2＋i,i5－1)，则复数z在复平面内对应的点在()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限解析：因为z＝eq\f(2＋i,i5－1)＝eq\f(2＋i,i－1)＝eq\f(2＋ii＋1,i－1i＋1)＝eq\f(1＋3i,i2－1)＝eq\f(1＋3i,－2)＝－eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i，所以复数z在复平面内对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(3,2)))，在第三象限，故选C.答案：C16．[2024·太原市高三模拟试题]若复数z＝eq\f(1＋mi,1＋i)在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－1,1)B．(－1,0)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)解析：通解因为z＝eq\f(1＋mi,1＋i)＝eq\f(1＋mi1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1＋m,2)＋eq\f(m－1,2)i在复平面内对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋m,2)，\f(m－1,2)))，且在第四象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1＋m,2)>0，\f(m－1,2)<0，))解得－1<m<1，故选A.优解当m＝0时，z＝eq\f(1,1＋i)＝eq\f(1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，在复平面内对应的点在第四象限，所以解除选项B，C，D，故选A.答案：A17．[2024·南昌模拟]欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士闻名数学家欧拉发觉的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函