数列不等式-裂项放缩技巧

PAGE第10页，共10页数列不等式－裂项放缩技巧班级__________座号_____姓名__________分数__________一、解答题1．已知数列的前项和和通项满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设函数，，求.2．已知正项数列的前n项和满足（1）求数列的通项公式；（2）设是数列的前n项的和，求证：3．设数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设记证明：Sn＜1.4．在数列{}中，，并且对任意都有成立，令．（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）设数列{}的前n项和为，证明：5．数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，.（1）求数列、的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.6．已知数列满足，且对任意非负整数均有：.（1）求；（2）求证：数列是等差数列，并求的通项；（3）令，求证：.7．正项数列的前n项和为，且。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：。8．在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，证明：.9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=49，a4和a8的等差中项为2.（1）求an及Sn；（2）证明：当n≥2时，有．10．已知数列满足．（1）求及通项公式；（2）求证：．11．已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，首项（1）求和的通项公式.（2）设，数列的前项和为，求证：．12．设正项数列的前项和，且满足.（Ⅰ）计算的值，猜想的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）设是数列的前项和，证明：.

数列不等式－裂项放缩技巧（参考答案）一、解答题1．（Ⅰ）当时，∴，3分由得∴数列是首项、公比为的等比数列，∴5分（Ⅱ）证法1：由得7分，∴∴9分〔证法2：由（Ⅰ）知，∴7分，∴8分即9分（Ⅲ）＝10分＝12分∵∴＝14分2．3．（1）由题意，当时，两式相减，得所以，当时，………………4分当n＝1时，也满足上式，所求通项公式……6分（2）……………………8分………10分＜1.……………………12分4．（Ⅰ）当n=1时，,当时，由得所以4分所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，所以数列的通项公式为5分（Ⅱ）7分11分可知Tn是关于变量n的增函数，当n趋近无穷大时，的值趋近于0，当n=1时Tn取最小值，故有14分5．（1）∵是和的等差中项，∴当时，，∴当时，，∴，即3分∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，5分设的公差为，，，∴∴6分（2）7分∴9分∵,∴10分∴数列是一个递增数列∴.综上所述，12分6．（1）令得，1分令，得，∴3分（2）令，得：∴，又，∴数列是以2为首项，2为公差的等差数列.∴∴∴9分（3）∴∴13分7．（Ⅰ）由知，当时，，解得；当时，，（3分）整理得，又为正项数列，故（），因此数列是首项为2，公差为4的等差数列，。（6分）（Ⅱ）由于=（8分）因此=。（12分）8．（1）设等差数列{an}的公差为d．由已知得，注意到d≠0，解得a1＝2，d＝1．所以an＝n＋1．4分（2）由（1）可知，，因为，所以数列{bn}单调递增．8分．9分又，因此．12分9．（1）解法一：设等差数列的公差为，所以有，2分解得，4分所以6分解法二：1分2分3分4分所以6分（2）证明：方法一：由（Ⅰ）知，①当时，原不等式亦成立7分②当时，，9分＝＝＝2分12分方法二：由（Ⅰ）知，当时，8分＝＝＝2分12分10．（1）解：n=1时，有，解得=31分时，由得，两式相减得，解得，5分满足=3，故7分（2）10分所以14分11．（1）设公差为，公比为，则,，是单调递增的等差数列，.则,,（2）∵，∴.12．（ⅰ）当n=1时，显然成立.（ⅱ）假设当n=k时，1’则当n=k+1时，结合，解得2’于是对于一切的自然数，都有