弹性力学讲义

第弹性力学01绪论1.1弹性力学的内容1.2弹性力学的几个基本概念1.3弹性力学中的基本假定。1.1、弹性力学的内容弹性力学：研究弹性体由于受外力、边界约束或温度等原因而发生的应力、变形和位移。研究弹性体的力学：有材料力学、结构力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下：①材料力学：研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。②结构力学：在材料力学基础上研究杆系结构（如桁架、钢架等）③弹性力学：研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。在研究方法上，弹性力学和材料力学也有区别：弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程；在边界s上考虑受力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。材力也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设(如平面截面假设)来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。从其精度来看，材料力学解法只能适用于杆件。例如：材料力学：研究直梁在横向载荷作用下的平面弯曲，引用了平面假设，结果：横截面上的正应力按直线分布。弹性力学：梁的深度并不远小于梁的跨度，而是同等大小的，那么，横截面的正应力并不按直线分布，而是按曲线变化的。这时，材料力学中给出的最大正应力将具有很大的误差。弹性力学在力学学科和工程学科中，具有重要的地位：弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力方法进行分析。工科学生学习弹力的目的：1）理解和掌握弹力的基本理论；2）能阅读和应用弹力文献；3）能用弹力近似解法(变分法、差分法和有限单元法)解决工程实际问题：4）为进一步学习其他固体力学分支学科打下基础。1.2、弹性力学中的几个基本概念1）外力：其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。分为体积力和表面力，简称体力和面力。体力：作用于物体体积内的力。以单位体积内所受到的力来量度，。量纲：。符号：坐标正向为正。如：重力和惯性力。面力：作用于物体表面上力。以单位面积所受到的力来量度，。量纲：。符号：坐标正向为正。如：流体压力和接触力。【例题1】表示出下图中正的体力和面力2）应力内力：假象切开物体，截面两边互相作用的力（合力和合力距），称为内力。应力：截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。量纲：。分为正应力，和切应力。符号规定：正面：截面上的外法线沿坐标轴的正方向。正面上的应力以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。负面：截面上的外法线沿坐标轴的负方向。负面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。应力应力和面力应力和面力，在正面上，两者正方向一致；在负面上，两者正方向相反。正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同。材料力学规定：正应力拉为正，切应力以顺时针为正。连接前后两面中心的直线ab作为矩轴，列出力矩平衡方程，得得：。同理可得：。切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面角线的切应力是互等的(大小相等，正符号也相同)。在材料力学中是大小相等，符号相反。3）形变形变：形状的改变。以通过一点的沿坐标正向微分线段的正应变和切应变来表示。线应变：单位长度的伸缩或相对伸缩,亦称正应变，用表示，以伸长为正。切应变：各线段之间的直角的改变，用表示，以直角减小为正，用弧度表示。正的正应力对应正的线应变。正的切应力对应正的切应变。∠BAC减小，∠BDC减小。4）位移位移：一点位移的移动，用来表示。量纲为L，以坐标正向为正。一般而论，弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、形变分量和位移分量都随该点的位置而变，因而都是位置坐标的函数。1.3、弹性力学中的基本假定在弹性力学的问题里，通常是已知物体的边界(形状和大小)，物体的弹性常数，物体所受的体力，物体边界上的约束情况或面力,而应力分量、形变分量和位移分量则是需要求解的未知量.1）考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在体积V内分别建立三套方程。