结构力学II 课件 第9-12章-矩阵位移法 -结构的极限荷载

9-1概述9-2一般杆件的单元分析9-3刚架的整体分析9-4一般荷载作用下的刚架分析9-5连续梁、桁架及组合结构的分析9-6支座移动和温度改变时的分析9-7后处理法简介第9章矩阵位移法第九章矩阵位移法9-1-1矩阵分析法9-1矩阵位移法概述矩阵分析法矩阵力法(柔度法)——应用少矩阵位移法(刚度法)——应用广传统位移法——手算矩阵位移法——电算原理同，实施方法不同位移法2.矩阵位移法步骤1)离散——将原结构分离成单元(杆件)2)单元分析——建立单元杆端力与杆端位移关系3)整体分析——建立结构结点力与结点位移关系4)再次单元分析——计算单元最终杆端力1.矩阵分析法9-1-2矩阵位移法步骤9-1矩阵位移法概述2)建立单刚方程：Fe

=ke

e

3)建立总刚方程和位移法方程并求解：F=K

,K

=P单元刚度矩阵整体刚度矩阵145263789101)离散：对单元、结点编码

4)再次单元分析：叠加法求单元最终杆端力

9-1-3坐标系与正负号规定9-1矩阵位移法概述采用右手坐标系:(1)各个单元的坐标系——局部坐标系(2)整体结构的坐标系——整体坐标系xy

123A(0,0,0)B(1,2,3)C(4,5,6)D(0,0,0)——结点(杆端)力、位移均沿坐标正方向为正9-1概述9-2一般等截面杆件的单元分析9-3刚架的整体分析9-4一般荷载作用下的刚架分析9-5连续梁、桁架及组合结构的分析9-6支座移动和温度改变时的分析9-7后处理法简介第九章矩阵位移法第9章矩阵位移法9-2-1局部坐标系下的单元刚度矩阵9-2一般等截面杆件的单元分析单元杆端位移向量单元杆端力向量图中物理量均为正ij9-2-1局部坐标系下的单元刚度矩阵9-2一般等截面杆件的单元分析单元杆端力-杆端位移关系(e)ijl（1）（2）——局部坐标系中的单元刚度方程9-2-1局部坐标系下的单元刚度矩阵9-2一般等截面杆件的单元分析——局部坐标系中的单元刚度矩阵(1)单刚9-2-1局部坐标系下的单元刚度矩阵9-2一般等截面杆件的单元分析(2)单刚元素(单元刚度系数)的物理意义(3)单刚矩阵的性质——当第

s个杆端位移分量(其他位移分量为零)时,所引起的第r个杆端力分量的值。①对称性——反力互等定理;②奇异性——|ke|=0给定

唯一给定无确定解9-2-2整体坐标系下的单元刚度矩阵9-2一般等截面杆件的单元分析顺时针杆端位移变换式：

e=T

eji(x,y)9-2-2整体坐标系下的单元刚度矩阵9-2一般等截面杆件的单元分析T1=TT——T为正交矩阵单元刚度方程：Fe=ke

e单刚变换式：——性质不变杆端力变换式：反变换式整体坐标系中的单元刚度矩阵

e=T

T

e

Fe=TTFe

Fe=TFeke=TTkeT9-2-2整体坐标系下的单元刚度矩阵9-2一般等截面杆件的单元分析ji子块形式（r、s=i、j）9-2-2整体坐标系下的单元刚度矩阵9-2一般等截面杆件的单元分析kije、kjje与kije相互关系：9-1概述9-2一般等截面杆件的单元分析9-3刚架的整体分析9-4一般荷载作用下的刚架分析9-5连续梁、桁架及组合结构的分析9-6支座移动和温度改变时的分析9-7后处理法简介第九章矩阵位移法第9章矩阵位移法9-3-1整体刚度矩阵的形成9-3刚架的整体分析整体刚度方程：

P=K

整体结点位移向量(考虑轴向变形)：

=[

1

2

3

4

5

6

7]T整体结点荷载向量：P=[P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7]T(2)(1)(3)BADC342176500000结点位移整体码(先处理法)xyq9-3-1整体刚度矩阵的形成9-3刚架的整体分析Ri+R'i=0P2P3P1P7P6P5P4P2P3P1P7P6P5P4R'i=-PiP=[P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7]TP=RR'2R'3R'1R'7R'6R'5R'4荷载下约束反力R'R2R3R1R7R6R5R4所有变形产生的约束反力R9-3-1整体刚度矩阵的形成9-3刚架的整体分析CBAD(2)(1)(3)

