高等数学 换元法学习资料

二、第二类换元法第二节一、第一类换元法机动目录上页下页返回结束换元积分法第四章第二类换元法第一类换元法基本思路

机动目录上页下页返回结束设可导,则有一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)机动目录上页下页返回结束例1.

求解:

令则故原式

=机动目录上页下页返回结束形式:

思考:

例2.

求解:令则想到公式机动目录上页下页返回结束例3.

求想到解:(直接配元)机动目录上页下页返回结束例4.

求解:∴原式

=机动目录上页下页返回结束例5.

求机动目录上页下页返回结束解:

令则故原式

=例6.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束形式:

例7.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束形式:

例8.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束例9.

求解法1解法2两法结果一样机动目录上页下页返回结束形式:

例10.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束分析:

作业目录上页下页返回结束例11.

求解:

原式=形式:

思考与练习下列各题求积方法有何不同?机动目录上页下页返回结束例12.

求解:机动目录上页下页返回结束类似形式:

例13.

求解法1机动目录上页下页返回结束解法2同样可证或机动目录上页下页返回结束例14.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束形式:

例15.

求解:机动目录上页下页返回结束例16.

求解:∴原式=机动目录上页下页返回结束例17.

求解:原式机动目录上页下页返回结束1.常用的几种配元形式:万能凑幂法机动目录上页下页返回结束小结机动目录上页下页返回结束常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法机动目录上页下页返回结束利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如机动目录上页下页返回结束

常用基本积分公式的补充(P198)解:

原式机动目录上页下页返回结束练习.

求练习.

求解:练习.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束练习.

求解:

原式二、第二类换元法机动目录上页下页返回结束第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则机动目录上页下页返回结束则有换元公式例18.

求机动目录上页下页返回结束解:

令则代入原式

=例19.

求解:

令则∴原式机动目录上页下页返回结束例20.

求解:

令则∴原式机动目录上页下页返回结束例21.

求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束令于是机动目录上页下页返回结束说明:被积函数含有时,除采用采用双曲代换消去根式,所得结果一致.或或机动目录上页下页返回结束三角代换外,还可利用公式原式例22.

求解法一:

令则原式当

x<0时,类似可得同样结果.机动目录上页下页返回结束例22.

求机动目录上页下页返回结束解法二:

令则原式例23.

求解:

原式令例19例16目录上页下页返回结束解法二:

机动目录上页下页返回结束例23.

求解:

原式令机动目录上页下页返回结束当

x+1<-1时,令于是小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或机动目录上页下页返回结束第四节讲机动目录上页下页返回结束2.常用基本积分公式的补充(P198)(7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令练习.

求解:

令得原式机动目录上页下页返回结束本题也可用三角代换来解得.机动目录上页下页返回结束练习.

求解:练习.

求解:思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令机动目录上页下页返回结束2.已知求解:

两边求导,得则(代回原变量)

机动目录上页下页返回结束作业P1982(1),(3),(6),(7),(11),(13),(18),(21),(23),(27),(34),(35);3

(2),(4),(5),(6)第三节目录上页下页返回结束备用题