2024年高中数学第8章统计与概率8.2概率8.2.2条件概率讲义含解析湘教版选修2-3

PAGEPAGE98．2.2条件概率[读教材·填要点]1．条件概率设A，B是事务，且P(A)>0，以后总是用P(B|A)表示在已知A发生的条件下B发生的条件概率，简称条件概率．2．条件概率的计算公式假如P(A)>0，则P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA).3．条件概率的性质①P(B|A)∈[0,1]②假如B与C为两个互斥事务，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．[小问题·大思维]1．P(B|A)＝P(A∩B)吗？提示：事务(B|A)是指在事务A发生的条件下，事务B发生，而事务A∩B是指事务A与事务B同时发生，故P(B|A)≠P(A∩B)．2．P(B|A)和P(A|B)相同吗？提示：P(B|A)是指在事务A发生的条件下，事务B发生的概率，而P(A|B)是指在事务B发生的条件下，事务A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)不同．条件概率的计算[例1]在5道题中有3道理科题和2道文科题．假如不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．[解]设第1次抽到理科题为事务A，第2次抽到理科题为事务B，则第1次和第2次都抽到理科题为事务A∩B.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的基本领件总数为Aeq\o\al(2,5)＝20.事务A所含基本领件的总数为Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(1,4)＝12.故P(A)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)因为事务A∩B含Aeq\o\al(2,3)＝6个基本领件．所以P(A∩B)＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(3)法一：由(1)、(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).法二：因为事务A∩B含6个基本领件，事务A含12个基本领件，所以P(B|A)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).条件概率的计算方法有两种：(1)利用定义计算，先分别计算概率P(A∩B)和P(A)，然后代入公式P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA).(2)利用缩小样本空间计算(局限在古典概型内)，即将原来的样本空间Ω缩小为已知的事务A，原来的事务B缩小为AB，利用古典概型计算概率：P(B|A)＝eq\f(nA∩B,nA).1．抛掷红、蓝两颗骰子，设事务A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事务B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(A∩B)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？解：(1)设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则全部可能的事务为(x，y)，建立一一对应的关系，由题意作图如图．明显：P(A)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)，P(A∩B)＝eq\f(5,36).(2)法一：P(B|A)＝eq\f(nA∩B,nA)＝eq\f(5,12).法二：P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(5,36),\f(1,3))＝eq\f(5,12).条件概率的应用[例2]在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，其次个球是黄球或黑球的概率．[解]法一：设“摸出第一个球为红球”为事务A，“摸出其次个球为黄球”为事务B，“摸出其次个球为黑球”为事务C，则P(A)＝eq\f(1,10)，P(AB)＝eq\f(1×2,10×9)＝eq\f(1,45)，P(AC)＝eq\f(1×3,10×9)＝eq\f(1,30).∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,45),\f(1,10))＝eq\f(10,45)＝eq\f(2,9)，P(C|A)＝eq\f(PAC,PA)＝eq\f(\f(1,30),\f(1,10))＝eq\f(1,3).∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(2,9)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,9).∴所求的条件概率为eq\f(5,9).法二：∵n(A)＝1×Ceq\o\al(1,9)＝9，n(B∪C|A)＝Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)＝5，∴P(B∪C|A)＝eq\f(5,9).∴所求的条件概率为eq\f(5,9).利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简洁，但应留意这特性质的运用前提是“B与C互斥”．2．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成果的概率．解：设事务A为“该考生6道题全答对”，事务B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事务C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事务D为“该考生在这次考试中通过”，事务E为“该考生考试中获得优秀”，则A、B、C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(C\o\al(6,10),C\o\al(6,20))＋eq\f(C\o\al(5,10)C\o\al(1,10),C\o\al(6,20))＋eq\f(C\o\al(4,10)C\o\al(2,10),C\o\al(6,20))＝eq\f(12180,C\o\al(6,20))，P(A∩D)＝P(A)，P(B∩D)＝P(B)，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)eq\f(PA,PD)＋eq\f(PB,PD)＝eq\f(\f(210,C\o\al(6,20)),\f(12180,C\o\al(6,20)))＋eq\f(\f(2520,C\o\al(6,20)),\f(12180,C\o\al(6,20)))＝eq\f(13,58).故所求的概率为eq\f(13,58).解题高手妙解题盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是红球，4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球．现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？[尝试][巧思]本题数据较多，关系有点困难，可采纳列表方法理顺关系，这样不仅过程简洁，同时还能快捷地找出计算条件概率时所需的相关事务的概率．[妙解]设事务A：“任取一个球，是玻璃球”；事务B：“任取一球，是蓝球”．由题中数据可列表如下：红球蓝球小计玻璃球246木质球3710小计51116由表知，P(B)＝eq\f(11,16)，P(A∩B)＝eq\f(4,16)，故所求事务的概率为P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)＝eq\f(\f(4,16),\f(11,16))＝eq\f(4,11).1．若P(A)＝eq\f(3,4)，P(B|A)＝eq\f(1,2)，则P(A∩B)等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,3) D.eq\f(5,8)解析：选B利用条件概率的乘法公式求解．P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).2．