5=1K55K25K35K45K15K65K75(2)(1)(3)BADC342176500000xyq结构基本体系第j个结点位移分量

j=1(其他结点位移分量为零)时，所产生的i

方向约束反力。P=K

结点位移整体码节点的约束反力9-3-2整体坐标系下的局部编码9-3刚架的整体分析i(2)(1)ji(3)jij1

2

3

4

5

6

1

2

3

1

2

3

4

5

6

4

5

6

整体坐标系局部编码i(2)(1)ji(3)jij1

2

3

4

5

6

2

1

3

1

2

3

5

4

6

4

5

6

局部坐标系局部编码ke=TTk

eT9-3-3整体刚度元素确定方法9-3刚架的整体分析CBAD(2)(1)(3)K25K35K45K15

5=1K55K65K75K55K65K75C(2)ij1

2

3

4

5

6

(3)ij1

2

3

4

5

6

整体结构位移编码（整体编码）杆端位移局部码（局部编码）1)结点平衡法（传统方法，手算、校核计算）9-3-3整体刚度元素确定方法9-3刚架的整体分析2)单元集成法（计算机方法）K55K65K75C整体刚度矩阵Kij的值=各个杆件单元刚度矩阵与其物理含义对应元素值的和1）将各个杆件单元的局部编码改写为整体编码，则单元刚度矩阵元素的物理意义和整体刚度矩阵元素的物理意义就能匹配。2）将单元刚度矩阵用整体编码表示，将各个元素按照整体编码指示的物理意义，填入和整体刚度矩阵大小和编码一致的矩阵。3）各个单元的扩充矩阵（贡献矩阵）求和→整体刚度矩阵。[kn'm']el6×6[kij]ClN×NK=∑[k]Cl形成各个单元的贡献矩阵9-3-3整体刚度元素确定方法9-3刚架的整体分析(a)建立结点位移局部与整体编码的关系—单元定位向量(b)对单刚元素换码就位——对号入座局部编码CxyBAD(2)(1)(3)342176500000整体坐标系整体编码i(2)(1)ji(3)jij1

2

3

4

5

6

1

2

3

1

2

3

4

5

6

4

5

6

整体坐标系局部编码9-3-3整体刚度元素确定方法9-3刚架的整体分析CBAD(2)(1)(3)342176500000单元贡献矩阵9-3-3整体刚度元素确定方法9-3刚架的整体分析a)对总刚清零，K=0；b)形成整体坐标系下的单刚k(e)

；c)对各单刚元素换码就位并累加—对号入座；d)对各单元完成上述计算，得总刚。CxyBAD(2)(1)(3)342176500000快速方法：边定位，边累加整体坐标系编码9-3-4整体刚度矩阵的性质9-3刚架的整体分析(1)元素Krs物理意义:a)对称性;b)引入约束条件(排除刚体位移)后，K可逆;c)带状稀疏性。基本体系第s个结点位移分量s=1(其他结点位移分量为零)时，所产生的第r个方向的约束反力。(2)整体刚度矩阵9-3-5结点荷载作用下的整体分析9-3刚架的整体分析P=[P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7]TK

=P1.求解思路P2P3P1P7P6P5P4R2R3R1R7R6R5R4基本体系受结点位移作用R=PP2P3P1P7P6P5P4基本体系受荷载作用（结点荷载下内力=0）9-3-5结点荷载作用下的整体分析9-3刚架的整体分析预设定整体结点力向量{P}整体刚度矩阵[K][K]N×N{D}N×1={P}N×1

{D}N×1

{D}e6×1l{F}e6×1=[T]{F}e6×1{F}e6×1=[K]e6×6{D}e6×1{D}e6×1=[T]{D

}e6×1{F}e6×1=[K]e6×1{D

}e6×1弯矩图9-3-5结点荷载作用下的整体分析9-3刚架的整体分析【例9-2】试形成整体刚度矩阵，并计算在图示荷载作用下的结点位移和杆端力，作出内力图CxyBAD4m3m4m18kN101.16kN9kNm45kN18kNm33kNm2.88kN23CBAD(2)(1)(3)1765400000P=[1845332.88101.169

18]T整体坐标系编码外荷载作用9-3-5结点荷载作用下的整体分析9-3刚架的整体分析(1)单元及结点位移编码（共3个单元，7个结点位移）

(1)=[123000]T23CBAD(2)(1)(3)1765400000

(2)=[123456]T

(3)=[456007]T整体坐标系编码整体坐标系局部编码9-3-5结点荷载作用下的整体分析9-3刚架的整体分析(2)整体坐标系下单元刚度矩阵，获得贡献矩阵

(1)=[123000]T单元1的刚度矩阵单元1的贡献矩阵9-3-5结点荷载作用下的整体分析9-3刚架的整体分析

(2)=[123456]T(2)整体坐标系下单元刚度矩阵，获得贡献矩阵单元2的刚度矩阵单元2的贡献矩阵9-3-5结点荷载作用下的整体分析9-3刚架的整体分析

(3)=[4

5

6007]T(2)整体坐标系下单元刚度矩阵，获得贡献矩阵单元3的刚度矩阵单元3的贡献矩阵9-3-5结点荷载作用下的整体分析9-3刚架的整体分析(3)集成整体刚度矩阵K=K(1)

+K(2)+K(3)整体刚度矩阵9-3-5结点荷载作用下的整体分析9-3刚架的整体分析(4)求解方程

=10

5

[93.1283.7592.636-96.34280.5707.77351.926]T9-3-5结点荷载作用下的整体分析9-3刚架的整体分析(5)整体坐标系下的杆端位移向量

=10

5

[93.1283.7592.636-96.34280.5707.77351.926]T

(1)=[123000]T

(2)=[123456]T

(3)=[456007]T

(1)=10

5

[93.1283.7592.636000]T

(2)=10

5

[93.1283.7592.636-96.34280.5707.773]T

(3)=10

5

[-96.34280.5707.7730051.926]T9-3-5结点荷载作用下的整体分析9-3刚架的整体分析(6)局部坐标系下的杆端力向量局部坐标系下的杆端力向量9-3-5结点荷载作用下的整体分析9-3刚架的整体分析(6)局部坐标系下的杆端力向量局部坐标系下的杆端力向量9-3-5结点荷载作用下的整体分析9-3刚架的整体分析(7)内力图弯矩图（kNm）剪力图（轴力图）（kN）9-3-6小结9-3刚架的整体分析1）确定局部和整体坐标系，确定整体编码。2）建立局部坐标系下的各单元刚度矩阵。（局部编码）2）建立各单元坐标转换矩阵。3）计算整体坐标系下的各单元刚度矩阵。（局部编码）4）利用定位向量建立各单元贡献矩阵。（整体坐标系，整体编码）5）所有贡献矩阵求和，获得整体刚度矩阵（整体编码）7）建立方程，求解整体结点位移向量（整体坐标系，整体编码）6）利用结点荷载建立整体结点力向量（整体坐标系，整体编码）8）利用定位向量确定单元杆端位移向量（整体坐标系，局部编码）9）求局部坐标系下的单元杆端位移向量（局部编码）10）求局部坐标系下的单元杆端力向量（局部编码）整体分析的过程9-1概述9-2一般等截面杆件的单元分析9-3刚架的整体分析9-4一般荷载作用下的刚架分析9-5连续梁、桁架及组合结构的分析9-6支座移动和温度改变时的分析9-7后处理法简介第九章矩阵位移法第9章矩阵位移法9-4-1等效结点荷载向量9-4一般荷载作用下的刚架分析1.结点荷载向量P2P3P1P7P6P5P4P2P3P1P7P6P5P4基本体系受荷载作用（结点荷载下内力=0）R2R3R1R7R6R5R4基本体系受结点位移作用P=[P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7]TP=