①建立微分方程：根据微分体的平衡条件；②建立几何方程：根据微分线段上形变与位移之间的几何关系；③建立物理方程：根据应力与形变之间的物理关系。2）在弹性体的边界上，建立边界条件。①应力边界条件：在给定面力的边界上，根据边界上的微分体的平衡条件；②位移边界条件：在给定的约束边界上，根据边界上的约束条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。弹性力学假定：为使问题求解成为可能，通常必须按照所研究的物体性质，以及求解问题的范围，略去一些影响很小的次要因素，作出若干基本假定。1）连续性：假定物体是连续的，各物理量可以用连续函数表示。2）完全弹性：①完全弹性：外力取消，变形恢复，无残余变形；②线性弹性：应力与应变成正比，即应力与应变关系可用胡克定律表示(物理线性)。3）均匀性：假定物体是均匀的。即弹性模量、泊松比等与位置无关。4）各向同性：假定物体是各向同性的，即弹性模量、泊松比与方向无关。5）小变形假定：假定位移和形变都是微小的。①位移微小，位移<<物体尺寸，如：梁的扰度<<梁高；②变形微小，应变<<1，如正应变ε<<10－3<<1，切应变<<1弧度(57.3°)。满足3）和4）即表示材料的弹性模量、泊松比等是常数。符合1）~4）假定的弹性体，我们称之为理想弹性体。假定的作用：1）简化平衡条件：考虑为分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。2）简化几何方程：如：对于微小转角：对于微小正应变：这样，弹性力学里的几何方程和微分方程都简化为线性方程，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。弹力的主要解法：1）解析法：根据弹性体的静力学、几何学、物理学等条件，，建立区域内的微分方程组和边界条件，并应用数学分析方法求解这类微分方程的边值问题，得出的解答是精确的函数解。2）变分法(能量法)：根据变形体的能量极值原理，导出弹性力学的变分方程，并进行求解。这也是一种独立的弹性力学问题的解法。由于得出的解答大多是近似的，所以常将变分法归入近似的解法。3）差分法：是微分方程的近似数值解法，它将弹力中导出的微分方程及其边界条件化为差分方程(代数方程)进行求解。4）有限单元法：是近半个世纪发展起来的非常有效、应用非常广泛的数值解法。它首先将连续体变换为离散化结构，再将变分原理应用于离散化结构，并使用计算机进行求解的方法。5）实验方法：模型试验和现场试验的各种方法。对于许多工程实际问题，由于边界条件、外荷载及约束等较为复杂，所以常常应用近似解法：变分法、差分法、有限单元法等求解。02平面问题的基本理论：2.1平面应力问题与平面应变问题2.2平衡微分方程2.3平面问题中一点的应力状态2.4几何方程刚体位移2.5物理方程2.6边界条件2.7圣维南原理2.8按位移求解平面问题2.9按应力求解平面问题相容方程2.10常体力情况下的简化应力函数2.1平面应力问题与平面应变问题1）弹力空间问题共有应力、应变、位移15个未知函数，且均为。①应力：，共6个。②应变：，共6个。③位移：，共3个。2）弹力平面问题共有应力、应变、位移8各未知函数，且均为。①应力：，共3个。②应变：，共3个。③位移：，共2个。有两类问题可以简化成平面问题：1）平面应力问题：条件是：①等厚度的薄板；②体力作用于体内，平行于板面，并沿厚度不变；③面力及约束作用于板边，平行于板面，并沿厚度不变;因为两板面上无面力和约束作用，故：由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：故只有平面应力存在。由于板为等厚度，外力、约束沿z向不变，故应力仅为。所以平面应力问题归纳如下：①应力中只有平面应力存在；②且仅为。如：弧形闸门闸墩深梁2）平面应变问题：条件是：①很长的常截面柱体；②体力作用于体内，平行于横截面，且沿长度方向不变；③面力作用于柱面，平行于横截面，且沿长度方向不变。④约束作用于柱面，平行于横截面，且沿长度方向不变。截面、外力、约束沿z向不变，外力、约束平行于与xy面，柱体非常长。故任何z面（截面）均为对称面。所以：，只有；（平面位移问题），由。由于：。所以，只有。（平面应变问题）所以平面应变问题归纳如下：①应力中只有平面应变分量存在；②且仅为。2.2平衡微分方程在弹性力学中分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。首先考虑平面问题的静力学方面，建立微分体的平衡微分体方程——应力分量与体力分量之间的关系式。平衡微分方程：表示物体内任一点的微分体的平衡条件。