河北省保定市六校联盟2023-2024学年高二上学期期中考数学含解析

河北省保定市六校联盟20232024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）一、选择题（每题5分，共30分）1.函数性质已知函数\(f(x)=x^24x+3\)，下列关于该函数的说法正确的是（）。A.函数在\(x=2\)处取得最大值B.函数在\(x=2\)处取得最小值C.函数的对称轴为\(x=1\)D.函数的图像开口向下2.数列极限数列\(\{a_n\}\)定义为\(a_n=\frac{1}{n^2}\)，则\(\lim_{n\to\infty}a_n\)的值为（）。A.0B.1C.2D.无穷大3.立体几何在一个正方体中，若其对角线长度为\(\sqrt{6}\)，则其棱长为（）。A.1B.\(\sqrt{2}\)C.2D.\(\sqrt{3}\)4.不等式求解解不等式\(2x3>x+1\)得到的解集是（）。A.\(x<4\)B.\(x>4\)C.\(x<2\)D.\(x>2\)5.概率计算从一副扑克牌中随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是（）。A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{13}\)D.\(\frac{1}{52}\)6.三角函数已知\(\sin\theta=\frac{1}{2}\)，则\(\cos\theta\)的值为（）。A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)二、填空题（每题5分，共20分）7.复数运算已知\(z=2+3i\)，则\(z\)的共轭复数是________。8.函数极值函数\(f(x)=x^33x^2+4\)在\(x=1\)处的极值是________。9.对数运算计算\(\log_28\)的值是________。10.数列通项公式已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n=n^2+3n\)，则该数列的通项公式为________。三、解答题（每题10分，共40分）11.函数解析式已知函数\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极小值，且\(f'(x)=3x^26x+1\)，求\(f(x)\)的解析式。12.不等式证明证明：对于任意实数\(x\)，不等式\(x^2+1\geq2x\)恒成立。13.数列求和已知数列\(\{a_n\}\)为等差数列，首项\(a_1=2\)，公差\(d=3\)，求该数列的前\(n\)项和\(S_n\)。14.立体几何计算在一个长方体中，已知长、宽、高分别为\(a,b,c\)，且\(a^2+b^2+c^2=14\)，求该长方体的体积。四、综合题（每题15分，共30分）15.函数应用已知某工厂的产量\(Q\)与时间\(t\)的关系为\(Q=2t^23t+4\)，求当\(t=2\)时，工厂的产量。16.解析几何已知直线\(y=mx+1\)与圆\(x^2+y^2=4\)相切，求\(m\)的值。解析1.选择题解析第1题：正确答案是B。因为\(f(x)=x^24x+3\)是一个开口向上的二次函数，其顶点坐标为\((2,1)\)，故在\(x=2\)处取得最小值。第2题：正确答案是A。因为\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0\)。第3题：正确答案是C。正方体的对角线长度为\(\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}\)，已知对角线长度为\(\sqrt{6}\)，解得\(a=\sqrt{2}\)。第4题：正确答案是D。将不等式\(2x3>x+1\)化简为\(x>4\)。第5题：正确答案是A。一副扑克牌中共52张牌，其中红桃有13张，故概率为\(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)。第6题：正确答案是A。因为\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)，且\(\sin\theta=\frac{1}{2}\)，解得\(\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。2.填空题解析第7题：复数\(z=2+3i\)的共轭复数为\(23i\)。第8题：函数\(f(x)=x^33x^2+4\)的导数为\(f'(x)=3x^26x\)，在\(x=1\)处，\(f'(1)=0\)，且\(f''(1)>0\)，故\(x=1\)处为极小值点，极小值为\(f(1)=2\)。第9题：\(\log_28=3\)，因为\(2^3=8\)。第10题：数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=S_nS_{n1}=(n^2+3n)[(n1)^2+3(n1)]=2n+2\)。3.解答题解析第11题：由\(f'(x)=3x^26x+1\)得\(f''(x)=6x6\)，令\(f''(x)=0\)解得\(x=1\)。将\(x=1\)代入\(f'(x)\)求得\(f(1)=0\)，因此\(f(x)=x^33x^2+c\)，代入\(x=1\)解得\(c=0\)，所以\(f(x)=x^33x^2\)。第12题：不等式\(x^2+1\geq2x\)可化简为\(x^22x+1\geq0\)，即\((x1)^2\geq0\)，显然对于任意实数\(x\)恒成立。第13题：等差数列的前\(n\)项和公式为\(S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n1)d)\)，代入\(a_1=2\)，\(d=3\)得\(S_n=\frac{n}{2}(4+3n3)=\frac{3n^2+n}{2}\)。第14题：长方体的体积为\(V=abc\)，由\(a^2+b^2+c^2=14\)可得\(V=\sqrt{14}^3=14\sqrt{14}\)。4.综合题解析第15题：将\(t=2\)代入\(Q=2t^23t+4\)得\(Q=2\times2^23\times2+4=8\)。第16题：直线\(y=mx+1\)与圆\(x^2+y^2=4\)相切，说明它们只有一个交点，联立方程解得\(m=\pm\sqrt{3}\)。一、选择题1.B2.A3.B4.D5.A二、填空题6.47.38.29.510.6三、解答题11.函数f(x)=x^24x+3的图像是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(2,1)，因此函数在x=2处取得最小值1。12.数列an=1/n^2的极限为0，因为当n趋向于无穷大时，1/n^2趋向于0。13.正方体的对角线长度为sqrt6，棱长为sqrt6/sqrt3=sqrt2。14.解不等式2x3>x1得x>4。15.扑克牌中红桃的数量为13，总牌数为52，因此抽到红桃的概率为13/52=1/4。四、综合题16.当t=2时，Q=8。17.直线y=mx1与圆x^2+y^2=4相切的条件是它们的判别式为0，即m^24m+4=0，解得m=±sqrt3。1.函数性质：考察了函数的图像、顶点、最值等基本性质。2.数列极限：考察了数列的极限概念和计算方法。3.立体几何：考察了正方体的对角线长度与棱长的关系。4.不等式求解：考察了解不等式的基本方法。5.概率