K

R=P=K

9-4-1等效结点荷载向量9-4一般荷载作用下的刚架分析2.等效结点荷载向量

杆内有荷载Δ1Δ2Δ3－F3P－F2P－F1PF3PF2PF1P等效结点荷载原结构内力=基本体系内力+结点荷载下内力杆件内力=两端固定杆内力+杆端变形下杆件内力9-4-1等效结点荷载向量9-4一般荷载作用下的刚架分析{P}=

{FP}=[

F1P

F2P

…

FnP]T——等效结点荷载向量等效原则——与原荷载产生相同的结点位移(约束力).FPq3ACB21=

ACB

F1P

②①

F2P

F3P

FPqACB②①F1P

F2P

F3P

+9-4-1等效结点荷载向量9-4一般荷载作用下的刚架分析3.{P}的计算方法1)结点平衡法——手算、校核计算

锁定结点位移，计算单元

固端力;

由结点平衡求各附加约束力FiP

;

将约束力反号得等效结点荷载：

Pi

=

FiP

FPqACB②①F1P

F2P

F3P

节点平衡法的验算9-4-1等效结点荷载向量9-4一般荷载作用下的刚架分析3.{P}的计算方法2)单元集成法——计算机方法FPqACB②①FP1

FP2

FP3

FPB②F1P(2)

F2P(2)

F3P(2)

AqAC①F1P(1)

F2P(1)

F3P(1)

基本结构约束反力=∑各（两端固定）单元对约束反力的贡献叠加：整体坐标系，整体编码9-4-1等效结点荷载向量9-4一般荷载作用下的刚架分析等效结点荷载向量=∑单元等效结点荷载向量

{P}

N×1=∑{P}

(i)

N×1

FjP=∑FjP(i){Pj}N×1=∑{FjP}(i)N×1

Pj

=∑FjP(i){P}

(i)

N×1=

{FjP}

N×1

(i){l}

(i)单元固端力向量9-4-1等效结点荷载向量9-4一般荷载作用下的刚架分析与{P}大小、编码一致只反映该单元上荷载对{P}的贡献CBA(2)(1)21θxyO42m4m2m390kN9kN/mBA9kN/m(1)18kN12kNm018kN12kNm0CB(2)90kN045kN45kNm045kN45kNm045kNm18kNB

P2

P1

P3045kN12kNm【例9-3】确定刚架的等效结点荷载向量，并用结点平衡法对前3个元素进行校核，设各杆均为等截面。刚架受荷载作用各杆件和节点的节点平衡法过程9-4-1等效结点荷载向量9-4一般荷载作用下的刚架分析CBA(2)(1)21θxyO42m4m2m390kN9kN/mBA9kN/m(1)18kN12kNm018kN12kNm0【例9-3】1'2'3'4'5'6'

(1)=[123000]T单元1的等效节点荷载9-4-1等效结点荷载向量9-4一般荷载作用下的刚架分析【例9-3】CBA(2)(1)21θxyO42m4m2m390kN9kN/mCB(2)90kN045kN45kNm045kN45kNm2'1'3'5'4'6'

(1)=[123040]TP=[18kN45kN33kNm45kN]Tp(1)=[180

1218012]Tp(2)=[04545045

45]T等效节点荷载9-4-2一般荷载下的刚架计算9-4一般荷载作用下的刚架分析1.几个问题的讨论1)坐标系选取yxo

yxo

所有计算式均相同yxoz可推广至：xy

xy

9-4-2一般荷载下的刚架计算9-4一般荷载作用下的刚架分析2)结点位移局部与整体编码CxyBAD(2)(1)(3)342176500000i(1)j1

2

3

4

5

6

(3)ij1

2

3

4

5

6

杆端位移局部码结点杆端位移整体码{

}(1)=[324001]T

杆端位移局部码局部坐标系整体坐标系定位向量：{

}(1)=[234001]T

9-4-2一般荷载下的刚架计算9-4一般荷载作用下的刚架分析3)单元固端力可查表9-1：仅两端固定情况qBCA231654(1)(2)单元(2)固端力qBC(2)9-4-2一般荷载下的刚架计算9-4一般荷载作用下的刚架分析2.计算步骤(7)叠加法求最后杆端力：(1)离散：单元编号，结点位移编号；(2)计算各单元，变换；(4)计算各单元的固端力和等效结点荷载；(5)集成整体等效结点荷载向量P；(3)由ke

集成总刚K；(6)求解位移法方程K

=P，得到结点位移；qA(0,0,0)(1)(3)B(1,2,3)(2)C(4,5,6)D(0,7,0)xyqBCA

F1P

F2P

F3P

(1)(2)qBCA(1)(2)BCA(1)(2)=+9-4-2一般荷载下的刚架计算9-4一般荷载作用下的刚架分析2.计算示例(1)单元、结点位移编号；(2)计算各单元，变换，集成总刚K；(3)计算各单元的固端力和等效结点荷载