在任一点取出一微小的平行六面体，作用于微分体上的力如下图：泰勒展开式：一般而论,应力分量是位置坐标x和y的函数,因此,作用于左右两对面或上下两对面的应力分量不完全相同,有微小的差。设作用于左面的正应力为，则右面的正应力由于x坐标的改变而改变，可由泰勒展开得：略去二阶及二阶以上的微量后得：。若为常量，则，左右两面都是即为均匀应力。同理右边的切应力为：，下面的正应力和切应力为：，。应用的基本假定：连续性假定：应力用连续函数来表示。小变形假定：用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。①由，得：化简消去得：。②同理由，可得：。③由，得：化简消去得：。令趋近于零，得：，这就是切应力互等定理。结论：所以由平衡条件：得对平衡微分方程的说明：1）代表A中所有点的平衡条件，；2）适用的条件一连续性、小变形；3）应力不能直接求出；4）对两类平面问题的方程相同（平面应力和平面应变均适用）。比较：理论力学：考虑整体的平衡，只决定整体的运动状态。材料力学：考虑有限体的平衡（近似）弹性力学：考虑微分体的平衡（精确）当都平衡时，可以得到，也平衡，反之则不然。所以弹性力学的平衡条件是严格的，精确的。2.3平面问题中一点的应力状态应力状态就是指一点处所有斜截面上的应力的集合。假定已知任意点P处坐标面的应力分量，求经过该点且平行于z轴的任意斜截面上的应力。1）求任意斜截面上的正应力σn和切应力τn。用n代表斜截面AB的外法线方向，其方向余弦为：设，则：。设垂直于平面的尺寸为1。由：得：。其中为方向的体力分量。将上式除以ds，然后令ds趋于0（AB→0），得：。同理：，得：。令斜截面上的正应力为，切应力为，由投影得：因为：，可得：。可见，已知点P处的应力分量x,y,xy=yx,就可求得经过该点的任意斜截面上的正应力n和切应力n。2）求主应力及主应力的方位——应力主向应力主面上：。投影得：。因为：，可得：。解得：，消去得：。化简得：。解得：。易得：。设与轴的夹角为，与轴的交角为。可得：由：，可得：。可得：。就是说，的方向互相垂直。最大最小主应力，最大最小切应力：，与应力主向成45°的斜面上。2.4几何方程刚体位移1）几何方程几何方程：任一点的微分线段的形变分量与位移分量之间的关系式。设：。PA的线应变：同理PB的线应变：。PA的转角：同理PB的转角：。PA与PB之间的转角：。几何方程：，，。对几何方程的说明：①使用于区域内任何点，；②适用的条件一连续性、小变形，③应用了小变形假定，略去了高阶小量，线性的几何方程。④对两类平面问题的方程相同（平面应力和平面应变均适用）。⑤几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果。2）形变与位移之间的关系如果物体的位移确定，则形变完全确定：从物理概念：当物体变形后各点的位移完全确定，任一微分线段上的形变（伸缩、转角等）也就完全确定了。从数学概念：当位移函数确定时，其导数也就确定了。如果物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定。从物理概念：在物体内形变不变的条件下，物体还可以做刚体运动：平动和转动，即还有刚体运动的任意性。从数学概念:由形变分量求位移分量是一个积分的过程，在常微分中，会出现一个任意常数；而在偏微分中，要出现一个与积分变量无关的任意函数。这些任意函数是未定项，这些未定项正是刚体平移和刚体转动量。【例题】假设，求出相应的位移分量。代入几何方程得：由，两边对x积分，。由，两边对y积分，。代入，可得：。化简为：。方程左边是y的函数，只随y而变；而方程右边是x的函数，只随x而变。因此，只可能两边都等于同一常数。于是得：积分得：，其中及为任意常数。这就是“形变为宜”时的位移，也就是所谓“与形变无关的位移”，因此必然是刚体位移。及分别表示物体沿轴及轴方向的刚体位移。表示物体绕轴的刚体转动。下面根据平面运动的原理加以证明。①当时，物体的所有各点只沿方向移动同样距离，所以代表物体沿方向的刚体位移。②同理当：，可得：代表物体沿方向的刚体位移。③当时，物体内任一点的位移分量为，坐标为的任一点P沿方向移动，沿负方向移动，合成位移为：可见，合成位移的方向与径向线段OP垂直，也就是沿着切向，因OP线上所有点移动方向都沿着切线，且移动的距离为，可见代表物体绕z轴的刚体转动。既然物体在形变为零时可以有刚体位移，那么，当物体发生一定形变时，由于约束条件不同，可能有不同的刚体位移，为了完全确定位移，就必须有适当的刚体约束条件。2.5物理方程物理方程：应力分量和形变分量之间的物理关系式。在理想弹性体（满足连续性，完全弹性，均匀性和各向同性）中，物理方程就是材料力学中学过的胡克定律。物理方程有两种形式：1.