2025版高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第5节直接证明与间接证明数学归纳法教学案理含解析新人教A版

PAGE3-第五节干脆证明与间接证明、数学归纳法[考纲传真]1.了解干脆证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思索过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思索过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简洁的数学命题．1．干脆证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最终推导出所要证明的结论成立的证明方法．(2)分析法定义：从要证明的结论动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最终，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法．2．间接证明——反证法一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．3．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0起先的全部正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．[常用结论]利用归纳假设的技巧在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要驾驭n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．[基础自测]1．(思索辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．()(2)综合法是干脆证明，分析法是间接证明．()(3)分析法是从要证明的结论动身，逐步找寻使结论成立的充要条件．()(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(a≠1，n∈N*)”时，在验证n＝1成立时，左边应当是()A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3C[n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C.]3．命题“对于随意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法结合运用D．间接证法B[由证明过程看是用了综合法的证明，故选B.]4．设a，b，c都是正数，则a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)三个数()A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2D[∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥6，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴三个数中至少有一个不小于2.]5．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝eq\f(n2n2＋1,3)时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是()A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2C．(k＋1)2 D.eq\f(1,3)(k＋1)[2(k＋1)2＋1]B[若n＝k时成立，即12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝eq\f(k2k2＋1,2)成立，那么n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12，对比n＝k时的式子可知，当n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(k＋1)2＋k2，故选B.]分析法的应用1．若a，b∈(1，＋∞)，证明eq\r(a＋b)＜eq\r(1＋ab).[证明]要证eq\r(a＋b)＜eq\r(1＋ab)，只需证(eq\r(a＋b))2＜(eq\r(1＋ab))2，只需证a＋b－1－ab＜0，即证(a－1)(1－b)＜0.因为a＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0，即(a－1)(1－b)＜0成立，所以原不等式成立．2．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).[证明]要证eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即证eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，也就是eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．[规律方法]1逆向思索是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步找寻使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺当解决的关键.2证明较困难的问题时，可以采纳两头凑的方法，即通过分析法找出某个与结论等价或充分的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.综合法的应用【例1】设数列{an}的前n项和为Sn，已知3an－2Sn＝2.(1)证明{an}是等比数列并求出通项公式an；(2)求证：Seq\o\al(2,n＋1)－SnSn＋2＝4×3n.[证明](1)因为3an－2Sn＝2，所以3an＋1－2Sn＋1＝2，所以3an＋1－3an－2(Sn＋1－Sn)＝0.因为Sn＋1－Sn＝an＋1，所以eq\f(an＋1,an)＝3，所以{an}是等比数列．当n＝1时，3a1－2S1＝2，又S1＝a1，所以a1＝2.所以{an}是以2为首项，以3为公比的等比数列，其通项公式为an＝2×3n－1.(2)由(1)可得Sn＝3n－1，Sn＋1＝3n＋1－1，Sn＋2＝3n＋2－1，故Seq\o\al(2,n＋1)－SnSn＋2＝(3n＋1－1)2－(3n－1)(3n＋2－1)＝4×3n，即Seq\o\al(2,n＋1)－SnSn＋2＝4×3n.[规律方法]1综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实推断命题动身，经过一系列中间推理，最终导出所要求证结论的真实性.2综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤eq\f(1,3)；(2)eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).(2)因为a，b，c均为正数，eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c，所以eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.反证法的应用【例2】设a>0，b>0，且a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不行能同时成立．[证明]由a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2eq\r(ab)＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1冲突．故a2＋a<2与b2＋b<2不行能同时成立．[规律方法]用反证法证明问题的步骤1反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立否定结论2归谬：将“反设”作为条件，由此动身经过正确的推理，导出冲突，冲突可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实冲突或自相冲突.推导冲突3立论：因为推理正确，所以产生冲突的缘由在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成立，从而确定了原命题成立.命题成立设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？[解](1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则Seq\o\al(2,2)＝S1S3，即aeq\o\al(2,1)(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0冲突，所以数列{Sn}不是等比数列．(2)当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列．假设{Sn}是等差数列，则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0冲突．综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列．数学归纳法的应用【例3】已知f(n)＝1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋eq\f(1,43)＋…＋eq\f(1,n3)，g(n)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n2)，n∈N*.(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．[解](1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n＝2时，f(2)＝eq\f(9,8)，g(2)＝eq\f(11,8)，所以f(2)＜g(2)；当n＝3时，f(3)＝eq\f(251,216)，g(3)＝eq\f(312,216)，所以f(3)＜g(3)．(2)由(1)猜想，f(n)≤g(n)，用数学归纳法证明．①当n＝1,2,3时，不等式明显成立．②假设当n＝k(k＞3，k∈N*)时不等式成立，即1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋eq\f(1,43)＋…＋eq\f(1,k3)＜eq\f(3,2)－eq\f(1,2k2)，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋eq\f(1,k＋13)＜eq\f(3,2)－eq\f(1,2k2)＋eq\f(1,k＋13).因为eq\f(1,2k＋12)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2k2)－\f(1,k＋13)))＝eq\f(k＋3,2k＋13)－eq\f(1,2k2)＝eq\f(－3k－1,2k＋13k2)＜0，所以f(k＋1)＜eq\f(3,2)－eq\f(1,2k＋12)＝g(k＋1)．由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．[规律方法]1.应用数学归纳法证明不等式应留意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他方法不简洁证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采纳分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法．2．利用数学归纳法可以探究与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发觉结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性．设数列{an}的前n项和为Sn，满意Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)由Sn＝2nan＋1－3n2－4n，得S2＝4a3－20，S3＝S2＋a3＝5a3－20.又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8.∵S2＝S1＋a2＝(2a2