集成P；CBAD90kN2m1m4m2m9kN/m81kN2mCD64.8kN48.6kN36kN12.6kN36kN

m18kN

m43.2kN21.6kN(3)p(1)=[1801218012]Tp(2)=[0454504545]T斜杆固端力：横向、轴向分别计算p(3)=[

2.8856.16362.8824.84

18]T9-4-2一般荷载下的刚架计算9-4一般荷载作用下的刚架分析2.计算示例CBAD90kN2m1m4m2m9kN/m81kN2m(3)计算各单元的固端力和等效结点荷载

集成P；p(1)=[1801218012]Tp(2)=[04545045

45]T依据：

(1)=[123000]T

(2)=

[123456]T

(3)=[456007]T

集成：P=[18kNm45kNm33kNm2.88kN101.16kN9kNm

18kNm]Tp(3)=[

2.8856.16362.8824.84

18]T9-4-2一般荷载下的刚架计算9-4一般荷载作用下的刚架分析2.计算示例(4)解方程K

=P可求得结点位移;

=10

5

[

93.1283.7592.636

96.34280.5707.773

51.926]T9-4-2一般荷载下的刚架计算9-4一般荷载作用下的刚架分析2.计算示例(5)计算单元杆端力;

(3)=10

5

[

96.34280.5707.77300

51.925]T以单元(3)为例：

由

(3)=[456007]T

CBAD90kN2m1m4m2m9kN/m81kN2mCBAD(2)(1)(3)231765400000θxyO9-4-2一般荷载下的刚架计算9-4一般荷载作用下的刚架分析CBAD90kN2m1m4m2m9kN/m81kN2mCBAD(2)(1)(3)231765400000θxyO9-4-2一般荷载下的刚架计算9-4一般荷载作用下的刚架分析(6)作内力图(a)刚架及结点位移编码(b)单元(3)固端力CBAD90kN2m1m4m2m9kN/m81kN2m(2)(1)(3)2317654θxyOCD64.8kN48.6kN36kN12.6kN36kN

m18kN

m43.2kN21.6kN(3)(c)弯矩图（kN

m）(d)剪力图（轴力值）（kN）CAD93.2B66.32.493.21842.2905452.84.6CBAD57.921.967.722.332.915.7(

67.7)(

57.9)(

52.5)(

117.3)E9-4-3忽略轴向变形时的分析9-4一般荷载作用下的刚架分析——对矩形刚架，可通过结点位移编码实现8mCDBA6kN/m4m(1)021000θxyOC(1,0,3)B(1,0,2)(3)(2)031000D(0,0,0)A(0,0,0)

(1)=[102000]T

(2)=[102103]T

(3)=[103000]T

=10

4

[1.94930.10570.3621]T9-4-3忽略轴向变形时的分析9-4一般荷载作用下的刚架分析8mCDBA6kN/m4m(1)021000θxyOC(1,0,3)B(1,0,2)(3)(2)031000D(0,0,0)A(0,0,0)轴力不正确，需由结点平衡求得：9-1概述9-2一般等截面杆件的单元分析9-3刚架的整体分析9-4一般荷载作用下的刚架分析9-5连续梁、桁架及组合结构的分析9-6支座移动和温度改变时的分析9-7后处理法简介第九章矩阵位移法第9章矩阵位移法9-5-1连续梁9-5连续梁、桁架及组合结构的分析1.连续梁单元qABEI

2

1

3CDFPθxyO单刚：(e)

i

j连续梁单元ij9-5-1连续梁9-5连续梁、桁架及组合结构的分析2.普通梁单元qABEI

2

1

3CDFPθxyOE

5

4单刚：(e)

i

j普通梁单元ijvivj9-5-1连续梁9-5连续梁、桁架及组合结构的分析3.例题分析2EIA20kN/mDC30kNm80kN6m6m3mEI3mBEIθxyOADCB1(2)(1)(3)0231)单元和结点位移编码

(1)=[01]T

(2)=[12]T

(3)=[0230]T(1)、(2)：连续梁单元(3)：普通梁单元9-5-1连续梁9-5连续梁、桁架及组合结构的分析3.例题分析2EIA20kN/mDC30kNm80kN6m6m3mEI3mBEIθxyO2)单元刚度矩阵3)单元刚度矩阵9-5-1连续梁9-5连续梁、桁架及组合结构的分析3.例题分析2EIA20kN/mDC30kNm80kN6m6m3mEI3mBEIθxyO4)等效结点荷载p(1)=[60

60]Tp(3)=[203020

30]TP=[

6030+1020]T=[

604020]T5)结点位移解9-5-1连续梁9-5连续梁、桁架及组合结构的分析3.例题分析6)内力计算9-5-1连续梁9-5连续梁、桁架及组合结构的分析3.例题分析6)内力计算9-5-1连续梁9-5连续梁、桁架及组合结构的分析3.例题分析7)作内力图909045150180ADCB90M图(kNm)FQ图(kN)45753080ADCB连续梁的内力图9-5-2桁架9-5连续梁、桁架及组合结构的分析1.局部坐标系下单刚矩阵ABCDFPθxyO局部坐标系下，杆件有2个自由度ji(e)l、EA单刚矩阵:9-5-2桁架9-5连续梁、桁架及组合结构的分析2.整体坐标系下单刚矩阵ABCDFPθxyO整体坐标系下，杆件有4个自由度(1)将局部坐标系下的单元刚度方程

扩展成四阶形式：(2)由坐标变换得将ke：(3)整体分析方法同刚架9-5-2桁架9-5连续梁、桁架及组合结构的分析3.例题分析3(3)(4)(5)(1)4(2)θxyOABCD120000A5mB5m5mC20kND40kN(1)单元和结点位移编码

