2024年高考数学一轮复习考点题型课下层级训练48双曲线含解析

PAGEPAGE1课下层级训练(四十八)双曲线[A级基础强化训练]1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,10)－eq\f(y2,6)＝1 D．eq\f(x2,6)－eq\f(y2,10)＝1【答案】A[已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.]2．(2024·山东菏泽月考)已知双曲线C：eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1，则双曲线C的焦点坐标为()A．(±5,0) B．(±eq\r(7)，0)C．(0，±5) D．(0，±eq\r(7))【答案】C[由方程C：eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1表示双曲线，焦点坐标在y轴上，可知，a2＝16，b2＝9.则c2＝a2＋b2＝25，即c＝5，故双曲线的焦点坐标为(0，±5)．]3．(2024·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(2)，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A．eq\r(2) B．2C．eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)【答案】D[由题意，得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a>0，b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2).]4．(2024·山东邹城检测)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线经过点(3，－4),则此双曲线的离心率为()A．eq\f(5,3) B．eq\f(5,4)C．eq\f(4,3) D．eq\f(\r(7),3)【答案】A[∵双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴－eq\f(3b,a)＝－4，eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(16,9))＝eq\f(5,3).]5．(2024·山东青岛调研)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±2x B．y＝±eq\f(1,2)xC．y＝±x D．y＝±eq\r(3)x【答案】D[双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝eq\f(c,a)＝2,2＝eq\r(1＋\f(b2,a2))⇒eq\f(b2,a2)＝3，eq\f(b,a)＝eq\r(3).故渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x.]6．(2024·天津卷)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1【答案】C[如图，不妨设A在B的上方，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))).其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝eq\f(bc－b2＋bc＋b2,\r(a2＋b2))＝eq\f(2bc,c)＝2b＝6，∴b＝3．又由e＝eq\f(c,a)＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝eq\r(3)．∴双曲线的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1.]7．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(eq\r(5)，0)，则a＝____________；b＝____________．【答案】12[由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以eq\f(b,a)＝2．又c＝eq\r(5)，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.]8．(2024·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为eq\f(\r(3),2)c，则其离心率的值为____________．【答案】2[双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点F(c,0)到渐近线的距离d＝eq\f(|bc＋0|,\r(b2＋a2))＝b.∴b＝eq\f(\r(3),2)c，∴a＝eq\r(c2－b2)＝eq\f(1,2)c，∴e＝eq\f(c,a)＝2.]9．设双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为____________．【答案】10[由双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1，得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝eq\f(2b2,a)＋8＝10.]10．已知双曲线的中心在原点，左，右焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq\r(2)，且过点(4，－eq\r(10))．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：eq\o(MF,\s\up6(→))1·eq\o(MF,\s\up6(→))2＝0．【答案】(1)解∵e＝eq\r(2)，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线的方程为x2－y2＝6．(2)证明证法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝eq\r(6)，∴c＝2eq\r(3)，∴F1(－2eq\r(3)，0)，F2(2eq\r(3)，0)，∴kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3))，∴kMF1·kMF2＝eq\f(m2,9－12)＝－eq\f(m2,3)．∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，即eq\o(MF,\s\up6(→))1·eq\o(MF,\s\up6(→))2＝0．证法二：由证法一知eq\o(MF,\s\up6(→))1＝(－3－2eq\r(3)，－m)，eq\o(MF,\s\up6(→))2＝(2eq\r(3)－3，－m)，∴eq\o(MF,\s\up6(→))1·eq\o(MF,\s\up6(→))2＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，∵点M在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴eq\o(MF,\s\up6(→))1·eq\o(MF,\s\up6(→))2＝0．[B级实力提升训练]11．(2024·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A．eq\f(3,2) B．3C．2eq\r(3) D．4【答案】B[由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±eq\f(1,\r(3))x．设两渐近线夹角为2α，则有tanα＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，所以α＝30°．所以∠MON＝2α＝60°．又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝eq\r(3)．则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝eq\r(3)·tan60°＝3.]12．(2024·湖北武汉调研)已知不等式3x2－y2>0所表示的平面区域内一点P(x，y)到直线y＝eq\r(3)x和直线y＝－eq\r(3)x的垂线段分别为PA，PB，若△PAB的面积为eq\f(3\r(3),16)，则点P轨迹的一个焦点坐标可以是()A．(2,0) B．(3,0)C．(0,2) D．(0,3)【答案】A[∵直线y＝eq\r(3)x与y＝－eq\r(3)x的夹角为60°，且3x2－y2>0，∴PA与PB的夹角为120°，|PA||PB|＝eq\f(|\r(3)x－y|,2)·eq\f(|\r(3)x＋y|,2)＝eq\f(3x2－y2,4)，S△PAB＝eq\f(1,2)|PA||PB|·sin120°＝eq\f(\r(3),16)(3x2－y2)＝eq\f(3\r(3),16)，即P点的轨迹方程为x2－eq\f(y2,3)＝1，半焦距为c＝2，∴焦点坐标可以为(2,0)．]13．(2024·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为____________．【答案】eq\f(2\r(3),3)[如图，由题意知点A(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，∴点A到l的距离d＝eq\f(ab,\r(a2＋b2))．又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，∴△MAN为等边三角形，∴d＝eq\f(\r(3),2)MA＝eq\f(\r(3),2)b，即eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),2)b，∴a2＝3b2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\f(2\r(3),3).]14．已知双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝e，则eq\o(F2P,\s\up6(→))·eq\o(F2F1,\s\up6(→))＝____________．【答案】2[由题意及正弦定理得eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq\f(|PF1|,|PF2|)＝e＝2，∴|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2.又|F1F2|＝4，由余弦定理可知cos∠PF2F1＝eq\f(|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2,2|PF2|·|F1F2|)＝eq\f(4＋16－16,2×2×4)＝eq\f(1,4)，∴eq\o(F2P,\s\up6(→))·eq\o(F2F1,\s\up6(→))＝|eq\o(F2P,\s\up6(→))|·|eq\o(F2F1,\s\up6(→))|cos∠PF2F1＝2×4×eq\f(1,4)＝2.]15．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，点(eq\r(3)，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|．【答案】解(1)∵双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，点(eq\r(3)，0)是双曲线的一个顶点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(3)，,a＝\r(3)，))解得c＝3，b＝eq\r(6)，∴双曲线的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1．(2)双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1的右焦点为F2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x－3)．联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－\f(y2,6)＝1，,y＝\f(\r(3),3)x－3，))得5x2＋6x－27＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(6,5)，x1x2＝－eq\f(27,5)．所以|AB|＝eq\r(1＋\f(1,3))×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,5))))＝eq\f(16\r(3),5)．16．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2eq\r(3)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋eq\r(2)与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．【答案】解(1)设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝eq\r(3)，