XXXX秋季第3讲机械制图北京航空航天大学出版社

aa

a

b

b

b●●●●●●2·2直线的投影ProjectionofLine

两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。(Projectionsof2pointsdeterminetheprojectionofline.)⒈直线对一个投影面的投影特性(Tosingleprojectionplane)一、直线的投影特性CharacteristicsAB●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性Point-wiseprojection直线平行于投影面投影反映线段实长存真性ab=ABTruelengthprojection直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab=ABcosαForeshortenprojection●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●二、直线在三个投影面中的投影特性Linesprojectedtothe3-projection-plane投影面平行线Lines

paralleltoaProjectionplane平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线Linesperpendiculartoaprojectionplane正平线Frontallines（∥Ｖ面）侧平线Profilelines（∥Ｗ面）水平线Horizontallines（∥Ｈ面）正垂线（W-perpendicularlines）（⊥Ｖ面）侧垂线（W-perpendicularlines）（⊥Ｗ面）铅垂线（H-perpendicularlines）（⊥Ｈ面）一般位置直线GeneralPositionlines与三个投影面都倾斜的直线Inclinedtoallthreeprojectionplanes统称特殊位置直线(Specialpositionlines)垂直于某一投影面b

a

aba

b

b

aa

b

ba

⑴投影面平行线LinesparalleltoaProjectionplane①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。Whenalineisparalleltoaprojectionplane,itsprojectionuponthatplanewillbethetruelengthoftheline.Itsprojectionontheadjacentplaneswillbeparalleltotheprojectionaxis.水平线Horizontalline侧平线Profileline正平线Frontallineγ投影特性：与H面的夹角（AnglewithH）:α

与V面的角:β与W面的夹角:γ实长（Truelength）实长实长βγααβba

aa

b

b

⑵投影面垂直线Linesperpendiculartoaprojectionplane铅垂线H-perpendicularline正垂线V-perpendicularline侧垂线W-perpendicularline②另外两个投反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性:●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)Whenalineisperpendiculartoaprojectionplane,itappearsasapointuponthatplane.Itsprojectionontheadjacentplaneswillbeperpendiculartothecorrespondingprojectionaxisandwillrepresentthetruelength.⑶一般位置直线Generalpositionlines投影特性：三个投影都缩短。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。Allthreeprojectionsareforeshortened.Thatis:Itstruelengthandangleswillnotberepresentedinanyoftheseprojections.abb

a

b

a

三、直线上的点Pointsonlines◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。Ifapointinspaceliesonaline,theprojectionsofthatpointalsolieonthecorrespondingprojectionsoftheline.判别方法：ABCVHbcc

b

a

a点C不在直线AB上(No)例1：判断点C是否在线段AB上。DetermineifthepointConlineABabca

b

c

①c

②abca

b

●点C在直线AB上(Yes)例2：判断点K是否在线段AB上。DetermineifthepointKonlineABa

b

●k

因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。k

isnotona

b,thenKliesonlineAB.abka

b

k

●●◆当直线的投影垂直于投影轴时有例外出现，这种情况可增加第三投影。Exceptionmayoccurtospecialpositionline.Aprofileprojectionisaddedinthiscase.四、一般位置直线的实长与倾角TruelengthandangleofagenerallineOXHVa

aaxb`bbx倾角:直线与在某一投影面上的投影间的夹角为直线与该面的倾角Anglebetweenlineanditsprojectionwillbeitsanglewiththatprojectionplane.OXYZHVa

Aaaxb`BbbxOXYZHVa`AaWa``b`Bbb``abAH投影立标差⊿Z实长Truelengthαα直角三角形法RightTriangleMethodabAH投影立标差⊿Z实长Truelengthαa

b

AV投影远标差⊿Y实长Truelength

βa

b

AW投影横标差⊿X实长Truelength

γ斜边（Beveledge）--实长（Truelength）斜边与直角边夹角--倾角Anglebetweenthebeveledgeandright-angleedge(Angle)规律（Rule）：两直角边（tworight-angleedges）投影(Projection)坐标差(Coordinatedifference)直线与投影轴的夹角(Anglebetweenlineandprojectionaxis)OXYZHVa

AaWa

b

Bbb

abAH投影立标差⊿Z实长Truelengthαα

Z

ZabAH投影立标差⊿Z实长Truelengthαa

b

AV投影远标差⊿Y实长Truelength

βa

b

AW投影横标差⊿X实长Truelength

γ斜边（Beveledge）--实长（Truelength）斜边与直角边夹角--倾角Anglebetweenthebeveledgeandright-angleedge--

Anglebetweenlineandplane)规律（Rule）：两直角边（tworight-angleedges）投影(Projection)坐标差(Coordinatedifference)斜边与另一直角边夹角--直线与投影轴夹角Anglebetweenthebeveledgeandtheotherright-angleedge--Anglebetweenlineandaxis