(1)=[0010]T，

(2)=[1020]T，

(3)=[3400]T

(4)=[3410]T，

(5)=[3420]T(2)单元刚度矩阵9-5-2桁架9-5连续梁、桁架及组合结构的分析3.例题分析A5mB5m5mC20kND40kN(3)整体刚度矩阵(4)结点位移解9-5-2桁架9-5连续梁、桁架及组合结构的分析3.例题分析(5)内力计算A5mB5m5mC20kND40kN21.4215.156.8615.1529.719-5-2桁架9-5连续梁、桁架及组合结构的分析3.例题分析(5)内力计算A5mB5m5mC20kND40kN21.4215.156.8615.1529.719-5-3组合结构9-5连续梁、桁架及组合结构的分析组合结构包含一般杆件单元桁架杆单元组合结点处各单元线位移相同一般单元另有角位移横梁EI=3.42105kNm2,EA=5.4106kN；拉杆EA1=1.08105kN12m9m8kN/m12mB(1,2,3)(3)(2)C(0,0,0)A(0,0,0)D(0,0)(1)(1)编码与定位向量

(1)=[000123]T

(2)=[123000]T

(3)=[1200]TθxyO9-5-3组合结构9-5连续梁、桁架及组合结构的分析(2)单元刚度矩阵9-5-3组合结构9-5连续梁、桁架及组合结构的分析(2)单元刚度矩阵(3)整体刚度矩阵及等效结点荷载向量P=[048

96]T9-5-3组合结构9-5连续梁、桁架及组合结构的分析(4)结点位移解答

=10

5

[2.5037654.9514

42.1053]T9-5-3组合结构9-5连续梁、桁架及组合结构的分析(5)内力计算9-5-3组合结构9-5连续梁、桁架及组合结构的分析(5)内力计算9-5-3组合结构9-5连续梁、桁架及组合结构的分析(6)作内力图FQ图（FN值）（kN）M图（kN

m）12m8kN/m12mB(1,2,3)(3)(2)C(0,0,0)A(0,0,0)D(0,0)(1)9mθxyO69.56(28.15)26.449.56(

11.27)(11.27)DBAC组合结构内力图（值）69.3345.33213.3314460DBAC9-1概述9-2一般等截面杆件的单元分析9-3刚架的整体分析9-4一般荷载作用下的刚架分析9-5连续梁、桁架及组合结构的分析9-6支座移动和温度改变时的分析9-7后处理法简介第九章矩阵位移法第9章矩阵位移法9-6-1等效结点荷载9-6支座移动和温度改变时的分析CBACBAF1c+tF2c+tF3c+t

F1c+t

F2c+t

F3c+t

F4tCBAt1θxyOF4tt2c1c2t1t2c1c2附加约束体系——温度和支座移动作用无附加约束体系——结点荷载下结构分析9-6-1等效结点荷载9-6支座移动和温度改变时的分析1）温度下的固端力向量温度作用下杆端力向量9-6-1等效结点荷载9-6支座移动和温度改变时的分析2）支座移动下的固端力向量(e)ijl杆件的杆端位移和固端力9-6-1等效结点荷载9-6支座移动和温度改变时的分析指定杆端位移情况下的杆端力杆端位移9-6-1等效结点荷载9-6支座移动和温度改变时的分析3）单元等效结点荷载向量等效结点荷载向量=∑单元等效结点荷载向量

{P}

=∑{P}

(i)=∑{FP}(i)

整体坐标系：温度作用单元固端力向量整体坐标系：支座移动单元固端力向量{l}

(i){l}

(i)9-6-2计算实例9-6支座移动和温度改变时的分析【例9-8】计算图示刚架的杆端力。已知支座D发生了1cm的沉降，BC杆下侧温度升高了20

C；各杆截面均为矩形，EA=720×104kN、EI=21.6×104kN

m2，截面高度h=0.6m；材料线膨胀系数α=1.0×10

5

°C

1。C(4,5,6)B(1,2,3)A(0,0,0)D(0,0,7)4m4m(2)(1)(3)3mθxyO+20

C1cmCB(2)0+20

CF1t(2)F3t(2)0F4t(2)F6t(2)DC(3)F1c(3)F3c(3)F4c(3)F5c(3)F6c(3)F2c(3)刚架发生了温度改变和支座位移9-6-2计算实例9-6支座移动和温度改变时的分析温度作用下单元等效结点荷载向量P(2)=[

7200727200

720]T9-6-2计算实例9-6支座移动和温度改变时的分析P(3)=[0006812.59290.6311.0311.0]T支座位移下单元等效结点荷载向量9-6-2计算实例9-6支座移动和温度改变时的分析

{P}

=∑{P}

(i)P(2)=[

7200727200

720]TP(3)=[0006812.59290.6311.0311.0]TP=[

7200727532.59290.6239.0311.0]T刚架的等效结点荷载向量9-6-2计算实例9-6支座移动和温度改变时的分析2）整体刚度方程及解

=10

4

[41.3340.10418.79945.41865.72611.68911.224]T9-6-2计算实例9-6支座移动和温度改变时的分析3)单元杆端力向量求解原结构附加约束体系内力+无附加约束体系受结点力作用内力第i个杆内力=体系1第i个杆内力+体系2第i个杆内力各杆两端固定求解(2)(1)(3)θxy+20