用“0”“1”“2”组成的三位数码组中，若用A表示“其次位数字为0”的事务，用B表示“第一位数字为0”的事务，则P(A|B)＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)解析：选B∵P(B)＝eq\f(3×3,3×3×3)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(3,3×3×3)＝eq\f(1,9)，∴P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(1,3)，故选B.3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事务A：“取到的2个数之和为偶数”，事务B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)解析：选BP(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，由条件概率的计算公式得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq\f(1,4).4．若P(A)＝eq\f(3,10)，P(B)＝eq\f(4,10)，P(A∩B)＝eq\f(1,10)，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.解析：P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)＝eq\f(1,4)，P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,4)eq\f(1,3)5.如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事务“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事务“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝______；(2)P(B|A)＝______.解析：圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是eq\f(π,4)，依据几何概型的概率计算公式得P(A)＝eq\f(2,π)，依据条件概率的公式得P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(\f(1,2),π),\f(2,π))＝eq\f(1,4).答案：(1)eq\f(2,π)(2)eq\f(1,4)6．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．解：设事务A表示“选到第一组学生”，事务B表示“选到共青团员”．(1)由题意，P(A)＝eq\f(10,40)＝eq\f(1,4).(2)法一：要求的是在事务B发生的条件下，事务A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事务B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝eq\f(4,15).法二：P(B)＝eq\f(15,40)＝eq\f(3,8)，P(AB)＝eq\f(4,40)＝eq\f(1,10)，∴P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(4,15).一、选择题1．设P(A|B)＝P(B|A)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(1,3)，则P(B)等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)解析：选BP(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，由P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)，得P(B)＝eq\f(PA∩B,PA|B)＝eq\f(1,6)×2＝eq\f(1,3).2．4张奖券中只有一张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取，若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最终一名同学抽到中奖券的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．1解析：选B设第一名同学没有抽到中奖券为事务A，最终一名同学抽到中奖券为事务B，则P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(1,3).3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.45解析：选A依据条件概率公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，可得所求概率为eq\f(0.6,0.75)＝0.8.4．从混有5张假钞的20张百元钞票中随意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发觉是假钞，则第2张也是假钞的概率为()A.eq\f(1,19) B.eq\f(17,38)C.eq\f(4,19) D.eq\f(2,17)解析：选D设事务A表示“抽到2张都是假钞”，事务B为“2张中至少有一张假钞”，所以为P(A|B).而P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,20))＝eq\f(1,19)，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,15),C\o\al(2,20))＝eq\f(17,38).∴P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(2,17).二、填空题5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为________．解析：记“种子发芽”为事务A，“种子长成幼苗”为事务AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9.故P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.72.答案：0.726．6位同学参与百米短跑竞赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在其次跑道的概率是________．解析：甲排在第一跑道，其他同学共有Aeq\o\al(5,5)种排法，乙排在其次跑道共有Aeq\o\al(4,4)种排法，所以所求概率为eq\f(A\o\al(4,4),A\o\al(5,5))＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)7．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．解析：设“第一次抽到次品”为事务A，“其次次抽到正品”为事务B，则P(A)＝eq\f(5,100)＝eq\f(1,20)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,95),A\o\al(2,100))＝eq\f(19,396)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(95,99).答案：eq\f(95,99)8．抛掷一枚骰子，视察出现的点数，记A＝{出现的点数为奇数}＝{1,3,5}，B＝{出现的点数不超过3}＝{1,2,3}．若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为________．解析：由题意知n(B)＝3，n(A∩B)＝2，故在出现的点数不超过3的条件下，出现的点数是奇数的概率为P(A|B)＝eq\f(nA∩B,nB)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)三、解答题9．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求其次只也是好的概率．解：令A＝{第1只是好的}，B＝{第2只是好的}，法一：n(A)＝Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,9)，n(AB)＝Ceq\o\al(1,