此式是用应力表示应变，其中应力取为基本未知数，用于按应力求解。2.此式是用应变表示应力，其中应变取为基本未知数，用于按位移求解。胡克定律的一般形式：其中E是弹性模量，G是切变模量，又称刚度模量，μ称为泊松系数，或泊松比。物理方程的说明：①适用条件：理想弹性体：②是总结实验规律得出的：③是线性的代数方程：④正应力只与线应变有关，切应力只与切应变有关。1）平面应力问题的物理方程：将代入上式得独立的物理方程：另外：，因可由求出，故不作为独立的未知函数。2）平面应变问题的物理方程将代入上式得独立的物理方程。另外：，因可由求出，故不作为独立的未知函数。平面应力方程变换成平面应变物理方程：对于两类平面问题，三套方程除了物理方程中的系数须变换外，其他平衡方程和几何方程是完全相同的。三套方程包含8个未知函数：，还需要考虑边界条件，才能求出这些未知函数。2.6边界条件边界条件：表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。它分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。一、位移边界条件设在部分边界上给点了约束位移和，则对于边界上的每一点，位移函数应满足条件。位移边界条件：其中：和是位移的边界值；和在边界上是坐标的已知函数。位移边界条件的说明：①它是函数方程，要求在上每一点S，位移与对应的约束位移相等；②若为简单的固定边，，则有（在上）。③它是在边界上物体保持连续性的条件，或位移保持连续性的条件。二、应力边界条件设在部分边界上给定了面力分量和，则可以由边界上任一点微分体的平衡条件，导出应力与面力之间的关系式1）边界为斜截面时在2.3节平面问题中的一点的应力状态，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式：(在A上）将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件：应力边界条件的说明：①它是边界上微分体的静力平衡条件；②它是函数方程，要求在边界上每一点s上均满足，这是精确的条件；③式在A中的每一点均成立，而式只能在边界s上成立。④式中：：按应力符号规定；：按面力符号规定。⑤位移、应力边界条件均为每个边界两个，分别表示向的条件。⑥所有边界均应满足，无面力的边界（自由边），，也必须满足。2）边界为坐标面时：应力边界条件：。当为正面时，，则上式简化成：当为负面时，，则上式简化成：3）应力边界条件的两种表达方式①在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件得出：或或。②在同一边界面上，应力分量的边界值＝对应的面力分量。即应力分量的绝对值＝对应的面力分量的绝对值，面力分量的方向就是应力分量的方向。即数值相同，方向一致。【例题1】若边界面y=c,d分别为正、负坐标面【例题2】列出下图悬臂梁边界条件在边界，；在边界，；在边界，；在边界，； 【例题3】列出下图边界条件，荷载为抛物线分布在边界：；在边界：。三、混合边界条件混合边界条件有两种情况：情况一：部分边界上位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件。情况二：同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。【例题4】列出的边界条件。在边界：。2.7圣维南原理求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量必须满足三套方程，还必须满足边界条件，但要使边界条件得到完全满足很困难。圣维南原理为简化局部边界的应力边界条件提供了有效的方法。圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同，对于同一点的主矩也相同)，那么，近处的应力分布将有明显的改变，但是远处所受的影响可以不计。一、圣维南定理应用的条件：①圣维南原理只能应用于一小部分边界上，又称为局部边界，小边界或次要边界。如果将面力的等效变换范围应用到大边界(又称为主要边界)上,则必然使整个的应力状态都改变了。因此,不适用圣维南原理。②小边界的面力变换为静力等效的面力。静力等效指两者主矢量相同，对同一点主矩也相同。③经变换后，只对近处的应力分布有明显的影响，但远处的应力几乎不受影响。所谓“近处”，根据经验，一般地讲大约是变换面力的边界的1~2倍范围内，此范围之外可认为是“远处”。例如：如将一端或两端的F变换为静力等效的力,如图(b),(c),(d).则只有虚线划出的部分应力分布有显著改变,其余部分所受影响可不计。图(d)所示情况，由于面力连续均匀分布，边界条件简单，应力很容易求解并且解答很简单。