C1cm体系1：整体刚度方程求解(2)(1)(3)θxyF1F3F2F6F4F5F7体系2：局部坐标系整体坐标系9-6-2计算实例9-6支座移动和温度改变时的分析3)单元杆端力向量求解9-6-2计算实例9-6支座移动和温度改变时的分析3)单元杆端力向量求解9-6-2计算实例9-6支座移动和温度改变时的分析4）内力图9-6-2计算实例9-6支座移动和温度改变时的分析4）内力图9-1概述9-2一般等截面杆件的单元分析9-3刚架的整体分析9-4一般荷载作用下的刚架分析9-5连续梁、桁架及组合结构的分析9-6支座移动和温度改变时的分析9-7后处理法简介第九章矩阵位移法第9章矩阵位移法9-7-1求解步骤9-7后处理法简介CBA2m4m2m30kN/m4m(2)(1)θxyOC(7,8,9)(2)(1)B(4,5,6)A(1,2,3)θxyO略去所有边界约束，先形成包含约束位移的刚度矩阵;再引入位移边界条件，形成新的整体刚度方程，并求解；计算单元杆端力向量。9-7-2基本理论(划行划列法)9-7后处理法简介CBA(2)(1)θxyOF4F6F5F1F3F2F7F9F8

=[

1

2

3

7

8]T=[

0.004m0000]T已知位移未知反力未知位移结点荷载K

=P

K

后处理法先处理法K

=P

=09-7-3计算实例9-7后处理法简介C(7,8,9)B(4,5,6)A(1,2,3)2m4m2m30kN/m4m(2)(1)θxyOP0=[FxA

FyA

MA06040FxC

FyC

40]T9-7后处理法简介K

=P

K

9-7后处理法简介9-7-4处理边界条件的其他方法填0置1法乘大数法目的：保持矩阵阶数不变具体可参考结构有限元分析方面书籍谢谢！浙江大学建筑工程学院结构力学教研组第九章矩阵位移法10-1动力计算概述10-2单自由度体系的自由振动10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动10-4单自由度体系在一般荷载作用下的强迫振动10-5多自由度体系的自由振动10-6多自由度体系的强迫振动10-7无限自由度体系的自由振动10-8近似法求结构的自振频率第10章结构的动力计算第10章结构的动力计算10-1动力计算概述10-1-1动力荷载和动力计算1.动力计算的特点静力荷载惯性力不可忽略(2)动力计算的特性(1)荷载例:风荷载、

地震作用、车辆行驶振动时间相关动力荷载随时间变化考虑质量与惯性力10-1动力计算概述2.动力荷载的分类(1)周期荷载:(2)冲击荷载:如爆炸荷载、高空坠物(3)随机荷载:如:地震作用、风荷载otFP(t)简谐荷载一般周期荷载otFP(t)totrFP(t)急剧增大totdFP(t)急剧减小确定性荷载非确定性/随机荷载荷载10-1动力计算概述10-1-2体系振动的自由度动力自由度:确定全部质量位置所需的独立参数数目严格说,均为无限自由度集中质量法动力方程为偏微分方程简化为有限自由度不易求解10-1动力计算概述2个自由度视质点为结点，独立结点线位移数=动力自由度忽略梁式杆轴向变形例：确定体系动力自由度。xy2个自由度结论：自由度数不一定等于1倍或2倍质点数1.质点体系动力自由度的判断10-1动力计算概述2.包含无限刚质量块体系的动力自由度的判断带刚性质量块(有尺寸)形心的平动位移+块体转动位移3自由度弹性地基单自由度10-1动力计算概述10-2单自由度体系的自由振动10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动10-4单自由度体系在一般荷载作用下的强迫振动10-5多自由度体系的自由振动10-6多自由度体系的强迫振动10-7无限自由度体系的自由振动10-8近似法求结构的自振频率第10章结构的动力计算第10章结构的动力计算10-2单自由度体系的自由振动1.振动微分方程的建立(1)刚度法：列质点平衡方程无阻尼情况：

Fy=0

(2)

柔度法：计算体系在质点m位移单位力产生的位移：惯性力：质点位移：m恢复力=ky惯性力=

mÿ平衡位置自重产生的位移可不计。10-2-1无阻尼自由振动10-2单自由度体系的自由振动ykmymkymÿ恢复力惯性力刚度法——先求刚度系数，再列平衡方程。刚度法与柔度法的比较柔度法——先求柔度系数，再求惯性力作用下的位移。10-2单自由度体系的自由振动刚度法列平衡方程具体步骤刚度系数1）在质量上沿位移正向加惯性力；2）发生位移y的回复力；3）力的平衡条件。1ymEIl10-2单自由度体系的自由振动柔度法列平衡方程具体步骤F=1柔度系数1）在质量上沿位移正向加惯性力；2）求外力和惯性力引起的位移；3）令该位移等于体系位移。mEIl10-2单自由度体系的自由振动ABCl/2m2=mEI=

ykl/2l/2m1=2my1y2DABCk

yD【例10-1】图10-9a所示刚度无穷大的伸臂梁体系，两个集中质量m1=2m、m2=m，弹性支座的弹簧刚度为k。试建立体系自由振动的微分方程。梁所受作用力(1)刚性梁只能绕A端转动，故为一单自由度体系(2)刚度法，由

MA=0可建立刚性杆的平衡方程10-2单自由度体系的自由振动2.位移响应及自振特性自振圆频率系数c1、c2由初始条件确定初速度引起初位移引起10-2单自由度体系的自由振动Oy0ty(t)Oaty(t)-aOty(t)无阻尼自由振动解的性质简谐振动（sin函数）！y(t)=asin(

t+

)初始相位角：振幅：y

a对应圆周运动起点10-2单自由度体系的自由振动3.自振周期频率(单位时间的振动次数)圆频率(2

个单位时间的振动次数)(1)自振周期计算式的几种形式：

st=W

质点沿振动方向施加W荷载产生的静位移(2)自振周期/频率的特性：只与结构自身的m、k有关，与外界因素无关；与m1/2成正比，与k1/2成反比；结构的固有特性。10-2单自由度体系的自由振动【例10-2】图a、b所示单跨梁，跨中有一集中质量m。试求梁的自振频率。(a)简支梁mBEIAl/2l/2mBEIAl/2l/2(b)一端固定一端铰支梁BA1BA1BA110-2单自由度体系的自由振动10-2-2有阻尼自由振动c：粘滞阻尼常数材料介质摩擦结构-支承摩擦周围介质阻力阻尼来源粘滞阻尼，其它阻尼阻尼种类粘滞阻尼体系振动微分方程：ymkkyc10-2单自由度体系的自由振动1.低阻尼体系(

