吉林大学2015-2016学年第一学期《高等数学 BI》试卷

（共6（共6页第1页）吉林大学2015-2016学年第一学期《高等数学BI》试卷2015年1月6日一二三四总 分得分一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）得分y2x3sinxcosx

的水平渐近线是（ B ）（A）y0. （B）y2. （C）y3. （D）y4.设yx2arctan1，则x0为函数的（ A ）x（A）跳跃间断点. （B）可去间断点.（C）无穷间断点. （D）振荡间断点.函数y4(x2的单调增加且为下凸的区间是（ C ）x2（A）(,

（B）(3,

（C）(2,

（D）(0,).d2ydx2设方程eyxyeyd2ydx2

x0=（ C ）（A）1. （B）1. （C）1e2

. （D）1.e2f(xxa的某邻域内连续，且limf(xf(a)1f(x)xa处xa (xa)2（ D ）（A）不可导. （B）可导且f(a)0.（C）取得极小值. （D）取得极大值.下列反常积分发散的是（ A ）（A）

11dx. （B）

1 dx.（C）

1x2

1x21dx.1x2

1(lnx)31 d(lnx)3x32 2x3得分二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）.得分设limtanxsinx1，则k 3 .x0 xk 2设函数f(x)连续，且limf(x)1，则f(0) 1 .x0 xF(x)x2eu2u，则F(x)2xex4dx.0 由曲线yx2与直线y2x3围成图形的面积是 32/3 .x1t35.曲线yln(2

在对应t1处的切线方程是y2x5.6. 过点2,

且与平面2x3yz4

垂直的直线方程是x12

y2z4.3 1得分三、解答题（共6道小题，每小题8分，满分48分）.得分1．lim(1 1 )x0x

ex1=lim

ex1xx

3分x0

x(e1)=limx0

ex1xx2

2分=x0=12

ex12x

21yx2xln(x

x24),

求dy .dxx0x24解：dy2xx2xln2 x24

4分dydxdydxx0 2

4分x2y2z24a2求曲线x2y22ax

关于Oxy面的投影柱面方程以及在Oxy面上的投影曲线方程.解：曲线关于Oxy面的投影柱面方程是x2y22ax

4分在Oxy面上的投影曲线方程是x2y22ax,z0.

4分x xex4.

)dx.1x211x21x21x2

dx

xexdx1ex(令t

1exxln(t2d1ex21x2d(121x2

2tt21

dt)

2ln(t21)dt

4分1x222tln(t21)1x22t211x22tln(t21)4t1x21ex11ex1ex11ex1

3分1x21ex1x21ex

4 2ln

C...1分xex2,1 5.设f(x)1 ,1cosx解：令x2t，则

x0,1x

求1f(x2)dx.44 f(x2)dx44

f(t)dt

1 dt2xex2

03分01

11cost 00sec2xdx12ex2d(x2)

2分

2 200tanx0

1ex2

2分221 2 02tan11e42 2

1分x16.(1)x1

的切线L，求切线L的方程；x1xx1生成的旋转体体积．

及切线L围成的平面图形绕x轴旋转一周所解：(1)设切点为(x0,y0)，则过切点的切线方程为100 yy 1 (xx100

2分2x01x0,y0

2,y

1Ly1

2分则旋转体体积为

0 0V1122x 3

221(x)dx222x2.2

4分 x3 2 6得分得分四、按要求解答下列各题（共2道小题，每题8分，满分16分）.1．设函数f(x)的[2,4]上连续，在(2,4)内可导，且满足f(2) 4(xf(x)dx，3证明在(2,4)内至少存在一点，使(1)f()2f()．证：f(x)在[3,4]上连续，在(3,4)内至少存在一点1，使4(x1)2f(x)dx(1)2f()

4分3 1 1F(x)(xf(xF(x的[2,]上连续，在(2,)内可导，1F(2)f(2)F

12分Rolle(2)内至少存在一点F0，即在(2,4)内至少存在一点，使)2ff，即)f)2f

2分2.（1）证明：对于任意正整数n，不等式

ln(11)1

成立；n1 n n（2）x1111ln

(n，证明lim

存在．n 2 3

nn（1）ft)n1t)ft)在[0,xLagrangef'()即有

f(x)f(0)x0由于0x，则有

11

ln(1x)xx1x

ln(1x)x取x1(n1,2,)，则有n1 ln(11)

4分n1 n n（2）先证单调性：n1

1nln(nln

=1n

ln(11)0n故数列{xn}单调减少.再证有界性：x111