而其他三种情况，由于面力不连续分布，甚至不知其分布方式，应力难以求解。根据圣维南原理，可将(d)的应力解答应用于其他三种情况。【例题1】比较下列问题的应力解答：【例题2】比较下列问题的应力解答：推广情况：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。这是因为主矢量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是等效的，只在近处产生显著的应力。二、在局部边界上应用圣维南原理：在应力边界条件上应用圣维南原理,就是在边界上,将精确的应力边界条件代之以主矢相同,对同一点的主矩也相同的静力等效条件。例如，厚度的梁，，即左右端是小边界。在同一边界上：上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。在小边界上，满足下列条件可以应用圣维南原理：在同一边界上，应力的主矢量＝面力的主矢量(给定)数值相等应力的主矩＝面力的主矩(给定)方向一致因面力是已知的，所以面力的主矢量和主矩可求，因此，应力的主矢量和主矩的绝对值应分别等于面力的主矢量和主矩的绝对值，方向与面力的主矢量和主矩一致。具体列出三个积分条件：两种边界条件对比：精确的应力边界条件积分的应力边界条件方程个数23方程性质函数方程(难满足)代数方程(易满足)精确性精确近似适用边界大、小边界小边界在求解弹性力学平面问题时，常在小边界上用近似的三个积分边界条件代替严格的边界条件，使问题的求解大大简化。2.8按位移求解平面问题按位移求解（位移法）：取为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含的方程和边界条件，从而求出；在求形变和应力，类似于结构力学中的位移法。按应力求解（应力法）：取为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；在求形变和位移。类似于结构力学中的力法。平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相同。因此，两者的解答相似，只须将进行变换。下面只讨论平面应力问题。一、平面问题的基本方程及边界条件： ①在平面域A内的平衡微分方程：②在平面域A内的几何方程：，，③在平面域A内的物理方程：④在边界S上的应力边界条件：⑤在边界S上的位移边界条件：(在上）8个未知函数必须满足上述方程和边界条件。二、按位移法求解：①取为基本未知函数，将其他未知函数用表示。②用表示，用几何方程可得：，，③用表示，用物理方程把应力转换成应变，再由几何方程把应变转换成。④将上式代入平衡微分方程：上式是用表示的平衡微分方程。⑤用表示位移边界条件。(在上）…………⑥用表示应力边界条件。………按位移法求解时，必须满足A内的方程和边界条件、。按位移法求解（位移法）的优缺点：适用性广，可适用于任何边界条件。求函数式解答困难，但在近似解法（变分法、差分法、有限单元法）中有着广泛的应用。【例题1】图为两端固定的杆件，图为上端固定，下端自由的杆件，均只受重力作用，，，试用位移法分别求解位移、应力、应变。解：①为简化，设，，泊松比，代入下面三个方程：平衡微分方程：位移边界条件：(在上）…………应力边界条件：………②代入平衡微分方程得：，由此可解出：。③代入位移边界条件和应力边界条件：两端固定：；一端固定一端自由：；分别求得系数：两端固定：；一端固定一端自由：。两端固定：；一端固定一端自由：。④用几何方程和物理方程求解应变、应力。两端固定：；一端固定一端自由：。2.9按应力求解平面问题相容方程按位移求解（位移法）：取为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含的方程和边界条件，从而求出；在求形变和应力，类似于结构力学中的位移法。按应力求解（应力法）：取为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；在求形变和位移。类似于结构力学中的力法。位移用应力表示，须将物理方程代入几何方程，然后通过积分求出位移分量。不仅表达式比较复杂，而且包括积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。故在应力法求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题，即（，）。一、平面问题的基本方程及边界条件： ①在平面域A内的平衡微分方程：②在平面域A内的几何方程：，，③在平面域A内的平面应力问题的物理方程：④在边界S上的应力边界条件：⑤在边界S上的位移边界条件：(在上）8个未知函数必须满足上述方程和边界条件。