<1)特征方程：位移响应：ytOy0a

aykyk+1(有阻尼体系自振圆频率)10-2单自由度体系的自由振动一般工程结构:0.01

0.1

r

阻尼影响可忽略阻尼对自振频率的影响阻尼对振幅的影响相邻周期：振幅的对数衰减率：随ξ增大而减小ytOy0a

a

1

2>110-2单自由度体系的自由振动2.临界阻尼情况(

=1)临界阻尼系数:3.过阻尼情况(ξ>1)ytOy0

=1

>1（无振动）（无振动）阻尼比：实际阻尼系数与临界阻尼系数的比值10-1动力计算概述10-2单自由度体系的自由振动10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动10-4单自由度体系在一般荷载作用下的强迫振动10-5多自由度体系的自由振动10-6多自由度体系的强迫振动10-7无限自由度体系的自由振动10-8近似法求结构的自振频率第10章结构的动力计算第10章结构的动力计算10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动强迫振动是指结构在动力荷载作用下产生的振动微分方程：(无阻尼)ymkkyF(t)F(t)10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动10-3-1无阻尼强迫振动特解：完整解=特解+通解体系在静荷载F作用下的静位移10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动设两部分组成2)按

的振动——瞬态响应(有阻尼时将逐渐消退)1)按

的振动——平稳响应(纯强迫振动)yt纯强迫振动实际振动过渡阶段平稳阶段O伴生自由振动完整解:10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动动力系数：10123|

1)：|

|

1，可视作静荷载;2)：|

|

>1，

随

/

增大而增大;3)：|

|∞，振幅∞，共振;4)：|

|随

/

增大而减小.平稳阶段的物理意义ytO10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动【例10-3】图10-19a所示具有刚性横梁的单层刚架，质量集中于横梁上。试求简谐荷载作用下的位移动力系数，并作最大动弯矩图。已知荷载频率为0.7倍的自振频率。Mmax图（

F0h）ACDB0.490.490.490.490.49EI1=

ACDBhWEIEIF0sin

ty(t)解:静位移自振圆频率10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动【讨论】现对简谐荷载与惯性力作用线不重合的情况作一讨论。(a)刚架作用均布简谐荷载ACDB0.1620.1620.3280.2450.2450.042EI1=∞ACDBWEIEIqsinthy(t)(c)固定结点ACDBACDBqsint(b)Mmax图（qh2）(d)放松结点10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动【例10-4】图10-21所示伸臂梁，端部有一集中质量m，试求图(a)、(b)两种荷载工况下质点的最大动位移，并作梁的最大动弯矩图。已知荷载频率：(a)荷载位于梁端最大动弯矩图ABCF0lABC1l/2DABCDmF0sin

ty1l/2l/2l/2EI=常数M1图10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动(b)荷载位于跨中ABCDmF0sin

t(e)图(a)工况最大动弯矩图(f)图(b)工况最大动弯矩图ABCDl/41M1图ABC1l/2DM2图质点沿自由度方向的位移幅值仍等于荷载幅值引起的静位移乘以动力系数β10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动(b)荷载位于跨中ABCDmF0sin

tABCD5F0l/16F0l/16惯性力：惯性力幅值：截面B最大动弯矩：最大动弯矩图截面D最大动弯矩：截面D弯矩动力系数：求出质点的惯性力幅值mθ2Y，则结构的最大动位移和动内力就等于结构在荷载幅值和惯性力幅值共同作用下的静位移和静内力。10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动10-3-1有阻尼强迫振动ymkkycF(t)F(t)强迫振动微分方程：——自振圆频率

——荷载圆频率方程通解：

y(t)=e

t(Acos

rt+Bsin

rt)+(C1cos

t+C2sin

t)初始静止：(y|t=0=0,v|t=0=0)仿真演示：:8095/10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动仅考虑平稳振动，合并两项。

y=Y

sin(t

)方程通解：

y(t)=e

t(Acos

rt+Bsin

rt)+(C1cos

t+C2sin

t)仍为简谐振动滞后一相位角位移动力系数：与

/

及

相关齐次解：伴生自由振动，很快衰减特解：平稳振动

1023450.51.01.52.02.53.0

=0

=0.1

=0.2

=0.5

=1.0

30

0

0.51.01.52.02.53.060

90

120

150

180

=0

=0.1

=0.2

=1.0

=0.5

=0

0<

<1:ξ越小，

-

/

曲线趋陡ξ很小时，共振点

/

=1处，

=1/2ξ，非峰值点

位移动力系数及相位角随频率比变化曲线10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动

1023450.51.01.52.02.53.0

=0

=0.1

=0.2

=0.5

=1.0

30

0

0.51.01.52.02.53.060

90

120

150

180

=0

=0.1

=0.2

=1.0

=0.5

=0

位移动力系数及相位角随频率比变化曲线10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动

位移y比F(t)滞后一相位角

：

/

0时，

0

y与F(t)同步，近似静力，F(t)由恢复力平衡

/

时，

180

y与F(t)反向，振动很快,F(t)由惯性力平衡

/

1时，

90共振,恢复力与惯性力平衡,F(t)由阻尼力平衡10-1动力计算概述10-2单自由度体系的自由振动10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动10-4单自由度体系在一般荷载作用下的强迫振动10-5多自由度体系的自由振动10-6多自由度体系的强迫振动10-7无限自由度体系的自由振动10-8近似法求结构的自振频率第10章结构的动力计算第10章结构的动力计算10-3单自由度体系在一般荷载作用下的强迫振动瞬时冲量S下无阻尼单自由度体系的动力响应t=0作用S：S(t=0)=F·

t(

t

0)t=

时作用S：

S(t=τ)=FdttOΔt冲量S=FΔtF(t)转化动量定理

随时间按一般规律变化的动力荷载的作用可视作由一系列连续作用的微小冲量组合而成tOdtS=FdtF(t)