Z

Y

X3.作图举例(Problems)例1.已知直线段AB与H面的倾角α

=30º,其他条件如图,完成AB的另一投影。CompletetheotherprojectionoflineABwithα

=30ºa`b`abα

=30º

ZB1例2.已知直线段AB与H面的倾角α

=30º,其他条件如图,完成AB的另一投影。CompletetheotherprojectionoflineABwithα

=30ºa`b`abα

=30º

ZA1H投影b1α实长

Z空间两直线的相对位置分为：平行Parallel、相交intersecting、交叉skew。⒈两直线平行Parallellines投影特性：Projectioncharacteristics空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。Iftwolinesinspaceareparallel,theirprojectionsonanyprojectionplanewillbeparallel,andviceversa.aVHc

bcdABCDb

d

a

五、空间两直线的相对位置Relativepositionoftwolinesabcdc

a

b

d

例1：判断图中两条直线是否平行。

ABParallelwithCD?对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。

Twogenerallinesareparallelinspaceiftheirrespectiveprojectionsontwoprojectionplanesareparallel.AB//CD①b

d

c

a

cbadd

b

a

c

对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。Forspecialpositionlines,theyarenotnecessarilyparallelifonlytwoprojectionsappeartobeparallel.求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。ABandCDnotparallel例2：判断图中两条直线是否平行。ABParallelwithCD?②求出侧面投影Obtaintheprofileprojection如何判断？Sohowto?HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

⒉两直线相交Intersectinglines判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。Iftwolinesintersectinspace,theircorrespondingprojectionsalsointersect.交点是两直线的共有点(intersectingpointistheonewhichtwolinesshare)●●cabb

a

c

d

k

kd例：过C点作水平线CD与AB相交。ConstructahorizontallineCDintersectingwithAB.先作正面投影Vprojectionfirstd

b

a

abcdc

1

(2

)3(4)⒊两直线交叉Skewlines投影特性Projectioncharacteristics★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。Correspondingprojectionsmaybeintersecting,but“intersectingpoints”don’tabidebytheprojectionruleofonespatialpoint.★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。“intersectingpoints”aretheprojectionsofthetwooverlappedprojectionpoints,whichcanbeusedforjudgingthespatialpositionsoftwolines.●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点(Overlappedprojectionpoints)Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点为什么？Why?12●●3

4

●●两直线相交吗？Intersectinglines?六、两直线垂直相交(或交叉）Perpendicularityoflines直角边投影的规律：Thetheoremofperpendicularity若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。

Ifoneoftwoperpendicularlinesisparalleltoaprojectionplane,theprojectionsofbothlinesonthatplanewillbeat90ºtoeachother.设直角边BC//H面因BC⊥AB,同时BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直线在H面上的投影互相垂直Hprojectionsareperpendicular即∠abc为直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bca

c

b

abc.证明：ABCabcH直角投影定理OXYZHVa

ab

bcc

If：ABACAC//H面Then：ac

ab即

bac=90º若投影中有一个投影互相垂直，且其中一条为该面的平行线，则两直线在空间也垂直。若直角的任意一条边平行于某一投影面,则它在该投影面上的投影仍为直角。逆定理•If：abacAC//H面Then：ABAC规律OXYZHVa

Aab

BbCcc

3D两直线垂直一条为面平行线两直线垂直(该面内)投影互相垂直一条面平行线

2D(该面内)投影互相垂直a

ab

bcc

例1:判断下列直线是否垂直Perpendicularlines?•垂直Y!a

ab`bcc

•垂直(交叉)Y!(Skew)a

ab

bcc

•不垂直N!•k`k`d

abca

b

c

●●d例2：过C点作直线与AB垂直相交。ConstructlineperpendiculartolineABthroughpointCAB为正平线,正面投影反映直角。Asafrontalline,theVprojectionofABappearthetrue90º.应用举例Applicationexamplesk

Yk

a

ab`bcc

分析：过A作BC的垂线,垂足为K•注意:求距离包括投影和实长DIstancemeansbothprojectionsandtruelength求点到直线的距离Distancefrompointtoline例3.已知A点和直线BC的V投影和H投影,求A点到BC的距离。FindthedistancebetweenpointAandlineBC.

Y实长3D:AKBCBC//H面

2D:ak

bcABCK步骤Steps:(1)H：过a作bc的垂线,垂足为kH:Drawlineperpendiculartobcthroughpoint‘a’,perpendicularfoot‘k’(2)根据直线投影规律,可得a

k

ak->a

k

(3)由直角三角形法可求AK实长TruelengthbyrightTriangleMethodkk

a

ab

bc

c

分析Analysis：实质为求交叉两直线的公垂线问题Commonperpendicular(1)公垂线既垂直于直线L,也垂直于直线AB。LineperpendiculartobothABandL.(2)因为AB为正垂线,所以其公垂线必平行于V面。ThecommonperpendicularmustbeparalleltoVbecauselineABisaV-perpendicularline•注意:求距离包括投影和实长DIstancemeansbothprojectionsandtruelength求两交叉直线间的距离Distancebetweentwoskewlines例5.已知AB为正垂线,又知直线L的V投影和H投影,求两直线间的距离。ABisaV-perpendicularline.DeterminethedistancebetweenABandL.实长步骤Steps:(1)V：过a

作l

的垂线,垂足为k，kc为公垂线的V投影V:Drawkc

l

(2)根据点的投影规律,可得kK->K(3)可得kc(3D:KCABKC//V面2D:kcab）l

l小结Summary⒈一般位置直线Generalpositionlines三个投影与各投影轴都倾斜。Allthreeprojectionsinclinedtotheaxes.⒉投影面平行线linesparalleltoprojectionplanes在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