二、推导按应力求解平面问题的方程：①取为基本未知函数。②导出求解应力的基本方程：平衡微分方程中应力分量有3个（），而方程只有2个，因此需从几何方程和物理方程中消去位移分量，导出只含应力分量的补充方程）从几何方程中消去位移，得到相容方程（形变协调方程）：即得到相同方程：从相容方程看出，连续体的形变分量不是相互独立的，他们必须满足相容方程，才能保证位移分量的存在。将平面应力问题的物理方程代入相容方程得：平衡微分方程写成：两式相加得：。代入上式消去，得到用应力表示的平面应力问题的相容方程：，将，得到用应变表示的平面应力问题的相容方程： 其中：为拉普拉斯算子。③应力边界条件：假定全部边界上均为应力边界条件（，）。三、按应力求解平面问题时，应力分量必须满足的条件：①在区域A内的平衡方程：。②在区域A内的相容方程：。③在边界上的应力边界条件，假设只求解全部为应力边界条件的问题。④对于多连体，还需考虑位移的单值条件（只有一个连续边界的物体—单连体）。【例题1】三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在D点共点（连续），变形后三连杆在点共点，则三连杆的应变必须满足一定的协调条件。2.10常体力情况下的简化应力函数很多工程问题中，体力是常量，即体力分量和不随坐标和而变。例如，重力、常加速度下平动的惯性力，都是常量的体力。一、常体力情况下方程的简化常体力下，平面应力问题和平面应变问题的相容方程的右边都等于0。即：。常体力情况下，应满足拉普拉斯方程，即调和方程。应当是调和函数。其中：为拉普拉斯算子。注意，体力为常量时，三个方程都不含弹性常数，因而得出的应力分量必然与弹性常数无关。由此得出：①对于不同材料，的理论解答相同；用试验方法求应力时，可用不同的模型材料代替。②对两种平面问题，应力分量的解答相同，即理论解可互相通用；用模型试验时，可用平面应力问题的模型代替平面应变问题的模型，使模型的制作和加载大大简化。二、应力函数：可见，在体力为常量情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量应满足。1）先考察平衡微分方程这是一非齐次微分方程组，它的解答是，任一特解和齐次微分方程的通解之和。特解可以取为：；也可以取为：。[理论准备]:根据偏微分方程理论：偏导数的相容性，若设函数，则有：。假如函数A和B满足：，那么一定存在某一函数，使得：，。对应的其次微分方程：，改写成：。一定存在一个函数A和B使得；，。根据切应力互等：。即：。因而又一定存在一个函数，使得：。将：代入得齐次方程的通解：将次通解与任一组特解叠加，即得平衡微分方程的全解：…………称为平面应力问题的应力函数，又称艾里应力函数。但它是未知函数。此解答不仅满足了平衡方程，而且使平面问题的求解大为简化：从求解3个应力未知函数，变为求解1个应力函数。2）应力函数应满足的条件。①应力函数应满足相容方程，所表示的应力分量应满足相容方程：，将代入相容方程，得：为常量，于是上式可以简化为：。将此式展开为：。这就是用应力函数表示的相容方程。由此可见，应力函数应满足重调和方程，也就是它应是重调和函数，此方程可表示成：②应力函数应满足应力边界条件（假设全部为应力边界条件）3）综上所述，在常体力情况下，按应力求解平面问题，可归纳为求解一个应力函数，它必须满足。①在区域内的相容方程：。②在边界上的应力边界条件（假设全部为应力边界条件）③在多连体中，还须满足位移单值条件。求出应力函数后，便可求出应力分量，然后再求应变分量和位移分量。，，第二章小结：本章系统地介绍了平面问题的基本理论：基本方程和边界条件，及两种基本解法。这些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。因此，学好平面问题的基本理论，就可以方便地学习其他各章。为此，我们要求学生深入地理解本章的内容，掌握好以下几点：1）两类平面问题的定义。2）在平面区域内的平衡微分方程、几何方程和物理方程的建立。3）在平面边界上的位移和应力边界条件的建立，及圣维南原理的应用。4）按位移求解方法和按应力求解方法。5）关于一点应力状态的分析。【例题1】试求下图的边界条件：解：对问题，在主要边界，应精确满足下列边界条件：在小边界（次要边界），应用圣维南原理，列出三个积分近似边界条件，当板厚时：在小边界处，当平衡微分方程和其它各边界都已满足条件下，三个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。对问题，在主要边界，应精确满足下列边界条件：在小边界（次要边界），列出三个积分近似边界条件，当板厚时，注意，在力矩条件时，两边均是对远原点的力矩来计算的。对于的小边界条件可以不必校核。【例题2】厚度的悬臂梁，在自由端受集中力F的作用。已求得其位移的解答