10-3单自由度体系在一般荷载作用下的强迫振动

Duhamel

积分若有初始

y0、v0：每一个微小冲量dS产生的位移响应：任意荷载下无阻尼单自由度体系的动力响应连续动力荷载的作用可视作由一系列连续作用的微小冲量的作用结构荷载响应结构冲量和响应所有微小冲量dS产生的位移响应：若d

→

0,则有tF(t)F(t)ttdS=F(t)dt0dt10-3单自由度体系在一般荷载作用下的强迫振动1.突加荷载以y=yst为基线作简谐振动tOF(t)F0O0π2π4π3πωty(t)2ystyst位移动力系数：几种典型动力荷载下无阻尼单自由度体系响应10-3单自由度体系在一般荷载作用下的强迫振动2.短时荷载阶段II(t>td):0,t<0F0,0<t

<

td0,t

>

uF(t)=阶段I(t≤td)：O0π2πωty(t)2ystysttd

>T/2位移图线tOF(t)F0td阶段II(F0和

F0共同作用)阶段I（仅F0作用）O0π2πωty(t)2ystysttd<T/2位移图线

0.51/61210

-

td/T曲线:动力系数反应谱若td

T/2：ymax发生于阶段I,

位移动力系数若td

<T/2:

y=ymax发生于阶段II,

位移动力系数

=210-3单自由度体系在一般荷载作用下的强迫振动3.线性渐增荷载动力系数

取决于增载时间

trtOF(t)F0tr

123456为尽可能消除动力效应，应确保增载时间大于自振周期4倍tr>4T:

tr→

∞，

→1.0tr<0.25T:

tr→0，

→2.010-1动力计算概述10-2单自由度体系的自由振动10-3单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动10-4单自由度体系在一般荷载作用下的强迫振动10-5多自由度体系的自由振动10-6多自由度体系的强迫振动10-7无限自由度体系的自由振动10-8近似法求结构的自振频率第10章结构的动力计算第10章结构的动力计算10-5多自由度体系的自由振动10-5-1两自由度体系的频率和振型刚度法：建立平衡方程柔度法：建立位移协调方程回复力：结构使得质量体回到平衡位置的力多个质量体ykmymkymÿ回复力惯性力

质量体运动致使结构变形，由此产生的结构作用于质量体上使其回到平衡位置的力（回到平衡位置为正，与运动方向相反为正）。

多个质量体运动致使结构变形，由此产生的结构作用在各质量体上使它们回到平衡位置的力。（回到平衡位置为正，与运动方向相反为正）。单质量体10-5多自由度体系的自由振动1.刚度法y1(t)y2(t)m1m221m2

y2m2F2m1

y1m1F1Fi

:i处因y1、y2所引起的回复力,Fi

=ki1

y1

+ki2

y2

(i=1,2)kji:其它位移为零，j方向发生单位位移引起的i方向回复力Ah1BEI1EI2m1EI

y2EI1EI2m2EI

h2y1质量矩阵刚度矩阵位移向量加速度向量10-5多自由度体系的自由振动刚度矩阵的对称性及其元素物理意义kij——其它处位移为零，j方向发生单位位移引起的i

方向回复力。回复力：结构变形引起的结构作用在质量体运动方向上的回到平衡位置的力。(a)系数k11、k21ABk1k2k111k21ABk121k22k1k2(b)系数k12、k22k11=k1+k2k12=k21=

k2k22=k210-5多自由度体系的自由振动齐次方程的解两质点按同一频率和相位角振动任一时刻y1(t)/y2(t)保持为常数该特征形状Y1/Y2称主振型单自由度体系2自由度体系振型方程频率方程非零解10-5多自由度体系的自由振动回代振型方程

1,

2——第1、第2自振圆频率第1振型第2振型若体系按某个振型振动，则其振动形式保持不变，象单自由度体系一样.Y11,

1,Y12,

2由初始条件确定线性方程,线性算子解1:解2:10-5多自由度体系的自由振动(a)列出方程，求[K]、[M](b)频率方程

求ωk1=k2=k，m1=m2=m:【例10-5】图示两层刚架，其层间刚度分别为k1、k2，试求下面两种情况下的自振频率和主振型：(1)k1=k2=k，m1=m2=m；(2)k1=nk2=nk，m1=nm2=nm。(c)代入振型方程

求YABm1m2k2k1EI

EI

10-5多自由度体系的自由振动(d)鞭梢效应k1=nk2=nk，m1=nm2=nmn=110:Y2>>Y1——鞭梢效应振型：频率：ABm1m2k2k1EI

EI

ABY22=

0.618Y12=1.0第二振型ABY21=1.618Y11=1.0第一振型10-5多自由度体系的自由振动2.柔度法m1y2(t)m2y1(t)-m2y2-m1y11m1m2

21

111

22

12m1m2位移协调方程（基于达朗贝尔原理）计算体系在m1、m2处由惯性力产生的位移。质量矩阵柔度矩阵位移向量加速