2024-2025学年高中数学周周回馈练6含解析新人教A版必修4

PAGE1-周周回馈练对应学生用书P95一、选择题1．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－eq\f(1,3)，则cos2α＝()A．eq\f(\r(17),9)B．－eq\f(\r(17),10)C．－eq\f(\r(17),9)D．eq\f(\r(17),10)答案A解析因为cosα＋sinα＝－eq\f(1,3)，α∈(0，π)，所以sin2α＝－eq\f(8,9)，cosα<0，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，所以2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，所以cos2α＝eq\r(1－sin22α)＝eq\f(\r(17),9)．故选A．2．若eq\f(1－tanθ,2＋tanθ)＝1，则eq\f(cos2θ,1＋sin2θ)的值为()A．3B．－3C．－2D．－eq\f(1,2)答案A解析由eq\f(1－tanθ,2＋tanθ)＝1得tanθ＝－eq\f(1,2)，则eq\f(cos2θ,1＋sin2θ)＝eq\f(cos2θ－sin2θ,sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ)＝eq\f(1－tan2θ,tan2θ＋2tanθ＋1)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1)＝3．3．cos76°cos16°＋cos14°cos74°－2cos75°cos15°＝()A．0B．eq\f(\r(3),2)C．1D．－eq\f(1,2)答案A解析因为cos76°cos16°＋cos14°cos74°＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝eq\f(1,2)，2cos75°cos15°＝2sin15°cos15°＝sin30°＝eq\f(1,2)，所以原式＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，故选A．4．当y＝2cosx－3sinx取得最大值时，tanx的值是()A．eq\f(3,2)B．－eq\f(3,2)C．eq\r(13)D．4答案B解析y＝2cosx－3sinx＝eq\r(13)eq\f(2,\r(13))cosx－eq\f(3,\r(13))sinx＝eq\r(13)(sinφcosx－cosφsinx)＝eq\r(13)sin(φ－x)，当sin(φ－x)＝1，即φ－x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，y取到最大值．∴φ＝2kπ＋eq\f(π,2)＋x(k∈Z)，∴sinφ＝cosx，cosφ＝－sinx，∴cosx＝sinφ＝eq\f(2,\r(13))，sinx＝－cosφ＝－eq\f(3,\r(13))．∴tanx＝－eq\f(3,2)．5．设M＝{平面内的点(a，b)}，N＝{f(x)|f(x)＝acos2x＋bsin2x}，给出M到N的映射f：(a，b)→f(x)＝acos2x＋bsin2x，则点(1，eq\r(3))的象f(x)的最小正周期为()A．eq\f(π,2)B．eq\f(π,4)C．πD．2π答案C解析点(1，eq\r(3))的象f(x)＝cos2x＋eq\r(3)sin2x＝2eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＝2sin2x＋eq\f(π,6)，则f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π．6．4cos50°－tan40°＝()A．eq\r(2)B．eq\f(\r(2)＋\r(3),2)C．eq\r(3)D．2eq\r(2)－1答案C解析4cos50°－tan40°＝4cos50°－eq\f(sin40°,cos40°)＝eq\f(4sin40°·cos40°,cos40°)－eq\f(sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin80°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2cos10°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2cos10°－sin30°＋10°,cos40°)＝eq\f(\f(3,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°,cos40°)＝eq\f(\r(3)cos30°cos10°－sin30°sin10°,cos40°)＝eq\f(\r(3)cos40°,cos40°)＝eq\r(3)．二、填空题7．已知A，B都是锐角，且tanA＝eq\f(1,3)，sinB＝eq\f(\r(5),5)，则A＋B＝________．答案eq\f(π,4)解析∵B为锐角，sinB＝eq\f(\r(5),5)，∴cosB＝eq\f(2\r(5),5)，∴tanB＝eq\f(1,2)，∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq\f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1，又∵0<A＋B<π，∴A＋B＝eq\f(π,4)．8．taneq\f(π,8)＋taneq\f(5π,12)＝________．答案eq\r(3)＋eq\r(2)＋1解析原式＝eq\r(\f(1－cos\f(π,4),1＋cos\f(π,4)))＋eq\r(\f(1－cos\f(5π,6),1＋cos\f(5π,6)))＝eq\r(\f(1－\f(\r(2),2),1＋\f(\r(2),2)))＋eq\r(\f(1＋\f(\r(3),2),1－\f(\r(3),2)))＝eq\r(3)＋eq\r(2)＋1．9．eq\f(sin7°＋cos15°sin8°,cos7°－sin15°sin8°)的值为________．答案2－eq\r(3)解析原式＝eq\f(sin15°－8°＋cos15°sin8°,cos15°－8°－sin15°sin8°)＝eq\f(sin15°cos8°,cos15°cos8°)＝tan15°＝tan(45°－30°)＝eq\f(1－tan30°,1＋tan30°)＝2－eq\r(3)．三、解答题10．化简：eq\f(sinα－β,sinαsinβ)＋eq\f(sinβ－θ,sinβsinθ)＋eq\f(sinθ－α,sinθsinα)．解原式＝eq\f(sinαcosβ－cosαsinβ,sinαsinβ)＋eq\f(sinβcosθ－cosβsinθ,sinβsinθ)＋eq\f(sinθcosα－cosθsinα,sinθsinα)＝eq\f(1,tanβ)－eq\f(1,tanα)＋eq\f(1,tanθ)－eq\f(1,tanβ)＋eq\f(1,tanα)－eq\f(1,tanθ)＝0．11．求证：eq\f(sin2x,sinx＋cosx－1sinx－cosx＋1)＝eq\f(1,tan\f(x,2))．证明左边＝eq\f(2sinxcosx,[sinx＋cosx－1][sinx－cosx－1])＝eq\f(2sinxcosx,sin2x－cosx－12)＝eq\f(2sinxcosx,sin2x－cos2x＋2cosx－1)＝eq\f(2sinxcosx,－2cos2x＋2cosx)＝eq\f(sinx,1－cosx)＝eq\f(2sin\f(x,2)cos\f(x,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2sin2\f(x,2))))＝eq\f(cos\f(x,2),sin\f(x,2))＝eq\f(1,tan\f(x,2))＝右边．12．设函数f(x)＝sinx＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))．(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的改变得到．解(1)f(x)＝sinx＋sinxcoseq\f(π,3)＋cosxsineq\f(π,3)＝sinx＋eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx＝eq\f(3,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝－1时，f(x)min＝－eq\r(3)，此时x＋eq\f(π,6)＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，所以x＝eq\f(4π,3)＋2kπ(k∈Z)