2025北京十五中高一（下）期中数学（教师版）

第1页/共1页2025北京十五中高一（下）期中数学2025.04本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡和答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）若，且，则角是（）（A）第一象限角（B）第二象限角（C）第三象限角（D）第四象限角（2）已知，且是第四象限角，那么的值是（）（A）（B）（C）（D）（3）（）（A）（B）（C）（D）（4）已知向量，，且，则（）（A） （B） （C） （D）（5）已知，，，则的大小关系为（）（A） （B） （C） （D）（6）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）（A）（B）（C）（D）（7）若，则（）（A） （B） （C） （D）（8）在中，，则（）（A） （B）（C）（D）（9）已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（）（A）关于点对称（B）关于直线对称（C）关于点对称（D）关于直线对称（10）已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.（11）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则=_________.（12）已知且，则等于_________.（13）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则=_______；=_______.（14）①若则________；②面积的最大值为_________．（15）已知函数的部分图象如图所示，设给出以下四个结论：函数的最小正周期是；函数在区间上单调递增；函数的图象过点；直线为函数的图象的一条对称轴.其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（本小题13分）已知均为锐角，，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值．17.（本小题14分）已知向量,设函数.

(Ⅰ)求的最小正周期.

(Ⅱ)求在上的零点.18.（本小题13分）在中，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且的面积，求的值．19．（本小题15分）已知函数函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为求：（Ⅰ）的值及的单调递增区间；（Ⅱ）在区间上的最大值和最小值.20.（本小题15分）在中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值.条件①：；条件②：；条件③：注：按第一个解答计分．21.（本小题15分）设为正整数，若满足：①，；②对于，均有；则称具有性质.对于和，定义集合.（I）设，若具有性质，写出一个及相应的；（II）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；（III）设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个.

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C （2）A （3）D （4）B （5）B（6）D （7）A （8）D （9）B (10)C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12）或（13），（14），（15）①②④.三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分）解：(Ⅰ)因为为锐角，，又因为，所以，所以因此．4分(Ⅱ)因为为锐角，，，所以，同理，又因为，，所以，所以．所以.13分（17）（本小题14分）解:(Ⅰ)=.最小正周期.所以最小正周期为.8分(Ⅱ)，当时，，令，则或，所以或.所以函数在上的零点为和.14分方法二：令，则，所以，因为，所以或.所以函数在上的零点为和.14分（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为，所以．因为，所以．所以．7分（Ⅱ）因为，由正弦定理得，所以．因为的面积为，即，所以．所以． 13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）．因为函数图象的相邻两个对称中心间的距离为，所以，故．因为，所以．因为，令，即，所以的单调递增区间为．9分（Ⅱ）因为，所以，所以，当，即时，取最大值，最大值为；当，即时，取最小值，最小值为.15分方法二：由（Ⅰ）知的单调递增区间为，同理的单调递减区间为，又因为，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以的最大值为，又有，所以的最小值为.15分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）由及正弦定理，得. 由倍角公式得. 在中，，，得. 因为，所以. 7分 （Ⅱ）记的面积为.选条件②：由（Ⅰ）知，又由题知，可得得. 又由条件②，即，解得. 由余弦定理，得，所以 15分选条件③：又由条件③，即以及，可得.所以由（Ⅰ）知，又由题知，可得.得. 由正弦定理得. 可设.由，得.得 15分（21）（本小题15分）解：（I）根据题意，令，1，，则相应的；4分第一问的答案也可以是：若，2，，则相应的，；若，0，，则相应的，；若，2，，则相应的，；若，0，，则相应的，；若，1，，则相应的，；（II）假设存在，，，，和，，，均具有性质，且，1，2，3，4，，则，因为与同奇同偶，所以与同奇同偶，而，，可见奇偶不同，这与上述结论相矛盾，因此假设不成立．10分综上可得，不存在具有性质的，，满足，1，2，3，4，．（III）证明：不妨设，，，，，，，构成一个数表交换数表中两行，可得数表调整数表中各列的顺序，使第一行数据变为，，，，设第二行变为，，，，令，，，，则具有性质，且，1，2，，，若，，，与，，，相同，则，，，，因为是的一个排列，所以，一定存在，设，经过上述方式调整以后，则有，故，如果，，，与，，，相同，则，，①，1，2，，，