2025版高考数学一轮复习第十篇概率第2节古典概型与几何概型课时作业文含解析新人教A版

PAGEPAGE2第2节古典概型与几何概型课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为()(A)eq\f(5,36) (B)eq\f(1,6)(C)eq\f(2,15) (D)eq\f(1,12)A解析：基本领件的总数为36，点数之和为8的有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)五种状况，故其概率为eq\f(5,36).2．某单位安排在3月1日至7日举办人才沟通会，某人随机选择其中的连续两天参与沟通会，那么他在1日至3日期间连续两天参与沟通会的概率为()(A)eq\f(1,2) (B)eq\f(1,3)(C)eq\f(1,4) (D)eq\f(1,6)B解析：在1日至7日选连续两天，有基本领件为：(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，共6个．符合条件的基本领件有：(1，2)，(2，3)，共2个．∴所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).3．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()(A)eq\f(7,9) (B)eq\f(1,3)(C)eq\f(5,9) (D)eq\f(2,3)D解析：f′(x)＝x2＋2ax＋b2,要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由题意知全部的基本领件有9个，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，其次个数表示b满意a2＞b2的有6个基本领件，即(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，所以所求事务的概率为eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).4．(改编题)在一种嬉戏规则中规定，要将一枚质地匀称的铜板扔到一个边长为8的小方块上(铜板的直径是4)，若铜板完整的扔到小方块上即可晋级．现有一人把铜板扔在小方块上且没有掉下来，其晋级的概率为()(A)eq\f(1,64) (B)eq\f(1,16)(C)eq\f(1,8) (D)eq\f(1,4)D解析：由题意分析知，要完整的落在正方形内部，则铜板中心到小方块的边长的距离不小于铜板半径的长．所以晋级的概率为eq\f(42,82)＝eq\f(1,4).故选D.5．(2024南昌二模)在《周易》中，长横“__”表示阳爻，两个短横“__”表示阴爻，有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8种组合方法，这便是《系辞传》所说：”太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的状况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的状况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的状况，即为八卦，在一次卜卦中，恰好出现两个阳爻一个阴爻的概率是()(A)eq\f(1,8) (B)eq\f(1,4)(C)eq\f(3,8) (D)eq\f(1,2)C解析：在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本领件总数n＝23＝8，这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻包含的基本领件m＝3，∴这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻的概率是p＝eq\f(m,n)＝eq\f(3,8).故选C.6．(2024石家庄模拟)已知O，A，B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A，B之间的直线马路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过eq\r(3)km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不精确，则该测绘队员能够得到精确数据的概率是()(A)eq\f(1,2) (B)eq\f(\r(2),2)(C)1－eq\f(\r(3),2) (D)1－eq\f(\r(2),2)D解析：由题意知在等腰直角三角形OAB中，以O为圆心，eq\r(3)为半径的圆截AB所得的线段长为2，而|AB|＝2eq\r(2)，故该测绘队员能够得到精确数据的概率是1－eq\f(2,2\r(2))＝1－eq\f(\r(2),2).7．在区间[0，π]上随机取一个数θ，则使eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2成立的概率是________．解析：由eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2，得eq\f(\r(2),2)≤sin(θ＋eq\f(π,4))≤1，结合θ∈[0，π]，得θ∈[0，eq\f(π,2)]，∴使eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2成立的概率为eq\f(\f(π,2),π)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)8．已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，则该函数有两个零点的概率为________．解析：要使函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2有两个零点，即方程x2－2ax＋b2＝0要有两个实根，则Δ＝4a2－4b2＞0，又a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，即a＞b，而a，b的取法共有3×3＝9种，其中满意a＞b的取法有(4，3)，(6，3)，(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)，共6种，所以所求的概率为eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)9．(2024岳阳一模)有3个爱好小组，甲、乙两位同学各自参与其中一个小组，每位同学参与各个小组的可能性相同，则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为________．解析：甲、乙两位同学参与3个小组的全部可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参与同一个小组的状况有3(种)．故甲、乙两位同学参与同一个爱好小组的概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)10．(2024洛阳模拟)现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品．(1)假如从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率．(2)假如从中一次取3件，求3件都是正品的概率．解：(1)有放回地抽取3次，按抽取依次(x，y，z)记录结果，则x，y，z都有10种可能，所以基本领件总数为10×10×10＝103(种)；设事务A为“连续3次都取出正品”，则包含的基本领件共有8×8×8＝83种，因此P(A)＝eq\f(83,103)＝0.512.(2)可以看作不放回抽样3次，依次不同，基本领件不同，按抽取依次记录(x，y，z)，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以基本领件总数为10×9×8.设事务B为“3件都是正品”，则事务B包含的基本领件总数为8×7×6，所以P(B)＝eq\f(8×7×6,10×9×8)＝eq\f(7,15).实力提升练(时间：15分钟)11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一点P，△ABP的最大边是AB的概率是()(A)eq\f(\r(2),2) (B)eq\f(\r(3),2)(C)eq\r(2)－1 (D)eq\r(3)－1D解析：如图，分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于P1，P2，则当P在线段P1P2间运动时，能使得△ABP的最大边是AB，易得eq\f(P1P2,CD)＝eq\r(3)－1，即△ABP的最大边是AB的概率是eq\r(3)－1.故选D.12．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离不小于1的概率为()(A)eq\f(π,4) (B)1－eq\f(π,4)(C)eq\f(π,8) (D)1－eq\f(π,8)D解析：分别以菱形ABCD的各个顶点为圆心，作半径为1的圆，如图所示．在菱形ABCD内任取一点P，则点P位于四个圆的外部或在圆上时，满意点P到四个顶点的距离均不小于1，即图中的阴影部分区域．∵S菱形ABCD＝AB·BCsin150°＝4×4×eq\f(1,2)＝8，∴S阴影＝S菱形ABCD－S空白＝8－π×12＝8－π，∴该点到四个顶点的距离均不小于1的概率P＝eq\f(S阴影,S菱形ABCD)＝eq\f(8－π,8)＝1－eq\f(π,8).故选D.13．在[－2，2]上随机地取两个实数a，b，则事务“直线x＋y＝1与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2有交点”发生的概率为________．解析：直线x＋y＝1与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2有交点，则有d＝eq\f(|a＋b－1|,\r(2))≤eq\r(2)，即|a＋b－1|≤2，∴－1≤a＋b≤3，其表示的平面区域如图中的阴影部分所示，所以P(－1≤a＋b≤3)＝eq\f(4×4－（\f(1,2)＋\f(1,2)×3×3）,4×4)＝eq\f(11,16).答案：eq\f(11,16)14．(2024威海调研)在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm解析：不妨设长为xcm，则宽为(12－x)cm，由x(12－x)＞20，得2＜x＜10，所以该矩形面积大于20cm2的概率为eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)15．已知关于x的二次函数f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1.(1)若a，b分别表示将一质地匀称的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、其次次出现的点数，求y＝f(x)恰有一个零点的概率．(2)若a，b∈[1，6]，求满意y＝f(x)有零点的概率．解：(1)设(a，b)表示一个基本领件，则抛掷两次骰子的全部基本领件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(6，5)，(6，6)，共36个．用A表示事务“y＝f(x)恰有一个零点”，即Δ＝[－(a＋1)]2－4b2＝0，则a＋1＝2b.则A包含的基本领件有(1，1)，(3，2)，(5，3)，共3个，所以P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).即事务“y＝f(x)恰有一个零点”的概率为eq\f(1,12).(2)用B表示事务“y＝f(x)有零点”，即a＋1≥2b.试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|1≤a≤6，1≤b≤6}，构成事务B的区域为{(a，b)|1≤a≤6，1≤b≤6，a－2b＋1≥0}，如图所示：所以所求的概率为P(B)＝eq\f(\f(1,2)×5×\f(5,2),5×5)＝eq\f(1,4).即事务“y＝f(x)有零点”的概率为eq\f(1,4).16．设O为坐标原点，点P的坐标(x－2，x－y)．(1)在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从今盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求事务“|OP|取到最大值”的概率；(2)若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．解：(1)记抽到的卡片标号为(x，y)，全部的状况分别如下表：(x，y)(1，1)(1，2)(1，3)(2，1)(2，2)(2，3)(3，1)(3，2)(3，3)P(x－2，x－y)(－1，0)(－1，－1)(－1，－2)(0，1)(0，0)(0，－1)(1，2)(1，1)(1，0)|OP|1eq\r(2)eq\r(5)101eq\r(5)eq\r(2)1其中基本领件是总数为9，随机事务A“|OP|取最大